二次函数综合题含答案解析1.docx
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二次函数综合题含答案解析1
拓展题型二次函数综合题
拓展一二次函数与线段和差问题
针对演练
1.如图,矩形OABC的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O,A,E三点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求AD的长;(3)点P是抛物线对称轴上的一动点,当△PAD的周长最小时,
求点P的坐标.
第1题图
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线
4
y=x2+1与y轴相交于点A,点B与点O关于点A对称.
(1)填空,点B的坐标是;
(2)过点B的直线y=kx+b(其中k<0)与x轴相交于点C,过点C
作直线l平行于y轴,P是直线l上一点,且PB=PC.求线段PB的长
(用含k的式子表示),并判断点P是否在抛物线上,说明理由;
(3)在
(2)的条件下,若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上,求此时点P的坐标.
第2题图
3.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接CB交EF于点M,再连接AM交OC于点R,连接AC,求△ACR的周长;
(3)设G(4,-5)在该抛物线上,P是y轴上一动点,过点P作
PH⊥EF于点H,连接AP,GH,问AP+PH+HG是否有最小值?
如果有,求出点P的坐标;如果没有,请说明理由.
第3题图备用图
【答案】
1.解:
(1)∵四边形OABC是矩形,B(10,8),
∴A(10,0).……………………………………………………(1分)
又∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(10,0)、E(6,8)和O(0,0),
⎧a=-1
⎪
⎧102a+10b+c=0⎪10
⎪⎪
⎨62a+6b+c=8
∴⎪
⎨b=
,解得⎪3,
⎩c=0
⎪c=0
⎪⎩
∴抛物线的解析式为y=-1x210;………………………(3分)
3+3x
(2)由题意可知:
AD=ED,BE=10-6=4,AB=8,………(4分)
设AD为x,则ED=x,BD=AB-AD=8-x,在Rt△BDE中,ED2=EB2+BD2,
即x2=42+(8-x)2,…………………………………………(5分)
解得x=5,
即AD=5;……………………………………………………(6分)
(3)由
(2)可知,D点的坐标是(10,5),
∴△PAD的周长l=PA+PD+AD=PA+PD+5,…………(7分)
∵抛物线的对称轴是线段OA的垂直平分线,点P是抛物线对称轴上的一动点,
∴PO=PA,
∵l=PA+PD+5=PO+PD+5,
∴当PO+PD最小时,△PAD的周长l最小,
即当点P移动到直线OD与抛物线对称轴的交点处时PO+PD
最小,………………………………………………………………(8分)
设直线OD的解析式为y=kx,将D点坐标(10,5)代入得:
5=10k,解得k1
=2,
2
∴直线OD的解析式为y=1x,………………………………(9分)
当x=5时,y
5
=2,
2
∴P点的坐标是(5,5).……………………………………(10分)
2.解:
(1)(0
1
,2);……………………………………………(2分)
4
【解法提示】由y=x2+1得:
A(0
1
,4),
∵点B、O关于点A对称,
∴B(0
1
,2).
2
(2)∵直线BC过点B(0,1),
2
∴直线BC解析式为y=kx+1,………………………………(3分)
2k
∴C(-1,0),
又∵P是直线l上一点,
2k
∴可设P(-1,a).
