小学数学竞赛第十一讲 乘方的初步知识.docx
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小学数学竞赛第十一讲乘方的初步知识
一、乘方的概念
1.乘方的意义、各部分名称及读写
先看几个例子:
(1)2×2
(2)3×3×3
(3)5×5×5×5
上面三个算式中,乘数都是相同的,分别为2个2相乘,3个3相乘,4个5相乘。
如果是25个9相乘呢?
若写成:
就太不方便了。
为了写起来方便,我们规定相同的乘数相乘,只写一个乘数,并在这个乘数的右上角,(数字写得小一些)写上相同乘数的个数。
例如:
22=2×2
54=5×5×5×5
一般地,an表示n个a相乘(n为整数):
这种求n个相同乘数乘积的运算叫做乘方。
在an中,相同的乘数a叫做底数,a的个数n叫做指数,乘方运算的结果an叫做幂。
an读作a的n次方,如果把an看作乘方的结果,则读作a的n次幂。
a的二次方(或a的二次幂)也可以读作a的平方;a的三次方(或a的三次幂)也可以读作a的立方。
每一个自然数都可以看作这个数的一次方,也叫作一次幂。
如:
8可以看作81。
当指数是1时,通常省略不写。
例1
(1)43表示4×4×4,读作4的三次方,(如果把43看作运算结果读作:
4的3次幂)也读作4的立方。
(2)156表示15×15×15×15×15×15,读作15的6次方或15的6次幂。
(3)a2表示a×a,读作a的二次方或a的二次幂。
也读作a的平方。
2.相同乘数相乘的积用乘方表示
例2用乘方表示下面各题的积:
(1)6×6×6×6=64
(3)a×a×a=a3
3.根据乘方的意义计算出答案
例3计算
(1)94;
(2)115;(3)06。
解:
(1)94=9×9×9×9=6561
(2)115表示15个1相乘,∴115=1。
(3)06表示6个0相乘,∴06=0。
注意:
底数是0的乘方等于0。
4.区别易混的概念
例4下面各对算中的两个算式是不是一样的?
为什么?
(1)83与8×3;
(2)42与24;
(3)4×52与(4×5)2。
解:
(1)83表示3个8相乘,83=8×8×8=512;8×3表示3个8相加的简便算法,8×3=8+8+8=24;所以两个算式是不一样的。
(2)42表示2个4相乘的积。
即
42=4×4=16
24表示4个2相乘的积。
即
24=2×2×2×2=16
应该注意的是42=16,24=16,计算结果是相同的,这仅仅是一个特例,并不是所有类似的乘方结果都是相同的。
如:
25=32,52=25。
(3)4×52表示一个乘数4和2个乘数5的连乘积,即4×52
=4×5×5=100。
(4×5)2表示两个4乘以5的积相乘,即
(4×5)2(4×5)×(4×5)=400,
所以两个算式是不一样的。
二、同底数幂的乘法法则
我们根据乘方所表示的意义,先讨论下面的例子。
一般地,可以得出同底数幂的乘法法则:
同底数幂相乘,原来的底数作底数,指数的和作指数。
用字母表示为:
am×an=am+n(m、n均为自然数)
例5计算:
(1)152×153;
(2)32×34×38;
(3)5×52×53×54×…×590
解:
(1)原式=152+3=155
(2)原式=32+4+8=1514
(3)观察原式各乘数的指数1、2、3、4、…、90,为等差数列,故用等差数列求和公式计算较简便。
5×52×53×54×…×590
三、同底数幂的除法法则
我们仍然根据乘方所表示的意义,看下面的例子。
一般地,可以得出同底数幂的除法法则:
同底数幂相除,原来的底数作底数,指数的差作指数。
用字母表示为:
am÷an=am-n(m、n为自然数,m>n)
例6计算
(1)128÷125;
(2)453÷45;
(3)257÷257。
解:
(1)原式=128-5=123
(2)原式=453-1=452
(3)直接按除法做,显然会得到
257÷257=1
四、幂的乘方法则
am又叫做幂,如果把am看作是底数,那么它的n次方就可以表示为(am)n。
这就叫做幂的乘方。
幂的乘方怎样计算呢?
我们先来计算(a3)4。
把a3看作是底数,根据乘方的意义和同底数的幂的乘法法则可以得出:
(a3)4=a3×a3×a3×a3=a3+3+3+3=a3×4=a12
即:
(a3)4=a3×4
同样,(a2)5=a2×a2×a2×a2×a2=a2+2+2+2+2=a2×5=a10
即:
(a2)5=a2×5
由以上例子可以概括出,幂的乘方,底数不变,指数相乘。
用字母表示为:
(am)n=am×n
例7计算:
(1)(103)5;
(2)(x4)2;
(3)(a2)4×(a3)5。
解:
(1)原式=103×5=1015
(2)原式=x4×2=x8
(3)原式=a2×4×a3×5=a8×a15=a=a23
四、幂的乘方法则
am又叫做幂,如果把am看作是底数,那么它的n次方就可以表示为(am)n。
这就叫做幂的乘方。
幂的乘方怎样计算呢?
