版 数学 高考冲刺总复习一元函数的导数及其应用第三章 第1节人教A版新高考.docx
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第1节 导数的概念及运算
考试要求 1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想;2.体会极限思想;3.通过函数图象直观理解导数的几何意义;4.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=
,y=
的导数;5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数;6.会使用导数公式表.
知识梳理
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义:
称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
=
为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)=
=
.
(2)几何意义:
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
2.函数y=f(x)的导函数
如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,函数f′(x)=lim
称为函数y=f(x)在开区间内的导函数.
3.导数公式表
基本初等函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f′(x)=0
f(x)=xα(α∈Q*)
f′(x)=αxα-1
f(x)=sinx
f′(x)=cosx
f(x)=cosx
f′(x)=-sinx
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=ax(a>0)
f′(x)=axlna
f(x)=lnx
f′(x)=
f(x)=logax(a>0,a≠1)
f′(x)=
4.导数的运算法则
若f′(x),g′(x)存在,则有:
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)
′=
(g(x)≠0).
5.复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′.
[微点提醒]
1.f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,且(f(x0))′=0.
2.
′=-
.
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.( )
(2)函数f(x)=sin(-x)的导数f′(x)=cosx.( )
(3)求f′(x0)时,可先求f(x0),再求f′(x0).( )
(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( )
解析
(1)f′(x0)表示y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,
(1)错.
(2)f(x)=sin(-x)=-sinx,则f′(x)=-cosx,
(2)错.
(3)求f′(x0)时,应先求f′(x),再代入求值,(3)错.
答案
(1)×
(2)× (3)× (4)√
2.(选修2-2P19B2改编)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A.-9B.-3C.9D.15
解析 因为y=x3+11,所以y′=3x2,所以y′|x=1=3,所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1).令x=0,得y=9.
答案 C
3.(选修2-2P3例题改编)在高台跳水运动中,ts时运动员相对于水面的高度(单位:
m)是h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则运动员的速度v=________m/s,加速度a=______m/s2.
解析 v=h′(t)=-9.8t+6.5,a=v′(t)=-9.8.
答案 -9.8t+6.5 -9.8
4.(2019·青岛质检)已知函数f(x)=x(2018+lnx),若f′(x0)=2019,则x0等于( )
A.e2B.1C.ln2D.e
解析 f′(x)=2018+lnx+x×
=2019+lnx.
由f′(x0)=2019,得2019+lnx0=2019,则lnx0=0,解得x0=1.
答案 B
5.(2018·天津卷)已知函数f(x)=exlnx,f′(x)为f(x)的导函数,则f′
(1)的值为________.
解析 由题意得f′(x)=exlnx+ex·
,则f′
(1)=e.
答案 e
6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y=x2+
在点(1,2)处的切线方程为________.
解析 设y=f(x),则f′(x)=2x-
,
所以f′
(1)=2-1=1,
所以在(1,2)处的切线方程为y-2=1×(x-1),
即y=x+1.
答案 y=x+1
考点一 导数的运算
多维探究
角度1 根据求导法则求函数的导数
【例1-1】分别求下列函数的导数:
(1)y=exlnx;
(2)y=x
;
(3)f(x)=ln
.
解
(1)y′=(ex)′lnx+ex(lnx)′=exlnx+
=ex
.
(2)因为y=x3+1+
,所以y′=3x2-
.
(3)因为y=ln
=
ln
,
所以y′=
·
·(1+2x)′=
.
角度2 抽象函数的导数计算
【例1-2】(2019·天津河西区调研)已知函数f(x)的导函数是f′(x),且满足f(x)=2xf′
(1)+ln
,则f
(1)=( )
A.-eB.2C.-2D.e
解析 由已知得f′(x)=2f′
(1)-
,令x=1得f′
(1)=2f′
(1)-1,解得f′
(1)=1,则f
(1)=2f′
(1)=2.
答案 B
规律方法 1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.
2.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.
3.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.
【训练1】
(1)若y=x-cos
sin
,则y′=________.
(2)已知f(x)=x2+2xf′
(1),则f′(0)=________.
解析
(1)因为y=x-
sinx,
所以y′=
′=x′-
′=1-
cosx.
(2)∵f′(x)=2x+2f′
(1),
∴f′
(1)=2+2f′
(1),即f′
(1)=-2.
∴f′(x)=2x-4,∴f′(0)=-4.
答案
(1)1-
cosx
(2)-4
考点二 导数的几何意义
多维探究
角度1 求切线方程
【例2-1】(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A.y=-2xB.y=-x
C.y=2xD.y=x
解析 因为函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以a-1=0,则a=1,所以f(x)=x3+x,所以f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.
答案 D
角度2 求切点坐标
【例2-2】
(1)(2019·聊城月考)已知曲线y=
-3lnx的一条切线的斜率为
,则切点的横坐标为( )
A.3B.2C.1D.
(2)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=
(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.
解析
(1)设切点的横坐标为x0(x0>0),
∵曲线y=
-3lnx的一条切线的斜率为
,
∴y′=
-
,即
-
=
,
解得x0=3或x0=-2(舍去,不符合题意),即切点的横坐标为3.
(2)∵函数y=ex的导函数为y′=ex,
∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.
设P(x0,y0)(x0>0),∵函数y=
的导函数为y′=-
,∴曲线y=
(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-
,
由题意知k1k2=-1,即1·
=-1,解得x
=1,又x0>0,∴x0=1.
又∵点P在曲线y=
(x>0)上,∴y0=1,故点P的坐标为(1,1).
答案
(1)A
(2)(1,1)
角度3 求参数的值或取值范围
【例2-3】
(1)函数f(x)=lnx+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2]B.(-∞,2)
C.(2,+∞)D.(0,+∞)
(2)(2019·河南六市联考)已知曲线f(x)=x+
+b(x≠0)在点(1,f
(1))处的切线方程为y=2x+5,则a-b=________.
解析
(1)由题意知f′(x)=2在(0,+∞)上有解.
∴f′(x)=
+a=2在(0,+∞)上有解,则a=2-
.
因为x>0,所以2-
<2,所以a的取值范围是(-∞,2).
(2)f′(x)=1-
,∴f′
(1)=1-a,
又f
(1)=1+a+b,∴曲线在(1,f
(1))处的切线方程为y-(1+a+b)=(1-a)(x-1),即y=(1-a)x+2a+b,
根据题意有
解得
∴a-b=-1-7=-8.
答案
(1)B
(2)-8
规律方法 1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.
2.处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:
①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.
【训练2】
(1)(2019·东莞二调)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为( )
A.(0,0)B.(1,-1)
C.(-1,1)D.(1,-1)或(-1,1)
(2)(2018·全国Ⅱ卷)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为________________.
解析
(1)由f(x)=x3+ax2,得f′(x)=3x2+2ax.
根据题意可得f′(x0)=-1,f(x0)=-x0,
可列方程组
解得
或
当x0=1时,f(x0)=-1,
当x0=-1时,f(x0)=1.
∴点P的坐标为(1,-1)或(-1,1).
(2)由题意得y′=
.在点(0,0)处切线斜率k=y′|x=0=2.∴曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.
答案
(1)D
(2)y=2x
[思维升华]
1.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.对于复合函数求导,关键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然后“由外及内”逐层求导.
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