【设计意图】复习巩固“五点作图法”,让学生直观感知图象的变化规律,由特殊到一般的学习方法,即培养学生的动手作图习惯,同时也提高了学生的观察能力以及抽象概括能力,增强学生的合作意识.
探究二
在同一坐标系中画出函数y=sin3x,xR和函数y=sinx,xR的简图,再观察它们与函数y=sinx,xR的图象关系.
(作图并观察、讨论、回答上述探究,教师用几何画板动态演示变化过程,引导学生发现并归纳出ω对图象的影响.)
结论二:
一般地,函数的图象,可以看作把函数图象上所有的点的横坐标缩短(当ω﹥1时)或伸长(当0﹤ω﹤1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
【设计意图】让学生直观感知图象的变化规律,由特殊到一般的学习方法,即培养学生的动手作图习惯,同时也提高了学生的观察能力以及抽象概括能力.
探究三
在同一坐标系中画出函数的简图,再观察它与函数的图象关系.
(作图并观察、讨论、回答上述探究,教师用几何画板动态演示变化过程,引导学生发现并归纳出对图象的影响.)
结论三:
一般地,函数y=sin(x+φ),xR(φ≠0)的图象,可以看作把函数y=sinx,xR(图象上所有的点向左(当φ﹥0时)或向右(当φ﹤0时)平移|φ|个单位而得到
【设计意图】让学生直观感知图象的变化规律,由特殊到一般的学习方法,即培养学生的动手作图习惯,同时也提高了学生的观察能力以及抽象概括能力.
探究四:
由正弦函数如何变换得到函数y=sin(2x+)?
猜想:
变换过程1y=sinxy=sin(x+)y=sin(2x+)
变换过程2y=sinxy=sin2xy=sin(2x+)
【设计意图】观察函数解析式,容易发现参数ω、φ都发生了变化,根据已有的知识基础,自然地提出本节核心问题:
两种变换能否任意排序?
问题1:
按照变换过程1由函数y=sinx的图象如何变换得到y=sin(2x+)的图象?
变换过程2呢?
(学生小组合作,在两种变换过程中选择一个进行研究)
变换过程1:
(1)将y=sinx图象上各点左平移个单位长度,得到y=sin(x+)的图象;
(2)再把y=sin(x+)图象上各点的横坐标缩短(ω﹥1)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x+)的图象.
变换过程2:
(1)将y=sinx图象上各点的横坐标缩短(ω﹥1)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin2x的图象;
问题2:
第二种变换方法,平移量是还是?
为什么?
【设计意图】这部分内容是本堂课的难点,通过提问探究、数形结合的方法打破学生的错误直觉,使学生直观的从形中感受数的严谨.
(2)再将y=sin2x图象上各点左平移个单位长度,得到y=sin(2x+)的图象.
问题3:
类似的,你能讨论出参数A(A﹥0)对y=Asin(2x+)的图象的影响吗?
【设计意图】巩固A对正弦函数图象的影响,让学生通过观察变换过程中的变量和不变量总结规律.
问题4:
通过上述研究讨论,请归纳总结正弦曲线变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的方法.
归纳总结:
函数y=Asin(ωx+φ)的图象可以由y=sinx的图象经过以下变换而得到.
方法一
方法二
1.作出函数y=sinx的图象
1.作出函数y=sinx的图象
2.将y=sinx图象上各点向左(当φ﹥0时)或向右(当φ﹤0时)平移|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)的图象.
(平移口诀:
左正右负)
2.将y=sinx图象上各点的横坐标缩短(当ω﹥1时)或伸长(当0﹤ω﹤1时)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sinωx的图象.
3.将所得图象上各点的横坐标缩短(当ω﹥1时)或伸长(当0﹤ω﹤1时)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(ωx+φ)的图象.
