高中数学第三章导数及其应用疑难规律方法学案苏教版选修11.docx
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高中数学第三章导数及其应用疑难规律方法学案苏教版选修11
第三章导数及其应用
1 巧用法则求导数
导数的计算包括八个基本初等函数的导数公式,以及和、差、积、商的导数运算法则,它们是导数概念的深化,也是导数应用的基础,起到承上启下的作用.那么在掌握和、差、积、商的导数运算法则时,要注意哪些问题?
有哪些方法技巧可以应用?
下面就以实例进行说明.
1.函数和(或差)的求导法则
(f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x)
例1 求下列函数的导数:
(1)f(x)=
+lnx;
(2)y=x3-2x+3.
解
(1)f′(x)=-
+
.
(2)y′=(x3)′-(2x)′+3′=3x2-2.
点评 记住基本初等函数的导数公式是正确求解导数的关键,此外函数和(或差)的求导法则可以推广到任意有限个可导函数和(或差)的求导.
2.函数积的求导法则
[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
例2 求下列函数的导数:
(1)f(x)=x2ex;
(2)f(x)=(x+1)(x+2)(x+3).
解
(1)f′(x)=(x2ex)′=(x2)′ex+x2(ex)′
=2xex+x2ex.
(2)f′(x)=[(x+1)(x+2)(x+3)]′
=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′
=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)
=(2x+3)·(x+3)+x2+3x+2=3x2+12x+11.
点评 特别要注意:
[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x).同时要记住结论:
若c为常数,则[cf(x)]′=cf′(x),由此进一步可以得到[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x).
3.函数商的求导法则
′=
(g(x)≠0)
例3 求下列函数的导数:
(1)f(x)=
;
(2)f(x)=tanx;
(3)f(x)=
+
.
解
(1)f′(x)=(
)′=
=
.
(2)f′(x)=(tanx)′=(
)′
=
=
.
(3)因为f(x)=
+
=
=
,
所以f′(x)=(
)′=
=
.
点评 应在求导之前,先利用代数、三角恒等变换对函数进行化简,然后再求导,这样可以减少运算,提高运算效率.
4.分式求导
对于能够裂项的分式型函数,可将函数转化为几个单项式的和差形式,然后再利用和差的导数公式来解决.
例4 求下列函数的导数:
(1)y=
;
(2)y=
.
解
(1)因为y=
=x-1+
,
所以y′=1+
=1-
.
(2)因为y=
=x2+x3+x4,
所以y′=2x+3x2+4x3.
点评 本题启示我们,对于某些函数式,我们应先根据它的结构特点,适当地对函数式中的项进行合理的“拆”,然后“各个击破”.
2 导数计算中的“陷阱”
导数的计算是导数学习中的一个重要方面.但由于同学们不能熟记公式及法则,不能理解公式中的对应量的含义,不能灵活的运用化简及变形技巧而导致各种错误.下面对求导过程中的常见错误进行梳理,希望对同学们有所帮助.
1.未能区分好变量与常量而致错
例1 求f(x)=ax+cosa的导数(其中a为常数).
错解 f′(x)=axlna-sina.
错因分析 本题错在忽视变量ax与常量cosa的不同,常量的导数应为0.
正解 f′(x)=axlna.
2.忽视导数定义中严谨结构
例2 已知函数f(x)=2x3+5,求当Δx→0时,
趋近于何值.
错解一 因为
=
=
=24+12Δx+2Δx2.
当Δx→0时,
→24.所以
→24.
错解二 因为
=24+12Δx+2Δx2,
当Δx→0时,
→24.
所以
→3×24=72.
错因分析 未能把握导数定义中Δy与Δx的严格对应关系,实际上
中增量Δx分子与分母要一致,这与用哪个字母没关系.
正解 因为
=24+12Δx+2Δx2,
当Δx→0时,
→24.
所以
→(-3)×24=-72.
3.混淆函数的导函数与函数在某一点处的导数
例3 已知f(x)=
,求f′(2015).
错解 ∵f(2015)=
=0,
∴f′(2015)=(0)′=0.
错因分析 f′(2015)表示的含义不是在一点处的函数值的导数,应先求f′(x),再求f′(2015).
正解 ∵f′(x)=
,
∴f′(2015)=-
=-
.
指点迷津 上述的错误都说明了对导数定义及运算规律不理解,因此大家学习中应注重基础,注重知识生成及本质规律.错误并不可怕,可怕的是舍本逐末,不吸取教训.
3 导数运算的常用技巧
同学们是否有这样的感受,求导公式及运算法则已经背得很熟但在求某些函数的导数时,仍然很困难,甚至无从下手?
虽然掌握了基础知识,但还要掌握一定的方法和技巧,方能彻底解决问题,下面举几例来说明.
1.多项式函数展开处理
例1 求f(x)=(x-3)(x-2)(x-1)的导数.
分析 若f(x)的表达式为两个因式相乘可以展开求导,也可以不展开而利用积的求导法则,但三个因式相乘最佳方法就是先展开再求导.
解 ∵f(x)=(x-3)(x-2)(x-1)=x3-6x2+11x-6,
∴f′(x)=3x2-12x+11.
2.分式函数化整式函数
例2 求函数f(x)=
的导数.
分析 如果直接利用积与商的求导法则,运算将很烦琐,不如先看分子、分母有无公因式可约分.
解 ∵f(x)=
=
=x2+1(x≠-2).
∴f′(x)=(x2+1)′=2x(x≠-2).
3.无理函数化有理函数
例3 求函数y=
+
的导数.
