人教版八年级上册数学134 课题学习《最短路径问题》教案设计.docx
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人教版八年级上册数学134课题学习《最短路径问题》教案设计
第十三章第四节的《课题学习——最短路径问题》。
一、内
容和内容解析
最短路径问题在现实生活中经常遇到,初中阶段主要以“两点之间,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”为基础知识,有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.
本节课利用“河边饮马地点的选择”问题,开展对“最短路径问题”的课题研究,让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题,再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间,线段最短”问题.
二、目标和目标解析
1.教学目标
基于以上分析,本节课我确定的教学目标是:
能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变换在解决最值问题中的作用,感悟转化思想,进一步获得数学活动的经验,增强应用意识.
本节课我确定的的教学重点是:
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题,培养学生解决实际问题的能力.
2.教学目标解析
要求学生能将实际问题中的“地点”、“河流”抽象为数学中的“点”、“线”,把实际问题抽象为数学问题;能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间,线段最短”问题;能通过逻辑推理证明所求距离最短;在探索最短路径的过程中,体会轴对称的“桥梁”作用,感悟转化思想.
三、教学问题诊断分析
最短路径问题从本质上说是极值问题,作为八年级的学生,在此之前很少接触,解决这方面问题的经验尚显不足,特别是面对具有实际背景的极值问题,更会感到陌生,无从下手.
对于直线异侧的两点,如何在直线上找到一点,使这一点到这两点的距离之和最小,学生很容易想到连接这两点,所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点,如何在直线上找到一点,使这一点到这两点的距离之和最小,一些学生会感到茫然,找不到解决问题的思路.
在证明“最短”时,需要在直线上任取一点(与所求作的点不重合),证明所连线段和大于所求作的线段和,学生可能想不到,不会用.
所以,本节课我确定的教学难点是:
如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.
教学时,教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”,为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时,教师可以告诉学生,证明“最大”、“最小”这类问题,常常要另选一个量,通过与求证的那个“最大”、“最小”的量进行比较来证明.由于另取的点具有任意性,所以结论对于直线上的每一点(所求作的点除外)都成立.
四、教学过程设计
1.创设问题情境
引入:
(课件展示行人践踏茵茵绿草穿越草坪)
师:
(1)同学们,生活中你见到过这样的现象吗?
(2)他为什么选择走红色路线?
(3)理由是什么?
生:
集体回答。
师:
生活中的实际问题,都可以抽象出数学图形,并能用数学知识来解决。
比如,请大家思考问题一:
(课件展示)问题1如图,从A地到B地有三条路可供选择,你会选择哪条路距离最短?
说说你的理由.
师生活动:
学生回答问题,说出理由:
两点之间,线段最短.
【设计意图】让学生回顾“两点之间,线段最短”,同时让学生感知从实际问题抽象出数学图形,并用数学知识来解决,为引入新课作准备.
师:
同学们,随着生活条件的改善,暖气的使用已经在城市普及。
目前,市政府决定向农村集中供暖,在施工过程中,技术人员遇到了这样一个问题,请大家思考问题二:
(课件展示)问题2:
如图,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两村供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
教师提出要求:
(1)在导学练上先抽象出数学图形,一生上台扮演。
(2)学生独立思考,怎样找到泵站的位置?
师:
现在的问题就是,怎样在直线上找一点,使它到两点的距离值和最小?
师生活动:
学生回答,连接AB,线段AB与l的交点即为泵站修建的位置.
师生小结:
对于直线异侧的两点,怎样在直线上找一点,使它到两点的距离值和最小,就是要连接这两点,所连线段与直线的交点就是所要求做的点。
师:
如何证明所找的点能满足距离值和最短呢?
生:
在直线上任意找一点(求作的点除外),与已知两点连接,就得到一条新的路径,只需要与前一条路径进行比较即可。
师:
很明显,利用两点之间,线段最短,或者利用三角形中,两边之和大于第三边,均可得证。
师:
如果两点在直线同侧呢?
怎样在直线上找一点,使它到两点的距离值和最小?
请大家思考问题三:
【设计意图】让学生进一步感受“两点之间,线段最短”,为把“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫.
2.将实际问题抽象为数学问题
(课件展示)问题3牧马人从图中的A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.到河边什么地方饮马,可使他所走的路径最短?
你能将这个问题抽象为数学问题吗?
教师提出要求:
(1)在导学练上先抽象出数学图形,一生上台扮演。
(2)学生独立思考,怎样找到饮马的位置?
师:
现在的问题就是,怎样在直线上找一点,使它到两点的距离值和最小?
师生活动:
学生尝试回答,并相互补充,最后达成共识:
(1)将A,B两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线;
(2)在直线l上找到一点C,使AC与BC的和最小?
【设计意图】学生通过动手操作,在具体感知轴对称图形特征的基础上,抽象出轴对称图形的概念.
3.解决数学问题
问题4如图,点A,B在直线l的同侧,怎样在直线l上找到一点C,使AC与BC的和最小?
师生活动:
学生独立思考,尝试画图,相互交流.
如果学生有困难,教师可作如下提示:
(1)如果点B在点A的异侧,如何在直线l上找到一点C,使AC与BC的和最小
(2)现在点B与点A在同侧,能否将点B移到l的另一侧点处,且满足直线l上的任意一点C,都能保持?
(3)你能根据轴对称的知识,找到
(2)中符合条件的点吗?
师生共同完成作图,如下图.
作法:
(1)作点B关于直线l的对称点B′;
(2)连接AB′,与直线l相交于点C.则点C即为所求.
【设计意图】教师一步一步引导学生,如何将同侧的两点转化为异侧的两点,为问题的解决提供思路,渗透转化思想.
4.证明AC+BC“最短”
问题5你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?
师生活动:
学生独立思考,相互交流,师生共同完成证明过程.
证明:
如图,在直线l上任取一点
(与点C不重合),连接AC′,BC′,
.
由轴对称的性质知,
,
.
∴
,
.
在△
中,
,
∴
.
即AC+BC最短.
追问1:
证明AC+BC最短时,为什么要在直线l上任取一点(与点C但不重合)?
师生活动:
学生相互交流,教师适时点拨,最后达成共识:
若直线l上任意一点(与点C不重合)与A,B两点的距离和都大于AC+BC,就说明AC+BC最小.
【设计意图】让学生体会作法的正确性,提高逻辑思维能力.
追问2:
回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的?
师生活动:
学生回答,相互补充.
【设计意图】学生在反思中,体会轴对称的桥梁作用,感悟转化思想,丰富数学活动经验.
5.巩固练习
如图,一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客,然后将游客送往河岸BC上,再返回P处,请画出旅游船的最短路径.
师生活动:
学生分析解题思路,独立完成画图,教师适时点拨.
【设计意图】让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法.
6.归纳小结
教师和学生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题.
(1)本节课研究问题的基本过程是什么?
(2)轴对称在所研究问题中起什么作用?
师生活动:
教师引导,学生小结.
【设计意图】:
引导学生把握研究问题的基本策略和方法,体会轴对称在解决最短路径问题中的作用,感悟转化思想的重要价值.
7.布置作业:
教科书复习题13第15题.
8、课堂寄语:
(1)、你有梦想吗?
(2)、你的梦想是什么?
(3)、实现你的梦想的最短路径是什么?
五、目标检测设计
某实验中学八
(1)班举行文艺晚会,桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?
【设计意图】考查学生解决“最短路径问题”的能力.
课题:
13.4课题学习
——最短路径问题
济源市玉泉二中
王卫杰
2016年10月25日
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