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1第1章有理数
第一章 有理数
1.1正数和负数
1.2数轴
专题一探究数字的规律
1.观察下面各数列,研究它们各自的变化规律,并接着填出后面的两个数.
(1)1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,_______,______,…
(2)2,-4,6,-8,10,-12,14,-16,_____,______,…
(3)1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,______,______,…
2.某校生物教师李老师在生物实验室做试验时,将水稻种子分组进行发芽试验;第1组取3粒,第2组取5粒,第3组取7粒,第4组取9粒,…按此规律,那么请你推测第n组应该有种子是_____粒.
3.根据下表的规律,空格中应依次填写的数字是( )
A.100,001B.011,001C.100,011D.011,100
4.我们知道:
1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,…观察下面的一列数:
-1,2,-3,4,-5,6,…将这些数排成如下形式,根据规律猜想:
第20行第4个数是( )
A.-363B.-365C.-367D.-369
专题二与数轴有关的规律题
5.电子跳蚤落在数轴上的某点K0,第一步从K0向左跳1个单位到K1,第二步由K1向右跳2个单位到K2,第三步由K2向左跳3个单位到K3,第四步由K3跳4个单位到K4,…按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点K100所表示的数恰是30,则电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数为( )
A.-26B.-20C.-30D.30
6.如图所示,按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上(该圆周长为3个单位长,且在圆周的三等分点处分别标上了数字0,1,2)上.先让原点与圆周上0所对应的点重合,再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上,使数轴上1,2,3,4,…所对应的点分别与圆周上1,2,0,1,…所对应的点重合,这样,正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系.
(1)圆周上数字a与数轴上的数5对应,则a=_____;
(2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈(n为正整数)后,并落在圆周上数字1所对应的位置,这个整数是_________(用含n的代数式表示).
【知识要点】
1.具有相反意义的量
相反意义的量,它们不但意义相反,面且还表示一定的数量.
2.正数和负数
正数:
像+1.8,+1200,+30,+28,+2.5,+8844.43,+34200等这样的数,都是已学过的数(0除外)的前面添上“+”得到的,这样的数叫做正数.像-3,-800,-50,-24,-2,-155,-27450等这样形式的数,都是在已学过的数(0除外)的前面添上“-”得到的,这样的数叫做负数.0既不是正数,也不是负数.
3.有理数的分类
整数和分数统称为有理数.
(1)按正数、负数与0的关系分类:
(2)按整数、分数的关系分类:
4.数轴:
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
【温馨提示】
1.具有相反意义的量必须是成对出现的两个量.
2.正数和负数,不能简单地理解为带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数.
3.0虽然不是正数也不是负数,但它是整数.
4.在对有理数进行分类时,分类标准不同,分类的形式也不同,要弄清每一个括号所对应的分类标准,做到不重、不漏、不混淆.
5.数轴有三要素:
原点、正方向和单位长度,三者缺一不可.
【方法技巧】
1.生活中有许多相反意义的量,引入负数后可以用正、负数表示一对具有相反意义的量.
2.领会分类思想,有理数的分类有多种方式,无论采用哪种方式都要做到不重、不漏.
3.在学习数轴时,要充分注意数形结合思想,理解有理数可以直观地在数轴上表示出来.
参考答案:
1.
(1)1-1
(2)18-20(3)-10
2.2n+1
3.D
4.B
5.B
6.23n+1
解析:
(1)∵数轴上1,2,3,4,…所对应的点分别与圆周上1,2,0,1,…所对应的点重合,
∴圆周上数字a与数轴上的数5对应时a=2.
(2)∵数轴上1,2,3,4,…所对应的点分别与圆周上1,2,0,1,…所对应的点重合,
∴圆周上的数字0,1,2与正半轴上的整数每3个一组0,1,2;3,4,5;6,7,8;…分别对应,
∴数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈(n为正整数)后,并落在圆周上数字1所对应的位置,这个整数是3n+1.
1.3绝对值与相反数
专题一绝对值与数轴相结合的综合题
1.有理数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,化简|b+a|+|a+c|+|c-b|的结果是( )
A.2b-2cB.2c-2bC.2bD.-2c
2.已知|a-1|=3,|b|=3,a,b在数轴上对应的点分别为A,B,则A,B两点间距离的最大值等于________.
专题二绝对值的非负性及意义的运用
3.已知
试求
的值.
4.一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行,假定向右爬行的路程记为正数,向左爬行的路程记为负数,小虫爬行的各段路程(单位:
cm)依次记为:
+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10,在爬行过程中,如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻,那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
【知识要点】
1.绝对值的意义
在数轴上,表示一个数的点到原点的距离叫这个数的绝对值.
2.相反数
只有符号不同,绝对值相等的两个数,我们称其中一个数是另一个数的相反数.
3.去绝对值的法则
一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
【温馨提示】
1.在讨论数轴上的点与原点的距离时,只需要观察这个点与原点之间相隔多少个单位长度,而与它位于原点的左侧还是是右侧无关.
2.0的相反数是0.
3.定义中强调了“符号不同”和“绝对值相等”,二者缺一不可,不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数.
4.相反数是成对出现的,不能单独存在.
