完整word版苏教版五年级数学下册公因数公倍数讲义.docx
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完整word版苏教版五年级数学下册公因数公倍数讲义
公因数和公倍数
【知识要点】
1、一个数最小的因数是1,最大的因数是它本身,一个数因数的个数是有限的。
一个数最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
一个数倍数的个数是无限的。
一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。
2、几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,用符号[,]表示。
几个数的公倍数也是无限的。
3、两个数公有的因数,叫做这两个数的公因数,其中最大的一个,叫做这两个数的最大公因数,用符号(,)。
两个数的公因数也是有限的。
4、两个素数的积一定是合数。
举例:
3×5=15,15是合数。
5、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。
举例:
[6,8]=24,(6,8)=2,24是2的倍数。
6、求最大公因数和最小公倍数的方法:
倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数,最小公倍数是较大的数。
举例:
15和5,[15,5]=15,(15,5)=5
素数关系的两个数,最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积。
举例:
[3,7]=21,(3,7)=1
一个素数和一个合数,最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积。
[5,8]=40,(5,8)=1
相邻关系的两个数,最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积。
[9,8]=72,(9,8)=1
特殊关系的数(两个都是合数,一个是奇数,一个是偶数,但他们之间只有一个公因数1),
比如4和9、4和15、10和21,最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积。
一般关系的两个数,求最大公因数用列举法或短除法,求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。
【例题讲解】
例1、一张长方形纸,长60厘米,宽36厘米,要把它截成同样大小的长方形,并使它们的面积尽可能大,截完后又正好没有剩余,正方形的边长可以是多少厘米?
能截多少正方形?
要使截成的正方形面积尽可能大,也就是说,正方形的边长要尽可能大,截完后又正好没有剩余,这样正方形边长一定是60和36的最大公约数。
(36、60)=12
(60÷12)×(36÷12)=15个
例2、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。
如每个花束里的红玫瑰花的朵数相同,白玫瑰花的朵数也相同,最多可以做多少个花束?
每个花束里至少要有几朵花?
要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束,每束花里的红白花朵数同样多,那么做成花束的的个数一定是96和72的公约数,又要求花束的个数要最多,所以花束的个数应是96和72的最大公约数。
1、 最多可以做多少个花束 (96、72)=24 2、 每个花束里有几朵红玫瑰花 96÷24=4朵
3、 每个花束里有几朵白玫瑰花 72÷24=3朵 4、 每个花束里最少有几朵花 4+3=7朵
例3、一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树,并且已经挖好坑。
后来改为每隔6米栽一棵树。
求重新挖树坑时可以少挖几个?
解:
这一段地全长96米,从一端每隔4米挖一个坑,一共要挖树坑:
96÷4+1=25(个) 后来,改为每隔6米栽一棵树,原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上,可不重新挖。
由于4和6的最小公倍数是12,所以从第一个坑开始,每隔12米的那个坑不必挖。
96÷12+1=9(个)
96米中有8个12米,有8个坑是已挖好的,再加上已挖好的第一个坑,一共有9个坑不必重新挖。
知识点:
公因数和最大公因数
练习:
1、写出下面每组数的最大公因数。
3和5()4和8()1和13()13和26()
4和9()17和51()21和36()22和55()
2、
÷
=5(
、
都是非零的自然数),
和
的最大公因数是()。
3、
和
是相邻的两个非零的自然数,
和
的最大公因数是()。
4、把一张长18cm,宽12cm的长方形纸,分成同样大小的正方形且没有剩余,每个小正方形边长最大是()厘米,最少可分成()个。
5、两根钢管,甲管长36分米,乙管长40分米,把它们截成同样长的小段而且没有剩余,每小段最长()分米,最少可截成()段。
知识点:
公倍数与最小公倍数
练习:
1、写出下面每组数的最小公倍数。
3和5()4和8()1和13()13和26()
4和9()17和51()21和36()22和55()、
2、
÷
=5(
、
都是非零的自然数),
和
的最小公倍数是()。
3、
和
是相邻的两个非零的自然数,
和
的最小公倍数是()。
4、一种长方形的地砖长8厘米,宽6厘米,用这种地砖铺成一块正方形,至少需要()块地砖。
正方形的面积最少是()平方厘米。
5、暑假期间,小林和小军都去参加游泳训练。
小林每6天去一次,小军每8天去一次。
7月31日两人同时参加游泳训练,()月()日他们又再次相遇。
6、暑假期间,小林和小军都去参加游泳训练。
小林每6天去一次,小军每8天去一次。
8月1日两人同时参加游泳训练,()月()日他们又再次相遇。
7、3和7是21的()①因数②公因数③倍数
8、8是24和64的()①因数②最大公因数③倍数
【综合练习】
一、填空(共20分)
1、最小的素数是( ),最小的合数是( )。
2、18的因数有( ),24的因数有( ),它们的公因数有( )。
3、在1~20的自然数中,既不是素数又不是合数的数有( ),既是素数又是偶数的有( )。
4、自然数按因数个数的多少可以分成( )、( )和( )。
5、1082至少加上( )是3的倍数,至少减去( )才是5的倍数。
6、一个数的最大因数是13,这个数的最小倍数是( )。
7、两个自然数a、b的最大公因数是1,它们的最小公倍数是( )。
8、如果A=2×2×3,B=2×3×3,那么它们的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。
9、一个数是3的倍数,又是5的倍数,还有因数7。
这个数最小是( )。
10、一个数既是30的因数、又是45的因数,最大的是( )。
11、用0、1、2三个数字排成的所有三位数中,同时是2、3、5的倍数的数有( )。
12、如果两个数的最大公因数是1,它们最小公倍数是91,那么这两个数的和最大是( )。
二、判断题(共5分)
1、两个连续自然数(0除外)它们的最大公因数是1。
()
2、在24的因数中,是素数的只有2和3。
()
3、5和7没有公因数,但5和7有公倍数。
()
4、所有的偶数都是合数。
()
5、两个数的公倍数一定比这两个数都大。
()
三、选择题(共5分)
1、任何两个奇数的和是( )。
A 奇数B 合数 C 偶数
2、两个素数的积一定是( )。
A 素数B 合数 C奇数
3、任何两个自然数的( )的个数是无限的。
A 公倍数 B 公因数 C 倍数
4、A是B倍数,那么它们的最小公倍数是( )。
A AB B A C B
5、两个数的最大公因数是15,最小公倍数是90,这两个数一定不是()。
A 15和90 B 45和90 C 45和30
四、写出每组数的最大公因数(共12分)
32和112和18 72和48
78和117 23和60 12和60
五、写出每组数的最小公倍数(共12分)
4和15 5和7 90和30
9和15 13和39 6和13
六、列式计算(共8分)
1、一个自然数被3、5除都余1,这个数最小是多少?
