复习题三角形的证明.docx
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复习题三角形的证明
1.如图,在等边三角形ABC中,在AC边上取两点M、N,使∠MBN=30°.若AM=m,MN=x,CN=n,则以x,m,n为边长的三角形的形状为( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.随x,m,n的值而定
2.如图,△ABC中,AC=DC=3,BD垂直∠BAC的角平分线于D,E为AC的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )
A.B.3
C.D.9
3.如图,在等边△ABC中,AB=6,∠AFB=90°,则CF的最小值为( )
A.3B.
C.6
﹣3D.3
﹣3
4.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,将含30°角的Rt△ABC放在第一象限,其中30°角的对边BC长为1,斜边AB的端点A,B分别在y轴的正半轴,x轴的正半轴上滑动,连接OC,则线段OC的长的最大值是( )
A.
B.
C.2D.
5.如下图,在Rt△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分AB,垂足为E,D在BC上,已知∠CAD=32°,则∠B= 度.
6.如图,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点,若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有两个,则x的值是 .
7.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=36°,在直线AC或BC上取点M,使得△MAB为等腰三角形,符合条件的M点有 个.
8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,DE是AC的垂直平分线.
(1)求证:
△BCD是等腰三角形;
(2)△BCD的周长是a,BC=b,求△ACD的周长(用含a,b的代数式表示)
9.已知:
如图,AD∥BC,DB平分∠ADC,CE平分∠BCD,交AB于点E,BD于点O.求证:
点O到EB与ED的距离相等.
10.将一副直角三角板如图摆放,等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同,且斜边BC与BE在同一直线上,AC与BD交于点O,连接CD.
求证:
△CDO是等腰三角形.
11.如图,等边三角形ABC中,D为AC上一点,E为AB延长线上一点,DE⊥AC交BC于点F,且DF=EF.
(1)求证:
CD=BE;
(2)若AB=12,试求BF的长.
12.如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.求证:
(1)AM⊥DM;
(2)M为BC的中点.
13.如图所示,△ABC中,∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E,EF⊥AB,EG⊥AC,垂足分别为F、G,则BF=CG吗说明理由.
14.如图,在△ABC中,点D在边AC上,DB=BC,E是CD的中点,F是AB的中点,求证:
EF=
AB.
15.如图,在△ABC中,点D在边AC上,DB=BC,E是CD的中点,F是AB的中点.
(1)直接写出AB与EF的数量关系:
;
(2)若AD=3,BD=2,∠C=60°,求EF的长.
16.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACB交AB于E,EF⊥AB交CB于F.
(1)求证:
CD∥EF;
(2)若∠A=70°,求∠FEC的度数.
17.如图,已知△ABC是边长为3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为t(s),则
(1)BP= cm,BQ= cm.(用含t的代数式表示)
(2)当t为何值时,△PBQ是直角三角形
18.
(1)操作实践:
△ABC中,∠A=90°,∠B=°,请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形,并标出分割成两个等腰三角形底角的度数;(要求用两种不同的分割方法)
(2)分类探究:
△ABC中,最小内角∠B=24°,若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形,请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值;
(3)猜想发现:
若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形,需满足什么条件(请你至少写出两个条件,无需证明)
19.如图1,在△ABC中,∠BAC=75°,∠ACB=35°,∠ABC的平分线BD交边AC于点D.
(1)求证:
△BCD为等腰三角形;
(2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E,如图2,求证:
BD+AD=AB+BE;
(3)若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E,请你探究
(2)中的结论是否仍然成立直接写出正确的结论.
20.已知:
如图,在△ABC中,AD∥BC,AD平分外角∠EAC,求证:
AB=AC.
21.
(1)数轴上有A、B两点,若A点对应的数是﹣2,且A、B两点的距离为3,则点B对应的数是 ;
(2)已知线段AB=12cm,直线AB上有一点C,且BC=4cm,M是AC的中点,AM的长为 ;
(3)已知∠AOB=3∠BOC,∠BOC=30°,则∠AOC= .
(4)已知等腰三角形两边长为17、8,求三角形的周长.
22.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,延长CB至点E,延长BC至点F,使BE=CF,连接AE、AF.
求证:
AD平分∠EAF.
23.在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,连接AC、BD,E、F分别是AC、BD的中点,连接EF,试证明EF⊥BD.
24.如图,∠DAE=∠ADE=15°,DE∥AB,DF⊥AB,若AE=8,求线段DF的长度.
25.
(1)如图1,OB是Rt△ABC斜边上的中线,延长BO到D,使OD=OB,连结DA.利用图1证明:
中线OB等于斜边AC的一半.
(2)上面
(1)中的结论是一个很重要的定理,利用此定理证明下题:
如图2,点E是Rt△ABC的直角边AC上的点,ED⊥AB于D,F是线段BE的中点,连结FC、FD、CD,则有∠FCD=∠FDC.
26.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
(1)求证:
DE=DF;
(2)如果S△ABC=14,AC=7,求DE的长.
27.如图,已知直线l1∥l2∥l3,Rt△ABC的直角顶点C在直线l1上,点B在直线l2上,点A在直线l3上,l2与AC交于点D,且∠BAC=25°,∠BAE=25°.
(1)求证:
△ABD是等腰三角形;
(2)求∠BCF的度数.
28.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=5cm,△ABD的周长为17cm,求△ABC的周长.
29.如图,在△ABC中,点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点,AB+BC+AC=20,过O作OD⊥BC于D点,且OD=3,求△ABC的面积.
30.在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∠BAD=40°,AD=AE,求∠CDE的度数.
31.如图所示,在△ABC中,∠BAC的平分线AD交BC于点D,DE垂直平分AC,垂足为点E,∠BAD=29°,求∠B的度数.
32.如图1,已知∠ABC=90°,△ABC是等腰三角形,点D为斜边AC的中点,连接DB,过点A作∠BAC的平分线,分别与DB,BC相交于点E,F.
(1)求证:
BE=BF;
(2)如图2,连接CE,在不添加任何辅助线的条件下,直接写出图中所有的等腰三角形.
33.如图所示,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的大小;
(2)若CD=3,求DF的长.
34.已知:
△ABC中,∠B、∠C的角平分线相交于点D,过D作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F,求证:
BE+CF=EF.
35.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的面积是28cm2,AB=16cm,AC=12cm,求DE的长.
36.已知:
E是∠AFB的平分线上一点,EC⊥FA,ED⊥FB,垂足分别为C、D.求证:
FE是CD的垂直平分线.
37.如图,△ABC中,AB=AC=5,AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D.
(1)若△BCD的周长为8,求BC的长;
(2)若∠A=40°,求∠DBC的度数.
38.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,延长AC至E,使CE=AC.
(1)求证:
DE=DB;
(2)连接BE,试判断△ABE的形状,并说明理由.
39.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长.
40.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F,
(1)求∠F的度数;
(2)若CD=3,求DF的长.
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