5.任何一个有理数的绝对值是非负数.
【方法技巧】
1.根据a,b互为相反数有a+b=0这一重要性质,建立相等关系,求出未知数的值.
2.求一个数的绝对值时,必须先弄清这个数是正数还是负数或0,根据绝对值的意义去掉绝对值符号,得出结果,因此,求一个数的绝对值可概括为“一判二求”.
参考答案:
1.A解析:
由图可知:
c<b<0<a,-c>a,-b<a,
∴a+b>0,a+c<0,c-b<0
∴|b+a|+|a+c|+|c-b|=a+b-a-c+b-c=2b-2c.
故选A.
2.7解析:
∵|a-1|=3,
∴a-1=3或a-1=-3,a=4或a=-2.
∵|b|=3,
∴b=±3.
分为四种情况:
①当a=4,b=3时,A,B两点间的距离是4-3=1;
②当a=4,b=-3时,A,B两点间的距离是4-(-3)=7;
③当a=-2,b=3时,A,B两点间的距离是3-(-2)=5;
④当a=-2,b=-3时,A,B两点间的距离是(-2)-(-3)=1,
即A,B两点间距离的最大值等于7,
故答案为7.
3.解:
因为
≥0,
≥0,
,所以a=6,b=5.
所以
4.解:
小虫爬行的总路程为:
.
54×2=108(粒).
1.4有理数的大小
专题利用比较大小的方法进行各种形式的有理数的比较
1.比较下列各数的大小:
(1)
与
;
(2)
与
.
2.有一位同学在做作业,要比较两个数的大小,但不慎把右边的一个有理数小数点后面的一位小数弄上了墨水:
(),请写出“()”这个数字的取值范围,并帮这位同学填上一个合适的数.
3.有理数a,b在数轴上如图,
(1)在数轴上表示-a,-b;
(2)试把a,b,0,-a,-b这五个数用“<”连接起来;
(3)用“>”“=”或“<”填空:
|a|___a,|b|___b.
【知识要点】
1.利用数轴比较有理数的大小
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的的大.
2.正数、0、负数比较大小
正数大于0,0大于负数,正数大于负数.
3.两个负数比较大小
两个负数,绝对值大的反而小.
【温馨提示】
1.在数轴的负半轴,绝对值越大的负数离原点越远,即越靠左,就越小;而在正半轴上,绝对值越大的正数离原点越远,即越靠右,就越大.
2.两个负数比较大小时,分三步来进行:
一是先求两负数的绝对值;二是比较绝对值的大小;三是根据“两个负数,绝对值大的反而小”来确定这两个负数的大小.
【方法技巧】
有理数大小的比较方法有多种,利用数轴和两个负数“绝对值大的反而小”是比较有理数大小的重要方法.
参考答案:
1.解:
(1)因为
,
,而
,所以
<
.
(2)
而
>
所以
<
.
2.解:
因为
大于2.5,小数点后面只有一位小数,所以
小于-2.0大于-2.5.小数点后面只有一位小数,所以括号内的数是0到5之间的整数,可任选一个,如1,3等.
3.解:
(1)在数轴上表示为:
(2)a<-b<0<b<-a.
(3)>=
1.5有理数加法
1.6有理数的减法
1.7有理数的加减混合运算
专题一有理数加减法的新定义型题
1.
符号“f”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下:
(1)f
(1)=0,f
(2)=1,f(3)=2,f(4)=3…
(2)f(
)=2,f(
)=3,f(
)=4,f(
)=5…
利用以上规律计算:
f(
)-f(2013)=______.
2.定义运算:
=a-b+c,
求
-的值.
专题二有理数加减法的创新题
3.
根据如图所示的程序计算,若输入的值为1,则输出的值为______.
4.计算:
【知识要点】
1.有理数加法法则
同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
一个数同0相加,仍得这个数.
2.有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数.
【温馨提示】
1.对有理数的加法理解抓住三条:
其一是同号两数相加;其二是异号两数相加;其三是一个数同0相加.
2.在应用有理数加法计算时,切记“先定和的符号,后算绝对值”,否则,很容易出错.
【方法技巧】
1.用有理数加法法则进行计算时,首先根据两个加数的符号,确定用哪一条法则.
2.在用减法法则进行减法运算时,要同时注意两个“变”,即运算符号“-”与减数的符号都要改变.
参考答案:
1.解:
观察
(1)中的各数,我们可以得出f(2013)=2012,
观察
(2)中的各数,我们可以得出f(
)=2013,
则f(
)-f(2013)=2013-2012=1.
2.解:
原式=
3.-5
4.解析:
(1)先把2后面的负数相加,然后再加上2即可得结果;
(2)用图形来分析。
把
一个面积是1的正方形连续平均分8次如图,这样不难看出
1.8有理数的乘法
1.9有理数的除法
专题一有理数乘除法的新定义题
1.观察下列等式:
(式子中的“!
”是一种数字运算符号)
1!
=1,2!
=2×1,3!
=3×2×1,4!
=4×3×2×1,…
计算:
2.若定义一种新的运算为a△b=
,计算:
(3△2﹞△
.
专题二有理数乘除法的找规律题
3.观察下列各式:
…
.
用上述方法计算:
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