四年级春季第八讲(排列组合).pdf
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2011年四年级春季班第八讲排列组合程雪四年级春季班(八级下)四年级春季班(八级下)8.1第八讲排列组合第八讲排列组合一、三个核心思想:
一、三个核心思想:
1、确定分类分步策略2、特殊优先3、对应与转化二、已学方法1、确定分类分步策略2、特殊优先3、对应与转化二、已学方法(请同学们复习一下寒假班第五、六讲)1、排除法2、捆绑法3、插空法4、直排法5、挡板法三、1、排除法2、捆绑法3、插空法4、直排法5、挡板法三、例题讲解例题讲解
(一)组数问题
(一)组数问题对于组数问题,我们以前学过加乘原理可以解决。
结合排列可以简化部分过程,关键仍然是关注“特殊”数位,即先确定哪一位。
例例1由由0,2,5,6,7,8组成无重复数字的数组成无重复数字的数
(1)四位数有多少个?
)四位数有多少个?
(2)四位奇数有多少个?
)四位奇数有多少个?
(3)四位偶数有多少个?
)四位偶数有多少个?
解析:
解析:
(1)
(1)四位数分千位,百位,十位,个位,千位最特殊,不能为0,则第一步,先确定千位,可供选择的数只有5个(2,5,6,7,8),方法有15A种;第二步,剩下百位,十位,个位没有什么限制,即从剩下的5个数字中任选3个随便排,那么方法有35A种。
运用乘法原理,共有15A35A=5543=300(个)
(2)因为是奇数,个位特殊,其次,千位也特殊,不能为0,第一步,确定个位,第二步,确定千位,第三步,确定百位和十位。
得到12A14A24A=2443=96(个)(3)四位数共300个(第一问),其中奇数96个(第二问),则偶数为30096=204个。
若用排列方法单独计算也可以。
个位只能在0,2,6,8中选择,而0不能为首位,故分成两种情况,个位选0,共有35A=60(个),个位从2,6,8中选,共有13A14A24A=3443=144(个),共计60+144=204(个)。
(提高)学案(提高)学案1由由0,2,5,6,7,8组成无重复数字的数组成无重复数字的数
(1)整数有多少个?
)整数有多少个?
(2)是)是5的倍数的三位数有多少个?
的倍数的三位数有多少个?
解析:
(解析:
(1)整数包括一位整数、两位整数、三位、四位、五位、六位。
依次求出相加即可。
2011年四年级春季班第八讲排列组合程雪四年级春季班(八级下)四年级春季班(八级下)8.2一位整数:
16A=6个两位整数:
15A15A=55=25(个)三位整数:
15A25A=554=100(个)最后相加:
1631个四位整数:
15A35A=5543=300(个)五位整数:
15A45A=55432=600(个)六位整数:
15A55A=554321=600(个)
(2)是5的倍数,则个位特殊,选0或5,而0又不能放首位,故将个位的0和5按类区分,最后相加。
个位为0:
个位就0这一种选法。
百位和十位随便排,故25A=54=20(个)个位为5:
个位就5这一种选法。
百位除0和5以外还有4种选法,十位除5和百位的数以外也还有4种选法,最后是14A14A=44=16(个)共计20+16=36(个)。
(尖子)学案(尖子)学案4如如1447,1005,1231这三个数字有许多相同之处:
它们都是四位数,最高位都是这三个数字有许多相同之处:
它们都是四位数,最高位都是1,都恰有,都恰有2个相同数字,一共有多少个这样的数?
个相同数字,一共有多少个这样的数?
