函数一致连续性的判定.pdf
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收稿日期2006-04-18作者简介杨峻(1973),男,安阳师范学院数学系讲师,主要从事应用数学研究。
函数一致连续性的判定杨峻,何朝兵(安阳师范学院数学系,河南安阳455000)摘要对函数一致连续性的判定作了简要的总结,给出了有限区间和无限区间上函数一致连续的几个判定定理。
关键词函数;连续;一致连续中图分类号0152文献标识码A文章编号1671-5330(2006)05-0010-02函数的一致连续性是数学分析中的一个重要概念,它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础,而且与随后的含参量积分、函数项级数等概念都有着密切联系,因此,判定函数的一致连续性是数学分析的一项重要内容。
本文首先给出各类区间上判定函数一致连续性通用的判定定理,然后分别给出有限区间和无限区间上函数一致连续的几个判别方法。
1基本概念和定理定义设函数f在区间I上有定义,若对任给的!
0,存在=(!
)0,使对任何X*XI,且X*-X,总有f(X*)-f(X)0,使对任何X*XI,都有f(X*)-f(X)LX*-X,则函数f在区间I上一致连续。
定理1依据定义可立即证得。
如果函数可微,更常用的是下面的推论。
推论若函数f在区间I可导,且f*(X)在区间I有界,则函数f在区间I上一致连续。
证明f*(X)在区间I有界,即L0,XI,有f*(X)L。
f在区间I可导,据拉格朗日定理,X1,X2I,有f(X1)-f(X2)=f*(#)(X1-X2)。
从而f(X1)-f(X2)=f*(#)X1-X2LX1-X2,即f在区间I上满足Lipschitz条件,故f在区间I上一致连续。
定理2函数f在区间I上一致连续的充要条件是:
$H,yHI,只要IimH(XH-yH)=0,就有IimHf(XH)-f(yH)=0.由于数列XH,yH的任意性难以穷尽,定理2常用于证明函数在某区间非一致连续。
2有限区间上函数的一致连续性CaHtor定理若函数f在闭区间a,b上连续,则f在a,b上一致连续。
定理3若函数f在开区间(a,b)上连续,则f在(a,b)上一致连续的充要条件是f(a+0),f(b-0)均存在。
证明充分性作函数f的连续延拓f,令f(X)=f(a+0)X=af(X)X(a,b)f(b-0)X=b则f(X)在闭区间a,b上连续,由CaHtor定理,f(X)在闭区间a,b上一致连续,必在开区间(a,b)上一致连续,即f在(a,b)上一致连续。
必要性由f在(a,b)上一致连续的定义,!
0,0,X*,X(a,b),当X*-X时,有f(X*)-f(X)!
.故X*,X(a,a+2),有X*-XX*-a+a-X,从而有f(X*)-f(X)0,HAa,VX*,XHBA,有If(X*)-g(X*)I!
3If(XH)-g(gH)I0,H0,VX*,XHBA,且IX*-XHI,有Ig(X*)-g(XH)I!
3综上,VX*,XHBA,且IX*-XHI,有If(X*)-f(XH)ISIf(X*)-g(X*)I+Ig(X*)-g(XH)I+If(XH)-g(XH)Ia,可使f*(X)在A,+)有界,再由定理l推论,f在A,+)一致连续,再由Cantor定理知f在a,A一致连续,故f在a,+)一致连续。
必要性反证法,设IimX+If*(X)I=+。
则H!
0=l2,V0,取G=l,故HAa,VXA,有If*(X)IG.取Xl,X2A,且使IXl-X2I=2G2=l2.故f在(A,+)非一致连续,这与f在a,+)一致连续矛盾。
定理6的结论相当完美,它使得许多初等函数在无限区间上一致连续与非一致连续的判别,都变得简便易行。
例如,极易验证以下例子。
l)eX在(-,a)上一致连续,而在(a,+)上非一致连续。
2)X2在(-,+)上非一致连续,X在0,+)上一致连续。
3)InX在a,+)上一致连续(a0)。
4)arctanX在(-,+)上一致连续。
参考文献l华东师范大学数学系.数学分析(上册第三版)M.北京:
高等教育出版社,200l.2朱时.数学分析札记M.贵州:
贵州教育出版社,l994.3杨中南.函数在无穷远处的一致连续性J.集美大学学报,l997,2(l):
7075.4陈惠汝,何春羚.再探函数在无穷远处的一致连续性J.宜春学院学报,2006,
(2):
4546.DiscriminanceofUniformContinuityforFunctionYANGJun,HeChao-bing(DepartmentofMathematics,AnyangTeachersCoIIege,Anyang455000,China)Abstract:
Thispapermakesabriefsummaryofuniformcontinuityforfunction,andpresentssomediscriminatingtheoremsofuniformcontinuityforfunctionatfiniteintervaIandinfiniteintervaI.Keywords:
function;continuity;uniformcontinuity责任编校:
弘扬ll第5期杨峻,何朝兵:
函数一致连续性的判定函数一致连续性的判定函数一致连续性的判定作者:
杨峻,何朝兵,YANGJun,HeChao-bing作者单位:
安阳师范学院,数学系,河南,安阳,455000刊名:
安阳师范学院学报英文刊名:
JOURNALOFANYANGTEACHERSCOLLEGE年,卷(期):
2006(5)被引用次数:
2次参考文献(4条)参考文献(4条)1.华东师范大学数学系数学分析20012.朱时数学分析札记19943.杨中南函数在无穷远处的一致连续性1997(01)4.陈惠汝;何春羚再探函数在无穷远处的一致连续性期刊论文-宜春学院学报2006(02)本文读者也读过(10条)本文读者也读过(10条)1.刘勇关于一元函数一致连续性的讨论期刊论文-赤峰学院学报(自然科学版)2009,25(11)2.袁南桥.YUANNan-qiao一致连续函数的判别及分布期刊论文-四川文理学院学报(自然科学版)2007,17
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