中考数学复习第2课时相似三角形测试6.docx
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中考数学复习第2课时相似三角形测试6
第四单元三角形
第二十课时相似三角形
基础达标训练
1.(2017重庆A卷)若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对应高的比为( )
A.3∶2 B.3∶5 C.9∶4 D.4∶9
2.(2017连云港)如图,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=1∶2,则下列等式一定成立的是( )
第2题图
A.=B.=
C.=D.=
3.(2017枣庄)如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=5,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
4.(2017杭州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC.若BD=2AD,则( )
第4题图
A.=B.=C.=D.=
5.(2017恩施州)如图,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD∶BD=5∶3,CF=6,则DE的长为( )
A.6B.8C.10D.12
第5题图第6题图
6.如图,在等边△ABC中,D、E、F分别是BC、AC、AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF与△ABC的面积之比为( )
A.1∶3B.2∶3C.∶2D.∶3
7.(2017眉山)“今有井径五尺,不知其深,立五尺木于井上,从木末望水岸,入径四寸,问井深几何?
”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题,它的题意可以由图获得,则井深为( )
A.1.25尺B.57.5尺C.6.25尺D.56.5尺
第7题图 第8题图
8.(2017临沂)已知AB∥CD,AD与BC相交于点O.若=,AD=10,则AO=________.
9.(2017益阳模拟)如图,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A、E、D在同一条直线上.若测得BE=20m,EC=10m,CD=20m,则河的宽度AB为________.
第9题图
10.(2017随州)在△ABC中,AB=6,AC=5,点D在边AB上,且AD=2,点E在边AC上,当AE=________时,以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似.
第11题图
11.(2017潍坊)如图,在△ABC中,AB≠AC,D、E分别为AB、AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件:
__________.可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)
12.(2017甘肃省卷)如图,一张三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm.现将纸片折叠:
使点A与点B重合,那么折痕长等于________cm.
第12题图 第13题图
13.(2017宁夏)在△ABC中,AB=6,点D是AB的中点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,点M在DE上,且ME=DM.当AM⊥BM时,则BC的长为________.
14.(8分)(2017杭州)如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.
(1)求证:
△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3,AB=5,求的值.
第14题图
15.(8分)如图,△ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上,顶点E、H分别在AB、AC上,已知BC=40cm,AD=30cm.
(1)求证:
△AEH∽△ABC;
(2)求这个正方形的边长与面积.
第15题图
16.(8分)(2017长沙中考模拟卷四)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E、F分别是AC、BC边上的点,且CE=AC,BF=BC.
(1)求证:
∠EDF=90°;
(2)若BC=6,AB=4,求DE的长.
第16题图
能力提升训练
1.(2017泰安)如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,ME⊥AM,ME交AD的延长线于点E.若AB=12,BM=5,则DE的长为( )
A.18B.C.D.
第1题图第2题图
2.(2017东营)如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连接BD、DP,BD与CF相交于点H.给出下列结论:
①BE=2AE;②△DFP∽△BPH;③△PFD∽△PDB;④DP2=PH·PC.
其中正确的是( )
A.①②③④B.②③
C.①②④D.①③④
3.(9分)(2017常德)如图,直角△ABC中,∠BAC=90°,D在BC上,连接AD,作BF⊥AD分别交AD于E,AC于F.
(1)如图①,若BD=BA,求证:
△ABE≌△DBE;
(2)如图②,若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG交AD于M,
求证:
①GM=2MC; ②AG2=AF·AC.
第3题图
4.(9分)(2017安徽)已知正方形ABCD,点M为边AB的中点.
(1)如图①,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.
①求证:
BE=CF;
②求证:
BE2=BC·CE.
(2)如图②,在边BC上取一点E,满足BE2=BC·CE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tan∠CBF的值.
第4题图
答案
1.A 2.D 3.C 4.B
5.C 【解析】∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∵∠ADE=∠EFC,∴∠B=∠EFC,∴EF∥AB,∴四边形DEFB为平行四边形,∴DB=EF,DE=BF,又∵=,∴=,又∵EF∥AB,∴=,即=,∴BF=10,∴DE=BF=10.