解析解析:
“1”特殊,因为首位一定是1,那么我们会想到相同的数字可能还是1,也可能不是1。
因此我们根据相同数字是不是1,将本题分为两类。
(1)若相同数字为1:
特殊优先,第一步,看另一个1,只能在百,十,个位,因此有3种排法,第二步,还有两个位置,从09十个数中选除1外的不同的两个数随便排,即29A=98=72。
乘法原理:
372=216个。
(2)若相同数字不为1:
第一步,相同数字有9种选择,且它们的位置是从3个(百、十、个)中选2个,选出来就可以,不用再随便排(因为这2个数字是相同的),用组合。
第二步,选出第四个数即可,这个数只有剩下的8种选法啦。
19C23C18C=938=216(个)。
共计216+216=432个。
(二)排除法的应用
(二)排除法的应用当发现直接求解涉及的分类很多,不妨用整体减去不要的分类,可以简化计算。
例2一个小组共10名学生,其中4名女生,6名男生,现从中选出3名代表,其中至少有一名女生共有多少种选法?
解析:
直接求解例2一个小组共10名学生,其中4名女生,6名男生,现从中选出3名代表,其中至少有一名女生共有多少种选法?
解析:
直接求解:
至少一名女生,包括三类情况,
(1)1名女生,2名男生:
14C26C=60(种)2011年四年级春季班第八讲排列组合程雪四年级春季班(八级下)四年级春季班(八级下)8.3
(2)2名女生,1名男生:
24C16C=36(种)
(1)3名女生,0名男生:
34C=4(种)共计:
60+36+4=100(种)排除法:
排除法:
从10名学生中选3名代表,再减去没有女生的选法不就是“至少有一名女生”的方法了吗?
310C-36C=100(种)(尖子)学案2正八边形的中心和顶点共9个点,以其中3个点为顶点的三角形共有多少个?
正九边形的中心和顶点共10个点,以其中3个点为顶点的三角形共有多少个?
解析:
(尖子)学案2正八边形的中心和顶点共9个点,以其中3个点为顶点的三角形共有多少个?
正九边形的中心和顶点共10个点,以其中3个点为顶点的三角形共有多少个?
解析:
(1)构成三角形的要求是三个不共线的点。
9个点中任选3个的方法有39C=84(种),其中四条对角线上的三个点是共线的,减出去就可以了,所以844=80(种)
(2)正九边形的中心和顶点共10个点中没有共线的3个点,所以就是310C=120(种)(三)对应与转化思想(提高)学案3圆周上有十个点,任两点之间连一条弦,这些弦在圆内共有多少个交点?
解析:
(三)对应与转化思想(提高)学案3圆周上有十个点,任两点之间连一条弦,这些弦在圆内共有多少个交点?
解析:
怎么样找圆内的交点呢?
发现两条交叉的线有一个交点,即一个四边形对应一个交点,那么题目转为为找有多少个四边形。
410C=210(个)(四)多面手问题例6某旅社有导游9人,其中3人只会英语,2人只会日语,其余4人既会英语又会日语,现要从中选6人,其中3人做英语导游,另外3人做日语导游,则不同的选择方法有多少种?
解析:
(四)多面手问题例6某旅社有导游9人,其中3人只会英语,2人只会日语,其余4人既会英语又会日语,现要从中选6人,其中3人做英语导游,另外3人做日语导游,则不同的选择方法有多少种?
解析:
对于多面手问题,我们一般按照多面手的名数来分类,但本题发现多面手太多,按多面手的名数来分类不是很简单。
本题中只会日语的人很少,我们不妨从只会日语的来分类。
(1)0名只会日语的:
第一步,日语导游只能从4名多面手中选3名。
第二步,英语导游可从3名只会英语的和剩下的1名多面手共4人种选3名。
即34C34C=16(种)
(2)1名只会日语的:
第一步:
从2名只会日语的选出1名;第二步:
再从4名多面手中选出2名当日语导游;第三步:
从3名只会英语和剩下的2名多面手中选出3名英语导游。
即12C24C35C=120(种)(3)2名只会日语的:
第一步,2个只会日语的全部选出有1种选法。
第二步,从4名多面手中再选出1名日语导游。
第三步:
从3名只会英语和剩下的3名多面手中选出3名英语导游。
即22C14C36C=80(种)共计:
16+120+80=216(种)(五)其它例题例3在图中15的格子中填入1,2,3,4,5,6,7,8中的5个数,要求:
填入的数各不相同并且填在黑格里的数比它旁边的两个数都大,共有多少种不同的填法?
