高三二轮复习数学人教A版课时作业 专题3 数列 第2讲.docx
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高三二轮复习数学人教A版课时作业专题3数列第2讲
专题三第二讲
一、选择题
1.设{an}是等比数列,函数y=x2-x-2019的两个零点是a2、a3,则a1a4=()
A.2019B.1
C.-1D.-2019
[答案]D
[解析]由条件得,a1a4=a2a3=-2019.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,数列{bn}满足bn=
(n∈N*),Tn是数列{bn}的前n项和,则T9等于()
A.
B.
C.
D.
[答案]D
[解析]∵数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,∴n=1时,a1=2;n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,∴an=2n(n∈N*),∴bn=
=
=
(
-
),T9=
[(1-
)+(
-
)+…+(
-
)]=
×(1-
)=
.
3.已知函数f(x)满足f(x+1)=
+f(x)(x∈R),且f
(1)=
,则数列{f(n)}(n∈N*)前20项的和为()
A.305B.315
C.325D.335
[答案]D
[解析]∵f
(1)=
,f
(2)=
+
,
f(3)=
+
+
,…,
f(n)=
+f(n-1),
∴{f(n)}是以
为首项,
为公差的等差数列.
∴S20=20×
+
×
=335.
4.等差数列{an}中,a1>0,公差d<0,Sn为其前n项和,对任意自然数n,若点(n,Sn)在以下4条曲线中的某一条上,则这条曲线应是()
[答案]C
[解析]∵Sn=na1+
d,∴Sn=
n2+(a1-
)n,又a1>0,公差d<0,所以点(n,Sn)所在抛物线开口向下,对称轴在y轴右侧.
[点评]可取特殊数列验证排除,如an=3-n.
5.(文)已知函数f(x)=log2x,等比数列{an}的首项a1>0,公比q=2,若f(a2·a4·a6·a8·a10)=25,则2f(a1)+f(a2)+…+f(a2019)等于()
A.21004×2019B.21005×2019
C.21005×2019D.21006×2019
[答案]D
[解析]f(a2·a4·a6·a8·a10)
=log2(a2·a4·a6·a8·a10)=log2(a
q25)=25,
即a
·q25=225,
又a1>0,q=2,故得到a1=1.
2f(a1)+f(a2)+…+f(a2019)=2f(a1)·2f(a2)·…·2f(a2019)
=2log2a1·2log2a2·…·2log2a2019
=a1·a2·…·a2019=a
·q1+2+…+2019
=12019×2
=21006×2019.故选D.
(理)已知数列{an}满足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且a5=
.若函数f(x)=sin2x+2cos2
,记yn=f(an),则数列{yn}的前9项和为()
A.0B.-9
C.9D.1
[答案]C
[解析]据已知得2an+1=an+an+2,即数列{an}为等差数列,又f(x)=sin2x+2×
=sin2x+1+cosx,因为a1+a9=a2+a8=…=2a5=π,故cosa1+cosa9=cosa2+cosa8=…=cosa5=0,又2a1+2a9=2a2+2a8=…=4a5=2π,故sin2a1+sin2a9=sin2a2+sin2a8=…=sin2a5=0,故数列{yn}的前9项之和为9,故选C.
6.(文)已知数列{an}的通项公式an=2019sin
,则a1+a2+…+a2019=()
A.2019B.2019
C.2019D.2019
[答案]C
[解析]数列{an}的周期为4,且a1+a2+a3+a4=2019(sin
+sinπ+sin
+sin2π)=0,
又∵2019=4×503+2,
∴a1+a2+…+a2019=a1+a2=2019sin
+2019sinπ=2019.
(理)已知an=
,数列{an}的前n项和为Sn,关于an及Sn的叙述正确的是()
A.an与Sn都有最大值
B.an与Sn都没有最大值
C.an与Sn都有最小值
D.an与Sn都没有最小值
[答案]C
[解析]画出an=
的图象,
点(n,an)为函数y=
图象上的一群孤立点,(
,0)为对称中心,S5最小,a5最小,a6最大
二、填空题
7.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为________(m).
[答案]2000
[解析]设放在第x个坑边,则
S=20(|x-1|+|x-2|+…+|20-x|)
由式子的对称性讨论,当x=10或11时,
S=2000.
当x=9或12时,S=20×102=2040,…,当x=1或19时,S=3800.
∴Smin=2000(m).
8.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.
[答案]50
[解析]∵a10a11+a9a12=2e5,∴a1·a20=e5.
又∵lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)
=ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)]
=ln(e5)10=lne50=50.
注意等比数列性质:
若m+n=p+q,则am·an=ap·aq,对数的性质logamn=nlogam.
三、解答题
9.已知首项为
的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn=Sn-
(n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.