我们先来计算(a3)4。
把a3看作是底数,根据乘方的意义和同底数的幂的乘法法则可以得出:
(a3)4=a3×a3×a3×a3=a3+3+3+3=a3×4=a12
即:
(a3)4=a3×4
同样,(a2)5=a2×a2×a2×a2×a2=a2+2+2+2+2=a2×5=a10
即:
(a2)5=a2×5
由以上例子可以概括出,幂的乘方,底数不变,指数相乘。
用字母表示为:
(am)n=am×n
例7计算:
(1)(103)5;
(2)(x4)2;
(3)(a2)4×(a3)5。
解:
(1)原式=103×5=1015
(2)原式=x4×2=x8
(3)原式=a2×4×a3×5=a8×a15=a=a23
六、平方差公式
已知两个数a和b,这两个数的和乘以这两个数的差可以写成:
(a+b)×(a-b)
我们把a+b看成一个数,利用乘法分配律可以按以下顺序进行计算。
(a+b)×(a-b)=[(a+b)×a]-[(a+b)×b]
=a2+ab-ab-b2=a2-b2
由此可知:
两个数的和乘以这两个数的差,等于这两个数的平方的差。
用字母表示为:
(a+b)×(a-b)=a2-b2
这个公式叫做平方差公式。
利用这个公式,可以使一些计算变得简便。
例8用简便方法计算104×96。
解:
原式=(100+4)×(100-4)=1002-42
=10000-16=9984
七、完全平方公式
两个数和的平方怎样计算呢?
两个数的和表示为a+b,这两个数和的平方则表示为;(a+b)2。
根据乘方的意义
(a+b)2=(a+b)×(a+b)
=[(a+b)×a]+[(a+b)×b]
=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
同样,两个数差的平方可推导如下:
(a-b)2=(a-b)×(a-b)
=[(a-b)×a][(a-b)×b]
=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
也就是说,两数和(或差)的平方,等于它们的平方的和加上(或者减去)它们的积的2倍。
用字母表示为:
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
上面这两个公式叫做完全平方公式。
应用完全平方公式,可以使一些乘方计算变得简便。
例9计算下面各题:
(1)1052;
(2)1962。
解:
(1)原式=(100+5)2=1002+2×100×5+52
=10000+1000+25
=11025
(2)原式=(200-4)2=2002-2×200×4+42
=40000-1600+16=38400+16
=38416
例10计算下面各题:
(1)422;
(2)542;
(3)982;
(4)9932;
(5)10022。
解:
(1)原式=(40+2)2=402+2×40×2+22
=1600+160+4
=1764
(2)原式=(50+4)2=502+2×50×4+42
=2500+400+16=2916
或原式=(60-6)2=602-2×60×6+62
=3600-720+36
=2916
(3)原式=(90+8)2=902+2×90×8+82
=8100+1440+64
=9604
或原式=(100-2)2=1002-2×100×2+22
=10000-400+4=9604
(4)原式=(1000-7)2=10002-2×1000×7+72
=1000000-14000+49=986049
(5)原式=(1000+2)2=10002+2×1000×2+22
=1000000+4000+4=1004004
由以上例题可以看出,有些题的解法不只一种,故应选用较简单的方法进行计算。
八、平方数的速算
有些较特殊的数的平方,掌握规律后,可以使计算速度加快,现介绍如下。
1.求由n个1组成的数的平方
我们观察下面的例子。
由以上例子可以看出这样一个规律;求由n个1组成的数的平方,先由1写到n,再由n写到1,即:
注意:
其中n只占一个数位,满10应向前进位,当然,这样的速算不宜位数过多。
例11计算
解:
原式=12345678987654321
2.由n个3组成的数的平方
我们仍观察具体实例:
由此可知:
由n个3组成的数的平方,等于在n-1个1的后面写一个0,再写n-1个8,再写一个9。
即:
例12计算33332。
解:
原式=11108889
3.个位数字是5的数的平方
把a看作10的个数,这样个位数字是5的数的平方可以写成;(10a+5)2的形式。
根据完全平方式推导;
(10a+5)2=(10a)2+2×10a×5+52
=100a2+100a+25
=100a×(a+1)+25
=a×(a+1)×100+25
由此可知:
个位数字是5的数的平方,等于去掉个位数字后,所得的数与比这个数大1的数相乘的积,后面再写上25。
例13计算
(1)452;
(2)1152。
解:
(1)原式=4×(4+1)×100+25
=2000+25=2025
(2)原式=11×(11+1)×100+25
=11×12×100+25
=13200+25
=13225
4.同指数幂的乘法
a2×b2是同指数的幂相乘,可以写成下面形式:
a2×b2=a×a×b×b=(a×b)×(a×b)=(a×b)2
由此可知:
同指数幂的乘法,等于底数的乘积做底数,指数不变。
根据这个法则可以使计算简便。
如:
22×52=(2×5)2=102=100
23×53=(2×5)3=103=1000
24×54=(2×5)4=104=10000
根据上面算式,可以得出这样一个结论:
例14计算:
(1)26×56;
(2)510×210。
解:
(1)原式=1000000
(2)原式=10000000000
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