3.将所得图象上各点向左(当φ﹥0时)或向右(当φ﹤0时)平移个单位,得到y=sin(ωx+φ)的图象.(注:
平移单位是相对于一个而言的)
4.将所得图象上各点的纵坐标伸长(当A﹥1时)或缩短(当0﹤A﹤1时)到原来的A倍(横坐标不变),得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
4.将所得图象上各点的纵坐标伸长(当A﹥1时)或缩短(当0﹤A﹤1时)到原来的A倍(横坐标不变),得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
【设计意图】通过学生讨论,教师用几何画板演示,完整总结出正弦曲线变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的方法,体会由简到杂,由特殊到一般的思想方法.
探究五
y=Asin(ωx+φ),(其中A﹥0,ω﹥0)中各量的物理意义.
当函数y=Asin(ωx+φ),(其中A﹥0,ω﹥0)表示一个振动量时:
A:
这个量振动时离开平衡位置的最大距离,称为“振幅”.
T:
往复振动一次所需要的时间,称为“周期”.
f:
单位时间内往复振动的次数,称为“频率”.
称为相位.
φ:
x=0时的相位φ称为初相.
(注:
若A﹤0,ω﹤0,φ就不是初相,此时应先用诱导公式将x前的系数或三角函数符号前的数化为正数,再确定初相φ.)
例1.函数y=sinx的图象经过一个变换,可得到函数y=cosx的图象,则这个变换为()
A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度
【知识点】三角函数图象的平移转换.
【数学思想】三角函数的图象与性质
【解题过程】y=sinx=cos(-x)=cos(x-),故y=sinx的图象向左平移个单位长度即可得到y=cosx的图象.
【思路点拨】确定影响平移方向和平移量的量φ.
【答案】B.
同类训练函数经过怎样的变换能够得到?
【知识点】正、余弦函数图像的变换.
【数学思想】转化的思想.
【解题过程】,故将向右平移个单位长度后得到.
【思路点拨】通过诱导公式,适当的变更函数名.
例2.将函数y=sin(x-)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位,则所得图象对应的函数解析式为.
【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【数学思想】三角函数的图象的平移,伸缩变换.
【解题过程】把y=sin(x-)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin(x-)的图象,再将所得图象向左平移个单位得到y=sin(x-)的图象.
【思路点拨】由左加右减的原则,以及伸缩变换,推出结果.
【答案】.
同类训练为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点()
A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
B.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
【知识点】正弦函数图像的变换.
【数学思想】转化和数形结合的思想.
向左平移个单位
【解题过程】
横坐标扩大为原来3倍
2sinx2sin(x+)
.故选C.
【思路点拨】观察x前系数,确定横坐标是扩大还是缩小.
【答案】C.
例3.已知函数y=3sin3x.
(1)作出函数在上的图象.
(2)求
(1)中函数的图象与直线y=3所围成的封闭图形的面积.
【知识点】五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象;正弦函数的图象.
【数学思想】五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,正弦函数的图象和性质.
【解题过程】解:
(1)令函数y=3sin3x中,3x的值取,π,,2π,,可得
x
y
3
0
﹣3
0
3
故函数在上的图象,如下图所示:
(2)由图可得函数的图象与直线y=3所围成的封闭图形的面积
S=S△ABC=
【思路点拨】
(1)由已知中函数解析式为y=3sin3x,当时,,分别令3x的值取,π,,2π,,然后利用五点法可得函数的图象;
(2)根据
(1)中函数的图象,利用割补法可求函数图象与直线y=3所围成的封闭图形的面积.
【答案】
(1)如上图
(2)2π
同类训练:
函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是_____________.
【知识点】绝对值,正弦函数的图像.
【数学思想】数形结合的思想方法.
【解题过程】
作图如下:
由图知k∈(1,3).
【思路点拨】函数图像交点问题,往往采取数形结合的方法,通过作图辅助解题.
【答案】k∈(1,3).
三.课堂总结
知识梳理
由y=sinx变换到y