北师大版九年级数学上册重点知识点归纳整理.docx
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北师大版九年级数学上册重点知识点归纳整理
九年级数学上册知识点归纳(北师大版)
第一章特殊平行四边形
第二章一元二次方程
第三章概率的进一步认识
第四章图形的相似
第五章投影与视图
第六章反比例函数
(八下前情回顾)※平行四边的定义:
两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形,平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。
※平行四边形的性质:
平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的距离:
若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。
这个距离称为平行线之间的距离。
第一章特殊平行四边形
1菱形的性质与判定
菱形的定义:
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质:
具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法:
一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2矩形的性质与判定
※矩形的定义:
有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质:
具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角。
(矩形是轴对称图形,有两条对称轴)
※矩形的判定:
有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3正方形的性质与判定
正方形的定义:
一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质:
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
(正方形是轴对称图形,有两条对称轴)
※正方形常用的判定:
有一个内角是直角的菱形是正方形;
邻边相等的矩形是正方形;
对角线相等的菱形是正方形;
对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示):
※梯形定义:
一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质:
等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半
第二章一元二次方程
1认识一元二次方程
※只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为(a、b、c为
常数,a≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程。
※把(a、b、c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,a为二次项系数;b为一次项系数;c为常数项。
2用配方法求解一元二次方程
①配方法<即将其变为的形式>
※配方法解一元二次方程的基本步骤:
①把方程化成一元二次方程的一般形式;
②将二次项系数化成1;
③把常数项移到方程的右边;
④两边加上一次项系数的一半的平方;
⑤把方程转化成的形式;
⑥两边开方求其根。
3用公式法求解一元二次方程
②公式法(注意在找abc时须先把方程化为一般形式)
4用因式分解法求解一元二次方程
③分解因式法把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
(主要包括“提公因式”和“十字相乘”)
5一元二次方程的根与系数的关系
※根与系数的关系:
当b2-4ac>0时,方程有两个不等的实数根;
当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
当b2-4ac<0时,方程无实数根。
※如果一元二次方程的两根分别为x1、x2,则有:
。
※一元二次方程的根与系数的关系的作用:
(1)已知方程的一根,求另一根;
(2)不解方程,求二次方程的根x1、x2的对称式的值,特别注意以下公式:
①②③
④⑤
⑥⑦其他能用或表达的代数式。
(3)已知方程的两根x1、x2,可以构造一元二次方程:
(4)已知两数x1、x2的和与积,求此两数的问题,可以转化为求一元二次方程的根
6应用一元二次方程
※在利用方程来解应用题时,主要分为两个步骤:
①设未知数(在设未知数时,大多数情况只要设问题为x;但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑);②寻找等量关系(一般地,题目中会含有一表述等量关系的句子,只须找到此句话即可根据其列出方程)。
※处理问题的过程可以进一步概括为:
第三章概率的进一步认识
用树状图或表格求概率
相关知识点链接:
频数与频率
频数:
在数据统计中,每个对象出现的次数叫做频数,
频率:
每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。
概率的意义和大小:
概率就是表示每件事情发生的可能性大小,即一个时间发生的可能性大小的数值。
必然事件发生的概率为1;不可能事件发生的概率为0;不确定事件发生的概率在0与1之间。
【知识点1】频率与概率的含义
在试验中,每个对象出现的频繁程度不同,我们称每个对象出现的次数为频数,而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率,即
把刻画事件A发生的可能性大小的数值,称为事件A发生的概率。
【知识点2】通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率
在进行试验的时候,当试验的次数很大时,某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。
我们可以通过多次试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。
【知识点3】利用画树状图或列表法求概率(重难点)
第四章图形的相似
1成比例线段
一.线段的比
※1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:
CD=m:
n,或写成.
※2.四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.
※3.注意点:
①a:
b=k,说明a是b的k倍;
②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数;
③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;
④除了a=b之外,a:
b≠b:
a,与互为倒数;
⑤比例的基本性质:
若,则ad=bc;若ad=bc,则
2平行线分线段成比例
※1.平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如图2,l1//l2//l3,则.
二.黄金分割
※1.如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.
3相似多边形
¤1.一般地,形状相同的图形称为相似图形.
※2.对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.
※1.在相似多边形中,最为简单的就是相似三角形.
※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.
※3.全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1.注意:
证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
※4.相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
※5.相似三角形周长的比等于相似比.
※6.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.
4探索三角形相似的条件
※1.相似三角形的判定方法:
一般三角形
直角三角形
基本定理:
平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.
①两角对应相等;
②两边对应成比例,且夹角相等;
③三边对应成比例.
①一个锐角对应相等;
②两条边对应成比例:
a.两直角边对应成比例;
b.斜边和一直角边对应成比例.
※2.平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如图2,l1//l2//l3,则.
※3.平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
5相似三角形的判定定理的证明
6利用相似三角形测高
7相似三角形的性质
8图形的位似
第五章投影与视图
A)三视图
• 主视图——从正面看到的图 左视图——从左面看到的图 俯视图——从上面看到的图
• 画物体的三视图时,要符合如下原则:
大小:
长对正,高平齐,宽相等.
• 虚实:
在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线.
B)投影
• 物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象.
• 太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影。
• 在同一时刻,物体高度与影子长度成比例.
• 物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影.
• 探照灯,手电筒,路灯,和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线,像这样的光线所形成的投影称
为中心投影
• 皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子.它们是中心投影。
C)视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用。
. 眼睛所在的位置称为视点,
. 由视点发出的光线称为视线,
. 眼睛看不到的地方称为盲区
第六章反比例函数
知识点1反比例函数的定义
一般地,形如(k为常数,)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理解:
⑴x是自变量,y是x的反比例函数;
⑵自变量x的取值范围是的一切实数,函数值的取值范围是;
⑶比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分;
⑷反比例函数有三种表达式:
①(),
②(),
③(定值)();
⑸函数()与()是等价的,所以当y是x的反比例函数时,x也是y的反比例函数。
(k为常数,)是反比例函数的一部分,当k=0时,,就不是反比例函数了,由于反比例函数()中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k的值,从而确定反比例函数的表达式。
知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式
由于反比例函数()中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k的值,从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量,函数值,所以它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤:
⑴列表;⑵描点;⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点:
①列表时选取的数值宜对称选取;
②列表时选取的数值越多,画的图像越精确;
③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线;
④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。
知识点4反比例函数的性质
☆关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况,如下表:
反比例函数
()
的
符号
图像
性质
①的取值范围是,y的取值范围是
②当时,函数图像的两个分支分别在第一、第三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小。
①的取值范围是,y的取值范围是
②当时,函数图像的两个分支分别在第二、第四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大。
注意:
描述函数值的增减
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