(五)其它例题例3在图中15的格子中填入1,2,3,4,5,6,7,8中的5个数,要求:
填入的数各不相同并且填在黑格里的数比它旁边的两个数都大,共有多少种不同的填法?
2011年四年级春季班第八讲排列组合程雪四年级春季班(八级下)四年级春季班(八级下)8.4解析解析:
从8个数里选出5个数后,才方便根据题目要求进行填数。
假设取1,2,3,4,5.易发现,5最大,它必须填在黑格里,那么黑格就还剩一个了,是填4吗?
发现不一定,也可以填3。
那么就分为两类考虑。
第一类第一类:
黑格里填5和4。
又分两小类,左5右4或左4右5,这两小类是对称的,所以我们算出一类,再乘2就可以了。
以左5右4为例,剩下的三个白格中填1,2,3,随便放,没有任何限制条件,那么是33A=6(种),第一类共有62=12(种)第二类第二类:
黑格里填5和3。
同样分为左5右3或左3右5。
以左5右3为例,剩下的4只能放在5的一旁,不能和3相邻,剩下1,2可以随便放,那么有2种,第二类共有22=4(种)两类相加,一共有12+4=16(种)不同的填法。
如果不选1,2,3,4,5,选的是别的数呢?
发现不管怎么选,选出来的五个数字按大小肯定分为老大,老二,老三,老四,老五,填入方格中时都可参照上述1,2,3,4,5的方法,一定是16种填法。
从8个数里选5个的方法有58C=56(种),那么本题共5616=896(种)填法。
例4从10名男生,8名女生中选出8人参加游泳比赛,在下列条件下,分别有多少种选法?
(1)恰有3名女生入选
(2)至少有两名女生入选(3)某两名女生,某两名男生必须入选(4)某两名女生,某两名男生不能同时入选(5)某两名女生,某两名男生最多入选两人解析:
(1)例4从10名男生,8名女生中选出8人参加游泳比赛,在下列条件下,分别有多少种选法?
(1)恰有3名女生入选
(2)至少有两名女生入选(3)某两名女生,某两名男生必须入选(4)某两名女生,某两名男生不能同时入选(5)某两名女生,某两名男生最多入选两人解析:
(1)先选3名女生,再选5名男生:
38C510C=14112(种)
(2)
(2)排除法:
用整体减去“没有女生”和“只有一名女生”的情况即可71018810818CCCC=42753(种)(3)特定要选4名同学,那么不用按性别来区分,而要按“特殊的4名”和“不特殊的14名”来思考问题。
特殊的4名同学占了4个名额,再从其余14名中选4名就可以了。
那么就是414C=1001(种)(4)排除法:
从整体中减去这4人同时入选的方法414818CC=42757(种)(5)(5)直接分类:
这4人没人入选,有1人入选,有2人入选。
14814CC+24714CC+614C=34749(种)例例5用用2,4,6三个数字来构造六位数,但是不允许有两个连着的三个数字来构造六位数,但是不允许有两个连着的2出现在六位数中,问这样的六位数有多少个?
出现在六位数中,问这样的六位数有多少个?
解析:
解析:
2不能连着,但有几个2呢?
不知道,所以我们应该先分类;其次,2必须隔开,联想寒假的插空法,先留空,再插空。
2011年四年级春季班第八讲排列组合程雪四年级春季班(八级下)四年级春季班(八级下)8.5
(1)0个2:
每一位都有4和6两种选择,那么26=64(个)
(2)1个2:
先给2留空,用4和6组成一个5位数,25=32(个),6个空选一个有6种方法,所
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