完整初中数学专题训练二次根式最简二次根式docx.docx
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初中数学
典型例题一
例01.下列各式中属于最简二次根式的是(
)
A.
x21
B.x
y
C.12
D.11
x
2
分析
因x
y
x
12
34
23.
x
xy,
x
11
3
6
2
2
2
解答
A
说明
最简二次根式必须满足两个条件:
(1)被开方数因数是整数,因式是整式;
(2)
被开方数不能含有开得尽方的因数或因式.
典型例题二
例02.在二次根式中
45,2x3,
x,
m2
n2,11,最简二次根式的个数
4
是(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
分析
因为
453
5,2x3
x
2x,
x
x都不是最简二次根式,
所以最简
4
2
二次根式有
2个.
解答
B
说明
最简二次根被开方数中因数次数只能小于
2,且不能含有分母.
典型例题三
例03.在根式
6,
(x
y)2z,a
2b,
1
x,
y
y2,8ab,
,
,x2
x
2
x
x3中,最简二次根式的个数为(
).
A.2
B.3
C.4
D.5
分析
1的被开方数是分式,
x的被开方数中含有分数因数1,
x
2
2
8ab=
222ab,3x
x2
x,它们和
(x
y)2
z中都含有能开得尽方的因数或因式,
精品设计
初中数学
所以这几个二次根式都不是最简二次根式.
解答C
说明考查最简二次根式的意义.
只要全面了解了最简二次根式的定义,这样的题目就能迎刃而解.读者可以自行编拟类
似的判断题等,互相检查对二次根式的了解情况.
典型例题四
例04.化简
a
3
2
2
2
(
)
______.
a
b
a
ab
ab
ab
分析
原式=
a
(
2
2
2
)
a
aa
ab
b
b
a
a
b
a(a
b)2
a
a
a
ba
b
因a
b,ab
0,ab
(ab)
故原式=aa
解答aa
说明化简时,把能开得尽方的因式移到根号外,但一定要根据其取值范围,将算术平
方根移到根号外.如果将要移出因式是多项式,必须添上括号.
典型例题五
例05.
(1)化简:
4
x5
______;
1
________.
(2)a
a
分析
(1)因4x5
0,则x
0,
故
4x5
2x2
x
2x2
x
(2)因
1
0,a
0
,
a
故a
1
a
a
a
a
a
a
a
a2
解答
2x2
x;
a
精品设计
初中数学
说明在
(1)中隐含4x50,即x0的条件;在
(2)中隐含10,即a0.
a
典型例题六
例06.化简a21
2(0a1)
a2
解答∵0a
1,∴
a
1
1
,a
0.
a
a
∴a21
2
(a
1)2
a2
a
a
1
a
1
(a)
2
1a
说明本题中a与1的大小关系,是以隐含的形式给出的.
a
被开方数可以写成两项差的平方的形式,从而可以利用本节所学公式.
典型例题七
例07.化简:
(yx)
x
(x
y)
2
2xy
y2
x
解答1:
∵x
y,∴x
y
0
,
原式=(yx)
x
y
x
x
y
x
x
y)2
x
y
x
x
(x
y
解答2:
∵x
y,∴y
x
0
,
原式=(x
y)
x
(x
y)
2
x
x
y)2
(x
y)2
(x
说明可将被开方数的分母写成两项差的平方的形式移出根号,也可将根号外的因式移入根号内.
精品设计
初中数学
典型例题八
例08.把下列二次根式化成最简二次根式:
(1)17
;
(2)
4a5b3
(a
0,b0,m
0);
25
9m
(3)
a
b
(4)
x2
1
a
b
xy
y
解答
(1)原式=
32
422
4
2
25
52
5
(2)原式=
22a4b2ab
2a2b
ab=
2a2b
abm
32m
3
m
3m
(3)原式=
(a
b)(a
b)
1
a2
b2
(ab)2
a
b
(4)原式=
(x
1)(x
1)
x
1
1
(x
1
xyy
y(x1)
y
=
y
1)y
y
说明考查二次根式的化简
(1)被开方数是带分数时,首先要将它化为假分数;
(2)被开方数分解因数或因式后,若分子、分母有公因数(式),应先约去公因数(式),使运算简便.
典型例题九
例09.化简下列根式:
(1)(a1)
a
1
;
(2)x
x1
;
(3)
25a3b(b0)
1
x2
解答
(1)由被开方式
1
0知a
1
0
a
1
∴原式=
(1a)
1
1
a
(1
a)2
1
a
1
a
1
(2)由根式有意义知
x
1
0
即x
1
x
0
∴原式=
(x)
x
1
(
x)2(x
1)
(x1)
x1
x2
x2
(3)∵b
0,又a3b
0知a0
精品设计
初中数学
∴原式=52a2ab=5aab
说明考查根式的化简方法.
化简根式时,常要将某些代数式移出或移入根号,但一定要注意字母的取值范围,必须
保证移出或移入前后根式中符号(正负)性质不变.
典型例题十
例10.当x
4
时,求x2
2x1的值.
5
1
分析
4
,分母有理化后,有x
5
1.
因为x
5
1
又x2
2x1(x
1)2
2,
把x
5
1代入,得
原式=(5
11)2
2
3.
说明
一般而言,对于求值的题都不能把字母的取值代入原始式子进行运算,而是必
须先化简再注值.本题多项式已经化简了,故就应把
x
4
代入,但考虑到
x的值是个
5
1
无理数,又是分母上有根号,就应把它分母有理化以后再代入,也就是说把
x
51代入
代数式就显得比较简单.
同时,尽管多项式已经很简了,如果我们稍作变换,能使代入运算
更加方便,也就是的式化为
(x1)2
2,运算更简.
如果把字母的取值不分青红皂白代入原式,就可能运算很繁,导致错误.第一要把字母
的取值化简,第二要把代数式化简再根据代数式的特点,适当作一点变换,就能简捷地求出代数式的值.
典型例题十一
例11.已知2a3b4,化简:
(1)a2
2a
1;
(3)b2
8b16
解答∵2a3b
4,即2a34b
∴2a30且4
b
0
精品设计
初中数学
即a
3
,b
4
2
∴
(1)
2
21
(
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