分析 直接利用商的求导法则,运算量很大,且容易出错,不妨先通分变“无理”为“有理”.
解 ∵y=
=
=
-2,
∴y′=(
-2)′=-
=
.
整体总评 上述三个实例虽然细节处理不相同,但都体现了化归思想这一重要方法,先变形(化简)再解决问题;当然化归是为了更简捷、更方便处理问题,化归不一定要化简到最简单,而是化归到最合适.比如求tanx的导数,tanx本身形式已较简单,但仍然用不上所学知识,因此可考虑将tanx变形为
,从而使问题得到解决,总之同学们要明确化归的目的,是为更容易用所学知识解决问题.
4 导数妙求数列前n项和
数列的求和是数列中特别重要的一个知识块,如我们常用的求和方法有公式求和、分组求和、裂项求和、错位相减求和、倒序相加求和等,但同学们想过用导数法求和吗?
下面的例子将为我们展示导数法求和的魅力.
例 已知x≠0,求数列{nxn-1}的前n项和Sn.
解 对于{anbn}的求和,若{an}为等差数列,{bn}为等比数列,一般用错位相减法求和,但计算量较大,且很容易出错,此时我们可构造函数fn(x)=xn,则f′n(x)=nxn-1.
∴Sn=f′1(x)+f′2(x)+…+f′n(x)=1+2x+3x2+…+nxn-1=[f1(x)+f2(x)+…+fn(x)]′=(x+x2+x3+…+xn)′.
讨论如下:
(1)当x=1时,Sn=1+2+3+…+n=
;
(2)当x≠1时,Sn=
′
=
.
感悟 本题用导数方法让人耳目一新,但需要注意的是导数加法法则仅对有限项成立.
5 利用导数求切线方程
曲线的切线问题是高考的常见题型之一.而导数f′(x0)的几何意义为曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,所以利用导数解决相切问题是常用的方法.下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳.
1.已知切点,求曲线的切线方程
此类题只需求出曲线的导数f′(x),并代入点斜式方程即可.
例1 曲线f(x)=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为________________.
解析 由f′(x)=3x2-6x知,
在点(1,-1)处的斜率k=f′
(1)=-3.
所以切线方程为y-(-1)=-3(x-1),
即y=-3x+2.
答案 y=-3x+2
2.已知过曲线上一点,求切线方程
过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法.
例2 求过曲线f(x)=x3-2x上的点(1,-1)的切线方程.
解 设P(x0,y0)为切点,
则切线的斜率为f′(x0)=3x
-2.
所以切线方程为y-y0=(3x
-2)(x-x0),
即y-(x
-2x0)=(3x
-2)·(x-x0).
又知切线过点(1,-1),
所以-1-(x
-2x0)=(3x
-2)(1-x0).
解得x0=1,或x0=-
.
故所求切线方程为y-(1-2)=(3-2)(x-1),
或y-(-
+1)=(
-2)·(x+
),
即x-y-2=0,或5x+4y-1=0.
点评 可以发现直线5x+4y-1=0并不以(1,-1)为切点,实际上是经过点(1,-1),且以(-
,
)为切点的直线.这说明过曲线上一点的切线,该点未必是切点.
3.已知过曲线外一点,求切线方程
此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解.
例3 求过点(2,0)且与曲线f(x)=
相切的直线方程.
解 设P(x0,y0)为切点,
则切线的斜率为f′(x0)=-
.
所以切线方程为y-y0=-
(x-x0),
即y-
=-
(x-x0).
又已知切线过点(2,0),代入上述方程,
得-
=-
(2-x0).
解得x0=1,y0=
=1,即x+y-2=0.
点评 点(2,0)实际上是曲线外的一点,但在解答过程中却无需判断它的确切位置,这充分反映出待定切点法的高效性.
4.求两条曲线的公切线
例4 已知曲线C1:
y=x2与C2:
y=-x2+4x-4,直线l与C1,C2都相切,求直线l的方程.
分析 设出直线与两条曲线的切点坐标,分别求出曲线在切点处的切线方程,再利用两个方程所表示的直线重合,建立方程组求解.
解 设l与C1相切于点P(x1,x
),与C2相切于点Q(x2,-x
+4x2-4).由C1:
y=x2,得y′=2x,
则与C1相切于点P的切线方程为y-x
=2x1(x-x1),
即y=2x1x-x
,由C2:
y=-x2+4x-4,得y′=-2x+4,
则与C2相切于点Q的切线方程为
y=-2(x2-2)x+x
-4.
因为两切线重合,所以2x1=-2(x2-2),且-x
=x
-4,
解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0.
所以直线l的方程为y=0或y=4x-4.
点评 公切线问题的一般解法是分别求出曲线在切点处的切线方程,再利用两直线重合的条件建立方程组求解.
6 导数中的分类讨论思想
分类讨论思想在导数中的应用非常广泛,尤其是在求含参数的函数的单调区间、极值或最值的问题中,那么如何确定分类讨论的标准呢?
1.按导数为零的根的大小来分类
例1 设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a∈R且a≠0,求函数f(x)的极大值和极小值.
解 f′(x)=-(3x-a)(x-a),令f′(x)=0,
解得x=a或x=
.
当a>
,即a>0,x∈(-∞,
)时,f′(x)<0,
x∈(
,a)时,f′(x)>0,x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,
因此,函数f(x)在x=
处取得极小值-
a3,在x=a处取得极大值0.
当a<
,即a<0,x∈(-∞,a)时,f′(x)<0,
x∈(a,
)时,f′(x)>0,x∈(
,+∞)时,f′(x)<0,
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