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高斯求和
高斯求和
若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差。
例如:
(1)1,2,3,4,5,…,100
(2)1,3,5,7,9,…,99
(3)8,15,22,29,36,…,71
想一想:
上面的数列是否是等差数列?
你怎么知道的?
每一列的公差是几?
首项和末项分别是多少?
思考与讨论:
首项和末项之间有什么关系?
每一列一共有几项?
大家来总结:
末项=首项+公差×(项数-1)
项数=(末项-首项)÷公差+1
例1、求等差数列3,7,11,15,19,…的第10项和第25项。
例2、在等差数列2,5,8,11,14,…中,101是第几项?
例3、在5和61之间插入七个数后,使它成为一个等差数列,写出这个数列。
思考与讨论:
怎么计算比较简便?
1+2+3+4+5+…+49+50=?
1+2+3+4+5+…+98+99=?
大家来总结:
等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2
例4、1+2+3+4+…+1999
例5、3+7+11+…+99
练习:
1、计算下面各题。
(1)2+4+6+…+200
(2)17+19+21+…+39
(3)5+8+11+14+…+50(4)3+10+17+24+…+101
2、求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和。
3、求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和。
等差数列小练习
班级:
姓名:
1、已知等差数列2,5,8,11,14,…
(1)这个数列的第13项是多少?
(2)47是其中的第几项?
2、已知等差数列的第1项是12,第6项是27,求公差。
3、如果一个数列的第4项为21,第6项为33,求它的第9项。
4、求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和。
5、已知等差数列6,13,20,27…,问这个数列前30项的和是多少?
6、①7+10+13+…+37+40②2000-3-6-9-…-51-54
7、一个剧场设置了22排座位,第一排有36个座位,往后每排都比前一排多2个座位,这个剧场共有多少个座位?
平均数
平均数是相对于“总数”和分成的“份数”而言的。
例如:
全班同学的总成绩÷全班同学人数=平均成绩
几件货物的总重量÷货物件数=平均重量
一辆汽车行驶的路程÷所用的时间=平均速度
求平均数的一般公式:
总数÷份数=平均数
例1一小组六个同学在某次数学考试中,分别为98分、87分、93分、86分、88分、94分。
他们的平均成绩是多少?
解法一:
(98+87+93+86+88+94)÷6
解法二:
以90分为“基准”,这六个数与90分的差分别是:
8,-3,3,-4,-2,4
那么总和=90×6+(8-3+3-4-2+4)
平均数=90+(8-3+3-4-2+4)÷6
例2小明家先后买了两批小猪,养到今年6月。
第一批的3头每头重66千克,第二批的5头每头重42千克。
小明家养的猪平均多重?
想一想:
(66+42)÷2这样算对吗?
说说你的理由。
例3一个学生计划每天做4道数学训练题。
结果星期一至三每天做3道,星期四不做,星期五、六两天共做13道。
那么,星期日要做几道题才能达到自己规定的要求?
例4小敏期末考试,数学92分,语文90分,英语成绩比这三门的平均成绩高4分。
问:
英语得了多少分?
练习:
1、农业科研小组测定麦苗的生长情况,量出12株麦苗的高度分别为(单位:
厘米)26,25,25,23,27,28,26,24,29,27,27,25
求这批麦苗的平均高度。
2、一小组同学体检量身高发现其中2人的身高是123厘米,另外4人的身高均为132厘米。
这个小组同学的平均身高是多少?
3、小妹做跳绳练习,第一次跳了67下,第二次跳了76下。
她要想三次平均成绩达到80下,第三次至少要跳多少下?
4、五个同学期末考试的数学成绩平均94分,而其中有三个同学的平均成绩为92分。
另两个同学的平均成绩是多少?
5、小亮学游泳,第一次游了25米,第二次游的距离比两次游的平均距离多8米。
小亮第二次游了多少米?
6、篮球队中四名队员的平均身高是182厘米,另一名队员的身高比这五名队员的平均身高矮8厘米,这名队员的身高是多少?
平均数小练习
班级:
姓名:
1、三年级同学测身高,第一组10名同学的身高分别为134,132,138,140,128,135,143,137,136,137厘米,平均身高是多少厘米?
2、一班有40个学生,二班有42个学生,三班有43个学生。
开学后又转来了13个学生。
怎样分才能使每班学生人数相等?
3、小华4次数学测验的平均成绩是90分,第5次得了95分,5次测验的平均成绩是多少分?
4、小明期中考试语文得82分,外语得88分,数学得多少分使三科平均成绩才能达到90分?
5、某班运动队中,女运动员的人数是男运动员的一半,男运动员的平均体重是41千克,女运动员的体重是35千克,全体运动员的平均体重是多少千克?
6、五个数的平均数是30,如果把这五个数从小到大排列,那么前三个数的平均数是25,后三个数的平均数是35,问中间的一个数是多少?
7、篮球队中三名队员的平均身高是180厘米,另一名队员的身高比这四名队员的平均身高矮3厘米,这名队员的身高是多少?
和倍问题
大小两数的和是265,大数是小数的4倍。
大小两数各是多少?
①我们画图来表示:
②也可以画线段图。
③还可以这样想:
大数+小数=265
4个小数+小数=265
想一想:
265在图①和图②中分别指哪部分?
那么我们可以先求出小数,再求出大数。
例1甲、乙两仓库共存粮264吨,甲仓库存粮是乙仓库的7倍。
甲、乙两仓库各存粮多少吨?
例2甲、乙两辆汽车在相距360千米的两地同时出发,相向而行,2时后两车相遇。
已知甲车的速度是乙车速度的2倍。
甲、乙两辆汽车每时各行多少千米?