[解析]
(1)设等比数列{an}的公比为q,因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,
于是q2=
=
.
又{an}不是递减数列且a1=
,所以q=-
.
故等比数列{an}的通项公式为an=
×(-
)n-1=(-1)n-1·
.
(2)由
(1)得
Sn=1-(-
)n=
当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,
所以1 ,故 0 ≤S1- = - = . 当n为偶数时,Sn随n的增大而增大,所以 =S2≤Sn<1,故 0>Sn- ≥S2- = - =- . 综上,对于n∈N*,总有- ≤Sn- ≤ . 所以数列{Tn}最大项的值为 ,最小项的值为- . 10.(文)在公差不为0的等差数列{an}中,a3+a10=15,且a2,a5,a11成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn= + +…+ ,试比较bn+1与bn的大小,并说明理由. [解析] (1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得 注意到d≠0,解得a1=2,d=1. 所以an=n+1.(n∈N+). (2)由 (1)可知 bn= + +…+ ,bn+1= + +…+ , 因为bn+1-bn= + - = - >0, 所以bn+1>bn. (理)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1,S3,S2成等差数列. (1)求{an}的公比q; (2)若a1-a3=- ,求数列{n·an}的前n项和Tn. [解析] (1)由已知得2S3=S1+S2, ∴2(a1+a2+a3)=a1+(a1+a2), ∴a2+2a3=0,an≠0, ∴1+2q=0,∴q=- . (2)∵a1-a3=a1(1-q2)=a1(1- )= a1=- , ∴a1=-2,∴an=(-2)·(- )n-1=(- )n-2, ∴nan=n(- )n-2. ∴Tn=1·(- )-1+2·(- )0+3·(- )1+…+n·(- )n-2,① ∴- Tn=1·(- )0+2·(- )1+3·(- )2+…+n·(- )n-1,② ①-②得 Tn=-2+[(- )0+(- )1+(- )2+…+(- )n-2]-n·(- )n-1 =- -(- )n-1( +n), ∴Tn=- -(- )n-1( + n). 一、选择题 11.(文)设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f (1),f(4),f(13)成等比数列,则f (2)+f(4)+…+f(2n)等于() A.n(2n+3)B.n(n+4) C.2n(2n+3)D.2n(n+4) [答案]A [解析]设f(x)=kx+1(k≠0),则(4k+1)2=(k+1)×(13k+1)⇒k=2, f (2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+(2×6×1)+…+(2×2n+1)=2n2+3n. (理)已知数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,若a1、a49是2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为() A. B.9 C.±9 D.35 [答案]B [解析]∵{an}是等比数列,且a1,a49是方程2x2-7x+6=0的两根, ∴a1·a49=a =3.而an>0,∴a25= . ∴a1·a2·a25·a48·a49=a =( )5=9 ,故选B. 12.在等差数列{an}中,a1+a2+a3=-18,a18+a19+a20=78,则此数列前20项的和等于() A.160B.180 C.200D.220 [答案]C [解析]∵a1+a2+a3=-18,a18+a19+a20=78, ∴(a1+a20)+(a2+a19)+(a3+a18)=60, ∴a1+a20=20,∴S20= =10×20=200. 13.阅读如图所示的程序框图,若输入的k=10,则该算法的功能是() A.计算数列{2n-1}的前10项和 B.计算数列{2n-1}的前9项和 C.计算数列{2n-1}的前10项和 D.计算数列{2n-1}的前9项和 [答案]A [解析]由框图结合k=10可知此框图进行了10次运算,结果为1+2+4+9+…+29,故选A. 二、填空题 14.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,S6=4S3,则a3=________. [答案] [解析]解法1: ∵S6=4S3,∴a4+a5+a6=3(a1+a2+a3)=(a1+a2+a3)q3, ∴q3=3,∴q= ,∴a3=a1q2= . 解法2: ∵a1=1,S6=4S3,∴ = , ∴1+q3=4, ∴q3=3,∴q= ,∴a3=a1q2= . 15.已知向量a=(2,-n),b=(Sn,n+1),n∈N*,其中Sn是数列{an}的前n项和,若a⊥b,则数列{ }的最大项的值为________. [答案] [解析]∵a⊥b,∴a·b=2Sn-n(n+1)=0, ∴Sn= ,∴an=n, ∴ = = ,当n=2时,n+ 取最小值4,此时 取到最大值 . 三、解答题 16.在△ABC中,角A、B、C的对应边分别是a、b、c,满足b2+c2=bc+a2. (1)求角A的大小; (2)已知等差数列{an}的公差不为零,若a1cosA=1,且a2,a4,a8成等比数列,求{ }的前n项和Sn. [解析] (1)∵b2+c2-a2=bc, ∴ =
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