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数学长度本质概念
數學長度本質概念
前言:
長度在五大主題軸「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」和「連結」中,歸類在「數與量」的部分。
量的概念與實測活動,在日常生活中經常用到;兒童常常因為缺乏正確量的概念緣故而造成解題的困難。
而長度是學生保留概念最早且較成熟,也是最容易操作的量,長度的測量是分數與小數教學的自然入口,同時也是學習數線的典型模型。
透過對長度經驗的累積,學生將學習如何在數線上作比較和加減運算,由此將整數與有理數徹底整合,作為日後學習負數、實數、幾何的基礎。
1、數學結構
(1)、長度的定義:
長度係直線段所具有的唯一屬性。
直線段的經驗來自視覺與觸覺。
由於人工物多具筆直的邊緣,因此兒童對於直線段應不陌生。
直線段和另一直線段可以任意相疊。
相疊後可以將直線的兩端任意延長,並在上面來回移動。
此一事實構成直線段直接比較的基礎,將兩直線段的一端疊合,檢查另一端點的位置,就可以比較長短。
長度是一維空間的度量。
(2)、長度的概念:
在空間中,質點從一位置移動到另一位置,花費最少的時間,或最少的能量,它所經過的路徑,可以加以量化,以與時間、能量、質量建立關係。
另一方面,物質或能量在空間移動,常需要傳導的載體,例如電力輸送需要導線,螞蟻在空間中移動需要繩子,質量愈少的載體愈有利。
這兩者是物質世界中,長度概念的由來。
(3)、長度的種類:
⏹直線與線段
直線最重要的幾何形狀特徵就是兩段直線一定能處處疊合,事實上,只要用這個事實,就能區分直線與非直線。
例如兩段同半徑的圓弧可以處處疊合,但不同半徑的圓弧則否。
【範例一】【範例二】
直線可以任意延長,故在數學上,在嚴格使用中,以直線稱呼兩方向都延伸至無線遠處的直線。
直線中任意兩點之間的部分稱為直線段,簡稱線段。
從某一點開始,只以一個方向延伸無限遠處,稱為射線。
在較寬鬆的使用中,直線和線段的界限模糊化了。
直線段可以相接成更長的直線段,這也是延長它的意思。
直線段的相接是直線長的個別單位描述的基礎,將直線段接長更長的直線段就是直線段的合成,反之則稱為分解。
⏹曲線線段
屬於非長線段的曲線,例如圓周、或橢圓周,曲線的長度一定要拉直以後才能加以測量。
但曲線物本身是不能拉直的。
可用繩子複製長度的方式來說明拉直後再量的概念。
如:
用繩子複製水桶的手把及水壺背帶的長,然後再將繩子拉直。
曲線長度的描述必須用到極限過程。
一般的方法是在曲線是取一些點,包括曲線的端點,然後把這些點用直線段依次相連。
如果取的點愈來愈多,則所連成的直線段的總長度雖然也會愈來愈長,但不會超過一個很容易決定的限度。
數學上說,它會達到一個最短上限。
這個最短的上限就被定為曲線長。
⏹測量注意事項
長度:
(1)有時長度不是平面上兩平行線之間的距離,而是空間中兩平行面之間的距離,在日常生活中如身高(高矮)、厚度(厚薄)、寬度(寬窄)、口徑(粗細)均屬此類。
這類長度在測量時,我們加入的輔助直線段一定要垂直於平行線或平行面。
例如:
在測身高時,人要站直,讓長棒的平面頂住頭頂。
這個平面與兩足站立的平面平行。
此二平行面之間的距離標示在支持長棒的鐵桿(或木桿)上,即為身高。
(2)由於學生對於垂直平行僅據視覺和身體的運動覺經驗,如在地面上畫一直線讓學生畫出另一條直線平行於該線,此時學生通常會將身體正面調整至與你畫的直線平行,才會畫出另一條平行線。
因此我們在量取此類長度時,要盡量與日常生活情境相容。
曲線:
曲線的長度一定要拉直以後才能加以測量。
但曲線物本身是不能拉直的。
可用繩子複製長度的方式來說明拉直後再量的概念。