例3甲队有45人,乙队有75人。
甲队要调入乙队多少人,乙队人数才是甲队的3倍?
例4妹妹有书24本,哥哥有书53本。
要使哥哥的书是妹妹的书的6倍,妹妹应给哥哥多少本书?
例5大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。
后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个,而小灰兔自己又采了10个。
这时,大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。
问:
原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇?
练习:
1、小敏与爸爸的年龄之和是64岁,爸爸的年龄是小敏的3倍。
小敏和她爸爸的年龄各是多少岁?
2、甲、乙两桶汽油共84千克。
如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克,那么这时甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。
甲、乙两桶原有汽油多少千克?
3、甲、乙两人共生产零件100个,其中甲有2个零件、乙有5个零件不合格。
已知乙生产的合格零件是甲生产的合格零件的2倍。
甲、乙各生产了多少个零件?
4、团结村原有水田290公顷,旱田170公顷。
要把多少公顷旱田改为水田,才能使水田的公顷数比旱田的公顷数多2倍?
5、星星图书馆内,科技书是故事书的3倍,连环画书又是科技书的2倍。
已知这三种书共有1600本,那么每种书各有多少本?
6、同学们做布花布置教室,其中红花比蓝花的4倍多3朵,这两种花共做了78朵,红花比蓝花多几朵?
和倍问题小练习
班级:
姓名:
1、甲、乙两个车间共有职工784人,甲车间的人数是乙车间的3倍,两个车间各有职工多少人?
2、有两堆棋子,第一堆有67个,第二堆有53个。
问从第二堆中拿出多少个棋子放入第一堆,就能使第一堆的棋子是第二堆的2倍?
3、光明小学买来足球和篮球共30个。
已知买来足球的个数比篮球的2倍少3个,学校买来足球和篮球各多少个?
4、爷爷、爸爸和小明共106岁,爷爷比爸爸大26岁,爸爸比小明大28岁,爷爷几岁?
爸爸几岁?
小明几岁?
5、书架上共有180本图书,其中第二层是第一层的2倍,第三层是第二层的3倍,求三层各有书多少本?
6、书架上、下两层共有书150本。
如果从下层搬20本放到上层,那么上层书的本数是下层的2倍,问书架的上、下层原各有书多少本?
7、小明、小红、小玲共有73块糖。
如果小玲吃掉3块,那么小红与小玲的糖就一样多;如果小红给小明2块糖,那么小明的糖就是小红的糖的2倍,问三人原来各有糖多少块?
差倍问题
回忆一下,解决和倍问题的时候我们用了哪些方法来思考问题?
你来试试:
大数与小数的差是152,大数是小数的5倍,大小两数各是多少?
思考与讨论。
例1王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个,且是徒弟的3倍。
师徒二人一天各生产多少个零件?
例2甲、乙两个工程队,甲队有56人,乙队有34人。
两队调走同样多人后,甲队人数是乙队人数的3倍。
问:
调动后两队各还有多少人?
例3甲、乙两桶油重量相等。
甲桶取走26千克油,乙桶加入14千克油,这时,乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。
两桶油原来各有多少千克?
例4小云比小雨少20本书,后来小云丢了5本书,小雨新买了11本书,这时小雨的书比小云的书多2倍。
问:
原来两人各有多少本书?
例5甲桶的油是乙桶的5倍。
如果从甲桶取出30千克倒入乙桶,那么两桶油的重量相等。
两桶油原来各有多少?
练习:
1、一养鸡场,公鸡比母鸡少369只,母鸡是公鸡的4倍。
公鸡、母鸡各多少只?
2、小林今年9岁,她爸爸今年35岁。
小林多少岁时,他爸爸的年龄正好是他的3倍?
3、一车间男工26人,女工14人。
调走男、女工同样多的人后,男工人数是女工人数的3倍。
剩下的男、女工各多少人?
4、甲、乙两数相等。
甲数加上50,乙数减去34后,甲数就是乙数的4倍。
原来甲、乙两数等于几?
5、两根同样长的电线,第一根用去37米,第二根用去16米后,第二根的长度是第一根长度的4倍。
两根电线原来有多长?
6、大、小两数之差是504。
大数个位数是0,去掉这个0,正好是小数。
大、小数各是多少?
差倍问题小练习
班级:
姓名:
1、暑假里,兄弟二人去池塘边钓鱼,哥哥比弟弟多钓了20条,哥哥钓的条数又正好是弟弟的3倍。
问兄弟俩各钓了多少条鱼?
2、小明有存款56元,小华有存款34元。
如果两人取出同样多的钱后,小明的存款是小华的3倍。
问取款后两人各有存款多少元?
3、参加数学兴趣小组的同学中,五年级比四年级的3倍少35人,两年级的人数差是41人,问两年级参加数学兴趣小组的各有多少人?
4、有两匹布,第一匹布的长度是第二匹布的3倍,第一匹布剪去850米,第二匹布剪去50米后,两匹布剩下的长度相等,这两匹布原来各有多长?
5、甲数加上152等于乙数,乙数加上480等于甲数的3倍,问甲、乙两数各是多少?
6、甲有60元,乙有28元,两人添上相等的钱后,甲的钱的3倍等于乙的钱的5倍,现两人各有多少钱?
综合训练
(一)
班级:
姓名:
1、已知等差数列2,5,8,11,14,…
(1)这个数列的第13项是多少?
(2)47是其中的第几项?
2、7+10+13+…+37+403、2000-3-6-9-…-51-54
4、三年级同学测身高,第一组10名同学的身高分别为134,132,138,140,128,135,143,137,136,137厘米,平均身高是多少厘米?
5、
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