新教材高中数学第五章三角函数章末复习提升课教师用书新人教A版必修第一册11.docx
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新教材高中数学第五章三角函数章末复习提升课教师用书新人教A版必修第一册11
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章末复习提升课
同角三角函数基本关系式和诱导公式
已知cos(π+α)=-
,且角α在第四象限,计算:
(1)sin(2π-α);
(2)
(n∈Z).
【解】 因为cos(π+α)=-
,
所以-cosα=-
,cosα=
.
又角α在第四象限,
所以sinα=-
=-
.
(1)sin(2π-α)=sin[2π+(-α)]=sin(-α)
=-sinα=
.
(2)
=
=
=
=-
=-4.
(1)同角三角函数基本关系的应用
①已知一个三角函数求另外两个:
利用平方关系、商式关系直接求解或解方程(组)求解.
②已知正切,求含正弦、余弦的齐次式;
(i)齐次式为分式时,分子分母同除以cosα或cos2α,化成正切后代入.
(ii)齐次式为整式时,分母看成1,利用1=sin2α+cos2α代入,再通过分子分母同除以cosα或cos2α化切.
(2)用诱导公式化简求值的方法
①对于三角函数式的化简求值,关键在于根据给出角的特点,将角化成2kπ±α,π±α,
±α,
π±α(或k·
±α,k∈Z)的形式,再用“奇变偶不变,符号看象限”来化简.
②解决“已知某个三角函数值,求其他三角函数值”的问题,关键在于观察分析条件角与结论角,理清条件与结论之间的差异,将已知和未知联系起来,还应注意整体思想的应用.
1.已知sin(π+θ)=-
cos(2π-θ),|θ|<
,则θ等于( )
A.-
B.-
C.
D.
解析:
选D.因为sin(π+θ)=-
cos(2π-θ),所以-sinθ=-
cosθ,所以tanθ=
.因为|θ|<
,所以θ=
.
2.已知
=2,则tanα=________.
解析:
由已知得
=2,
则5sinα=cosα,所以tanα=
.
答案:
3.已知-
,则sinx-cosx的值为________. 解析: 由sinx+cosx= , 平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x= , 即2sinxcosx=- , 所以(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= . 又因为- 所以sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0, 故sinx-cosx=- . 答案: - 三角函数的图象及变换 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< )的图象上的一个最低点为M ,周期为π. (1)求f(x)的解析式; (2)将y=f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后再将所得的图象沿x轴向右平移 个单位,得到函数y=g(x)的图象,写出函数y=g(x)的解析式. 【解】 (1)由题可知T= =π, 所以ω=2.又f(x)min=-2, 所以A=2.由f(x)的最低点为M, 得sin =-1. 因为0<φ< ,所以 < +φ< . 所以 +φ= .所以φ= . 所以f(x)=2sin . (2)y=2sin y=2sin =2sin y=2sin =2sinx, 所以g(x)=2sinx. (1)由图象或部分图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)中的参数 ①A: 由最大值、最小值来确定A. ②ω: 通过求周期T来确定ω. ③φ: 利用已知点列方程求出. (2)函数y=sinx的图象变换到y=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0)x∈R图象的两种方法 1.函数y=sin 在区间 上的简图是( ) 解析: 选A.令x=0,得y=sin =- ,排除B,D.由f =0,f =0,排除C. 2.要得到函数y=cos 的图象,只需将函数y=cos2x的图象( ) A.向左平移 个单位B.向左平移 个单位 C.向右平移 个单位D.向右平移 个单位 解析: 选B.因为cos =cos ,所以只需把函数y=cos2x的图象向左平移 个单位即可得到y=cos 的图象,故选B. 3.如图 是函数y=Asin(ωx+φ)+2(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象的一部分,则它的振幅、周期、初相分别是( ) A.A=3,T= ,φ=- B.A=3,T= ,φ=- C.A=1,T= ,φ=- D.A=1,T= ,φ=- 解析: 选D.由题图知函数的最大值为A+2=3,则A=1, 函数的周期T=2× = = , 则ω= ,则y=sin +2, 则当x= 时,y=sin +2=3, 即sin =1, 即 +φ= +2kπ,则φ=- +2kπ, 因为|φ|<π,所以当k=0时,φ=- , 故A=1,T= ,φ=- . 三角函数的性质 已知函数f(x)=4tanxsin ·cos - . (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间 上的单调性. 【解】 (1)f(x)的定义域为 . f(x)=4tanxcosxcos - =4sinxcos - =4sinx - =2sinxcosx+2 sin2x- =sin2x+ (1-cos2x)- =sin2x- cos2x=2sin . 所以f(x)的最小正周期T= =π. (2)令z=2x- ,则函数y=2sinz的单调递增区间是 ,k∈Z. 由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ, 得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 设A= , B= , 易知A∩B= . 所以当x∈ 时,f(x)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减. (1)三角函数的两条性质 ①周期性: 函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 . ②奇偶性: 三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx,而偶函数一般可化为y=Acosωx+B的形式. (2)求三角函数值域(最值)的方法 ①利用sinx,cosx的有界性. ②从y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域. ③换元法: 把sinx或cosx看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题. 1.下列函数中,周期为π,且在 上为减函数的是( ) A.y=sin B.y=cos C.y=sin D.y=cos 解析: 选A.因为函数的周期为π, 所以排除C,D. 因为函数在 上是减函数, 所以排除B,故选A. 2.(2019·郑州市第二次质量预测)已知函数f(x)=sin (x∈R),下列说法错误的是( ) A.函数f(x)的最小正周期是π B.函数f(x)是偶函数 C.函数f(x)的图象关于点 中心对称 D.函数f(x)在 上是增函数 解析: 选D.因为f(x)=sin =-sin =cos2x,所以函数f(x)是偶函数,且最小正周期T= =π,故A,B正确;由2x=kπ+ (k∈Z),得x= + (k∈Z),当k=0时,x= ,所以函数f(x)的图象关于点 中心对称,故C正确;当x∈ 时,2x- π∈[- π,- ],所以函数f(x)在 上是减函数,故D不正确.故选D. 三角恒等变换 (2018·高考江苏卷)已知α,β为锐角,tanα= ,cos(α+β)=- . (1)求cos2α的值; (2)求tan(α-β)的值. 【解】 (1)因为tanα= ,tanα= , 所以sinα= cosα. 因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α= , 因此,cos2α=2cos2α-1=- . (2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π). 又因为cos(α+β)=- , 所以sin(α+β)= = , 因此tan(α+β)=-2. 因为tanα= ,所以tan2α= =- , 因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]= =- . 三角恒等变换的“4大策略” (1)常值代换: 特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan45°等; (2)项的分拆与角的配凑: 如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等; (3)降次与升次: 正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次; (4)弦、切互化: 一般是切化弦. [提醒] 要特别注意二倍角余弦公式升降幂的作用. 1.计算: =( ) A. B.- C. D.- 解析: 选D.原式=- · =- tan =- × =- . 2.在△ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则C的大小为________. 解析: 两式左右两边分别平方相加,得sin(A+B)= , 则sinC=sin[π-(A+B)]= , 所以C= 或C= . 又3sinA=6-4cosB>2,得sinA> > , 所以A> ,所以C< ,故C= . 答案: 3.已知α∈ ,sinα= ,求sin 的值. 解: 因为α∈ ,sinα= , 所以cosα=- =- . 故sin =sin cosα+cos ·sinα= × + × =- .
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