(4)、度量單位:
⏹普遍單位:
(1)十進位度量衡制的命名系統:
約定俗成,以北極經巴黎到赤道的子午線長的一千萬分之一為一公尺(meter)。
(2)依度量衡國際標準制度長度以公尺(meter)為基本單位:
一公尺的十倍、百倍、千倍,......等,稱為十公尺、百公尺、千公尺。
一公尺的0.1倍0.01倍0.001倍….等稱為分公尺、厘公尺、毫公尺,......等。
(3)在九年一貫課程綱要中,公尺改稱為米。
(4)公厘會與公里在讀音上相混,而且日常不太用。
所以我們按照中央標準局給國立編譯館的建議,試驗將毫尺放入課程中代替公厘。
建議老師在上課中儘量說毫尺,學生若使用公厘,老師可以告知,那是老一輩的人如父母親們用的稱呼,也可以使用,但是希望我們上課時用毫尺來稱呼。
因為只是稱呼的差異,所以相信教學上沒有問題。
因此有下列對照:
英文縮寫
Km
m
cm
mm
台灣舊稱
公里
公尺
公分
公厘
台灣新稱
千公尺
公尺
厘(公)尺
毫(公)尺
大陸
千米
米
厘米
毫米
⏹公分尺的結構(一階單位):
公分刻度尺是一階單位尺的結構。
(5)刻度均在一條直線上,自0向右。
(6)相鄰兩刻劃之間的長度均相等,即為這把尺的使用單位。
(7)刻劃上所標示的數字,顯示從零刻度至該刻度之間所含的單位數。
⏹普通的公分尺的結構(二階單位):
(1)在一把普通的公分尺上,數字僅與公分單位有關,毫尺單位僅有刻劃而無數字。
通常刻劃會稍加設計,使計數容易些,如將5毫尺畫長一些,或將2、4、6、8毫尺畫得比1、3、5、7、9毫尺的刻劃長些。
(2)對三年級兒童來說,將普通公分尺視為以毫尺為基本單位,分公尺為其10倍單位,兩單位並存的尺是較容易的,而非以公分為基本單位,1毫尺為其十分之一長的單位,到三下時,我們將以普通公分尺的結構檢視,導入公分毫尺間的換算。
(5)、算式:
⏹長度與加減算式:
(1)以長度描述連續物件的添(併)加,拿走,若要用加減算式加以描述的話,兒童必須有將連續量加以離散化的活動較符合本課程的精神。
此一聯結活動是以1公分長的白色積木的併排來進行的,兒童必須能說出類似「4公分就是4個1公分」的話。
⏹線段圖和算式(圖解算術):
(8)傳統的圖解算術,係指運用線段圖來表徵文字題中,已知數據與未知量之間的關係,由此尋出求未知量所需的運算步驟。
(9)在運用時,若要表達各量之間的比例關係,則各對應線段的長度之間必須顯示相等的比例。
(10)但是在表達加減關係時,各對應線段的長度只要表示出較多或較少的關係即可,大小比例可以忽略,更恰當地說,線段長短和數據之間的比例關係的遵守程度依問題的需要而定。
2、認知結構
(一)、量概念的發展
Piaget對於兒童如何發展量的概念作了廣泛的研究,舉凡長度、面積、體積、容量、重量、時間等等,都有不凡的成就。
他的研究通常是給兒童一些具體物和作業,讓他們解決問題,並從中觀察其表現,用一些問題詢問他們,以了解思考過程和想法。
⏹自發的測量:
Piaget曾研究兒童自發的測量活動。
在一張桌子上堆一個積木的塔(約80cm高),此塔作為模型。
另一張桌子比放模型的一張低,上面零散放一些積木,其大小與模型中的不一樣。
兒童要在這張桌子上堆一個與模型一樣高的塔,兩張桌子之間相距二公尺,中間用布幕隔開以免兒童只用視覺比較兩塔的高度。
桌子旁邊也放置一些紙條或木條,但不告訴兒童如何使用這些工具。
他們發現兒童測量概念的發展可以分為三階段:
⏹階段一:
直接的視覺比較─遷移是純視覺的
此階段約在四歲到四歲半之間,在此階段的兒童不會用共同的量作比較,若給他木棍告訴他可用來測量,他只會把木棍放在旁邊當裝飾品。
此階段的兒童僅移動其視線,會看看模型並記住它的整體輪廓,然後再回到自己的桌子堆塔。
問他兩個塔一樣高嗎?