如解图①,过点P作PN⊥y轴,垂足为N,连接PB,
第2题解图①
则在Rt△PNB中,由勾股定理得:
PB2=PN2+NB2,
∵PB=PC=a,
-
1
∴a2=(2k)2+(a
12
-2),……………………………………(5分)
11
解得a=2,
∴PB=
4k4
11
2,
4k4
∴P点坐标为(-1,
11
2),……………………………(6分)
2k
当x=-1时,y=
4k4
11
2,
2k4k4
∴点P在抛物线上;…………………………………………(7分)
(3)如解图②,由C′在y轴上,可知∠CBP=∠C′BP,
第2题解图②
∵PB=PC,
∴∠CBP=∠PCB,
∵PC∥C′B,
∴∠PCB=∠ABC,
∴∠C′BP=∠CBP=∠ABC=60°,
∴△PBC为等边三角形,
∵OB
1
=2,
∴BC=1,OC=3
∴PC=1,
∴P(31).…………………………………………………(12分)
2,
3.解:
(1)∵四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,
∴C(0,3),E(2,3),
将C(0,3),E(2,3)代入抛物线解析式y=-x2+bx+c得,
⎧c=3⎧b=2
⎨-4+2b+c=3,解得⎨c=3,
⎩⎩
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;
(2)由
(1)得y=-x2+2x+3,令y=0,得-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,
∴A(-1,0),B(3,0),
∴AO=1,BO=3,又∵C(0,3),
∴OC=3,
在Rt△AOC中,由勾股定理,得AC==,
∵CO=BO=3,OF=2,
∴∠OBC=∠OCB=45°,AF=3,BF=1,
∴MF=BF=1,
∵RO∥MF,
∴△ARO∽△AMF,
RO
∴
=AO,
MFAF
∴,
RO=1
13
解得RO
1
=3,
∴CR=318
-3=3,
在Rt△AOR中,AR=
=10
3,
∴△ACR的周长为108
10
8+410
+3+3=3;
(3)存在点P,使得AP+PH+HG的值最小.
如解图,取OF中点A′,连接A′G交直线EF的延长线于点H,过点H作HP′⊥y轴于点P,连接AP,
此时,AP+PH+HG的值最小,
第3题解图设直线A′G的解析式为y=kx+a,将A′(1,0),G(4,-5)代入得,
⎧k+a=0
⎩
⎨4k+a=-5,
⎧k=-5
⎪3
⎨
⎪
解得⎪a=5,
⎩3
∴直线A′G的解析式为y
5x5
=-3+3,
令x=2,得y=-1055
3+3=-3,
3
∴点H的坐标为(2,-5),
3
∴符合题意的点P的坐标为(0,-5).
拓展二二次函数与三角形面积问题
针对演练
1.已知抛物线y=ax2+bx-3经过(-1,0),
(3,0)两点,与y轴交于点C,直线y=kx与抛物线交于A,B两点.
(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式;
(2)当原点O为线段AB的中点时,求k的值及A,B两点的坐标;
(3)是否存在实数k使得△ABC
的面积为
2?
若存在,求出k
的值;若不存在,请说明理由.
第1题图
2.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,
0)两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在
(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D,使得
△BCD的面积最大?
若存在,求出D点坐标及△BCD面积的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)在
(1)中的抛物线上是否存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
第2题图
3.
2
如图,已知抛物线y=-1x2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,
8)、B(8,0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动,动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停止运动.
(1)直接写出抛物线的解析式:
;
(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,△CED的面积最大?
最大面积是多少?
(3)当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
第3题图
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x与二次函数
y=x2+bx的图象相交于O、A两点,点A(3,3),点M为抛物线的顶点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)长度为22的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动,分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1,求四边形PQQ1P1面积的最大值;
(3)直线OA上是否存在点E,使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF=S△AOM?
若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
第4题图
【答案】
1.解:
(1)令x=0,得y=-3,
∴C(0,-3),
把(-1,0)和(3,0)代入y=ax2+bx-3中,得
⎧a-b-3=0
⎩9a+3b-3=0
⎧a=1
⎩b=-2,
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3;…………………………(3分)
⎧⎪y=x2-2x-3
⎩
(2)联立方程组⎨⎪y=kx
⎧
⎪x1=
,
⎧
⎪x2=
⎪
⎨
解得⎪
⎪⎩1
2⎪2
⎨
,⎪,
2⎪⎩22
∵O是AB的中点,
∴x1+x2=0,即解得k=-2,
+=0
22
⎧⎪x1=⎧⎪x2=-3
∴⎨y
=-23
或⎨y
=23,
⎩⎪1⎩⎪2
∴A(-3,23),B(3,-23);…………………………(7分);
(3)不存在实数k使得△ABC的面积为310理由如下:
假设存在实数k使得△ABC的面积为310
⎧⎪y=x2-2x-3
⎩
联立方程组⎨⎪y=kx
⎧
⎪x1=
,解得
⎧
⎪x2=
⎪2
⎨
⎪
⎪⎩12
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