2、五个连续奇数的和是425,最小的一个是多少?
七、解决问题(共38分,第8题3分,其余每题5分)
1、一枝钢笔的价钱是18.6元,比一枝圆珠笔贵10.9元,一枝圆珠笔多少元?
(列方程解答)
2、小明的妈妈比小明大26岁,爸爸今年38岁,比妈妈大4岁,小明今年多大了?
(列方程解答)
3、甲、乙两人到图书馆去借书,甲每4天去一次,乙每5天去一次,如果7月1日他们两人在图书馆相遇,那么他们下一次同时到图书馆是几月几日?
4、有两根小棒分别长20分米,28分米。
要把它们都截成同样长的小棒,不许剩余,每根小棒最长能有多少分米?
5、一个长方形的面积是24厘米,它的长和宽都是整厘米数,这样的长方形有多少种?
6、在一张长40厘米,宽32厘米的长方形红纸上裁出同样大小,面积最大的正方形,并且没有剩余。
一共可以裁出多少个这样的正方形?
7、五
(1)班学生人数不超过50人,在分小组做游戏时,可以分为每组6人或者每组8人,两种分法都刚好分完。
这个班的学生可能有多少人?
8、园林工人在一段公路的一边每隔4米栽一棵树,一共栽了17棵。
现在要改成每隔6米栽一棵树。
那么,不用移栽的树有多少棵?
【解决问题】
1、甲、乙两人到图书馆去借书,甲每4天去一次,乙每5天去一次,如果7月1日他们两人在图书馆相遇,那么他们下一次同时到图书馆是几月几日?
2、一块长方形纸片,长18厘米,宽12厘米,把它剪成同样大小的边长是整厘米数的正方形且没有剩余,最少可以剪多少个?
3、同学们做了24朵红花和56朵黄花,把这些花分成相同的若干束,最多可以分成几束?
每束里红花和黄花各有几朵?
4、五
(1)班学生做早操,每行12人或16人都正好站成整行,这个班不到50人,这个班究竟有多少人?
5、一块砖长42厘米,宽26厘米,用这样的砖铺成一块正方形地,至少要多少块?
6、有一筐苹果,无论是平均分给8个人,还是平均分给18人,结果都剩下3个,这筐苹果至少有多少个?
【拓展练习】
1、学校操场长96米,从一端起到另一端每隔4米插有一面小红旗。
现在要改成每隔6米插一面红旗。
问可以不必拔出来的小红旗有多少面?
2、某校同学们做操,把学生分为10人一组,14人一组,18人一组,都恰好分完,这个学校至少有多少个学生?
3、有一列数1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……,从第三个数开始,每个数是都前面两个数的和,前100个数中偶数有多少个?
4、1路、2路和5路车都从东站发车,1路车每隔10分钟发一辆,2路车每隔15分钟发一辆,而5路车每隔20分钟发一辆。
当这三种路线的车同时发车后,至少要过多少分钟又有这三种路线同时发车?
5、从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆,加上两端的两根一共是55根电线杆,现在改成每隔60米安装一根电线杆,除两端的两根不用移动外,中途还有多少根不必移动?
6、在一根长100厘米的木棍上,自左到右每隔6厘米染一个红点,同时自右到左每隔5厘米染一个红点,染后沿红点将木棍逐段锯开,那么长度是1厘米的短木棍有多少根?
【挑战奥数】
【例题讲解】
在求18与12的最大公约数与最小公倍数时,由短除法
可知,(18,12)=2×3=6,[18,12]=2×3×3×2=36。
如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘,那么
(18,12)×[18,12]=(2×3)×(2×3×3×2)
=(2×3×3)×(2×3×2)=18×12。
也就是说,18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于18与12的乘积。
当把1
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