他們會回答:
「是的,因為我能看見」。
⏹階段二:
應用「位置改變」
此階段約在四歲半或五歲到七歲之間,在此階段中,測量的歷程有了物體的移動,亦即,改變位置,有時候會移動要比較的單項物體,有時候移動第三個物體,有了共同量的預備觀念,但還沒有遞移的邏輯觀念。
此階段又分為兩個次階段,在次階段A,兒童以動手遷移輔助視線的遷移,他們會動手搬動要比較的物體,將它們擺在一起比較高度,雖然他們的比較依然是視覺的,但已經是兩個鄰近物體的比較;在次階段B,兒童能使用第三物為媒介,但還不能用此第三物為獨立的共同度量,所以他們使用自己的手臂或身體的部位作為參照物,將一物體的長度遷移到另一物體,有一個此階段的兒童以自己的肩和塔的頂端對齊,以腿的一個地方和塔底部對齊,然後走到另一個塔模型邊比一比塔高與自己的身體部位長度。
在次階段B與階段三之間的過度期,兒童能用一物體作為媒介,此時的媒介物作為一象徵物,以模仿塔的高度,但尚不足稱為共同度量,因為他們對此媒介物的使用相當有限。
⏹階段三:
操作的共同度量
此階段約在七八歲之後,在此階段的兒童能夠理解量的遞移性,亦即若A=B且B=C則A=C,或A=B且B>C則A>C,或A>B且B>C則A>C。
此階段又分為兩個次階段,次階段A只會使用一個比兩個塔還長的媒介物,例如:
有個兒童能使用長棍子比較兩個塔,但給他小於塔的棍子則認為不能使用,他會說:
假如它是太長的話是可以用的,太短的話就不能用了。
」
在次階段B則能使用一個比兩個塔還小的媒介物,以媒介物的重複測量來比較兩個塔的高度,既使給他一塊小積木,他們也能重複丈量每一個塔,看各個塔有幾個積木高。
(二)、長度保留概念(守恆)的發展
在測量物體時,要將一個物體或一個媒介物遷移到別的地方,與另一個物體比較,一個物體遷移之後,或甚至改變形狀之後還會保留原有的量,否則就不能測量了,兒童對於這樣概念的理解稱為守恆概念。
在兒童面前展示兩根平行的筷子,詢問這兩根是否相等,四五歲的兒童都會說相等,然後將一根筷子移動位置,再詢問他們是否相等,未有守恆概念的兒童會認為不相等,具有守恆概念的兒童會認為還是相等,而且能說出理由。
AA
B移動B後B
AB相等AB是否相等?
假如使用鐵線,可以將第二根折彎,再詢問而兒童它們是否相等。
用火柴棒上黏一房子表示一個單位長度,連接幾個這樣的房子成直線,另用相等數量的房子排成折線。
或者是詢問兒童,假如你是一隻小螞蟻要送信給這些家,現在有A和B兩條路線,你要選擇那一條路?
這兩條路上各有幾家?
到每一家要走一樣長的路嗎?
你為什麼選這條路?
AA
B折彎BB
AB相等AB是否相等?
折彎後AB兩條路線還會相等嗎?
第一種情形表示物體移動之後其長度不變,第二種情形表示物體改變形狀之後其長度不變,第三種情形表示物體細分為相同單位之後其長度不變。
根據Piaget等人的研究,各種量的守恆概念發展並不同時進行,長度、容量等守恆概念較早發展,約在七歲左右,重量約在八九歲間,體積守恆概念發展最遲,約在十一、二歲之間。
而毫無疑問的,守恆概念是測量所必須的能力。
(三)、在長度與線段圖表徵上,線段圖表徵分成三個階段:
⏹實際表徵
畫出真實的長,因此兒童在簿子上無法表示:
3公尺+5公尺=8公尺。
⏹呈現比例的表徵
任取一線段l表徵1公尺,而以l長的X倍,表徵X公尺,開始時,可以由老師來約定,例如說,「讓我們用5毫尺來表示1公尺」,但是對不同問題,老師要注意偶然換個比例,最好是針對不同問題的需要。
最後,讓兒童自己去決定。
⏹可以忽略比例的示意表徵
此時兒童知道可以不按比例來呈現關係,只要不妨礙尋找解題所需要的運算或轉換。
此時已超過小學程度了。
3、綱要結構
數與量
幾何
一年級
1-n-09
能認識長度,並作直接比較。
1-s-01
能認識直線與曲線。
1-n-10
能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較物體的長短。
二年級
2-n-13
能理解用不同個別單位測量同一長度時,其數值不同,並能說明原因。
2-s-03
能使用直尺畫出指定長度的線段。
2-n-14能認識長度單位「公分」、「公尺」及
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