6.A 【解析】∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=∠A=60°,∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°,∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°,∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°,=,∴△DEF是等边三角形,∴BD∶DF=1∶①,BD∶AB=1∶3②,△DEF∽△ABC,①÷②==,∴DF∶AB=1∶,∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1∶3.
7.B 【解析】设井深x尺,则AD=(x+5)尺,∵BC∥DE,∴=,解得x=57.5,经检验x=57.5是原分式方程的根,∴井深为57.5尺.
8.4 【解析】∵AB∥CD,∴==,∴OA=AD,∵AD=10,∴OA=×10=4.
9.40m 【解析】∵AB⊥BC,DC⊥BC,∴AB∥CD,∴∠BAE=∠D,又∵∠AEB=∠DEC,∴△ABE∽△DCE,∴=,解得AB===40m.
10.或 【解析】根据题意,分两种情况:
如解图①,∵∠A=∠A,∴当=时,△ADE∽△ABC,∴=,解得AE=;如解图②,∵∠A=∠A,∴当=时,△ADE∽△ACB,∴=,解得AE=.
11.DF∥AC 【解析】∵AC=3AD,AB=3AE,∴=,∵∠A为公共角,∴△ADE与△ACB相似,原问题转化为,使△DFB相似△ACB,则DF∥AC即可.
12. 【解析】如解图,折痕为MN,在Rt△ABC中,AB==10,由折叠性质得:
AM=BM=5,∵∠A=∠A,∠AMN=∠C=90°,∴△AMN∽△ACB,∴=,∴MN===.
第12题解图
13.8 【解析】∵AM⊥BM,∴∠AMB=90°,在Rt△ABM中,∵D是AB的中点,∴DM=AB=3,∵ME=DM,∴ME=1,DE=4,又∵DE∥BC,∴DE是三角形的中位线,∴BC=8.
14.
(1)证明:
∵在△ABC中,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,
∴∠AFE=∠AGC=90°,
在△AEF和△ACG中,
∵∠AFE=∠AGC,∠EAF=∠GAC,
∴△AEF∽△ACG,
∴∠AEF=∠C,
在△ADE和△ABC中,
∵∠AED=∠C,∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC;
(2)解:
由
(1)知△ADE∽△ABC,
∴==,
又∵△AEF∽△ACG,
∴==.
15.
(1)证明:
∵四边形EHGF为正方形,
∴EH∥BC,
∴∠AHE=∠ACB,
在△AEH和△ABC中,
∠AHE=∠ACB,∠EAH=∠BAC,
∴△AEH∽△ABC;
(2)解:
设正方形边长为xcm,如解图,设AD与EH交于P点,则AP=AD-PD=(30-x)cm,
由
(1)得△AEH∽△ABC,
第15题解图
∴=,
即=,解得x=,
∴正方形面积为()2=cm2,
故正方形的边长为cm,面积为cm2.
16.
(1)证明:
∵∠ACB=∠CDB=90°,∠B=∠B,
∴△ACB∽△CDB,
∴=,即=,∴=,
又∵∠ACD=∠CBD,
∴△EDC∽△FDB,
∴∠EDC=∠FDB,
∵∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠FDB+∠CDF=∠CDB=90°,
∴∠EDF=90°;
(2)解:
∵BC=6,AB=4,
∴AC=2,CE=,CF=4,CD=3,BD=3,
由
(1)得,△EDC∽△FDB,
∴==,
又∵∠EDF=90°,EF==,
∴DE=.
能力提升训练
1.B 【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=90°,AD=AB=12,AD∥BC,∵AB=12,BM=5,由勾股定理得AM=13,∵AD∥BC,∴∠EAM=∠AMB,∵∠AME=∠B=90°,∴△EAM∽△AMB,∴=,即=,解得DE=.
2.C 【解析】∵△BPC是等边三角形,∴∠CBP=60°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠CBA=∠A=90°,∴∠ABE=30°,在Rt△ABE中可得BE=2AE,①正确;∵△BPC是等边三角形,∴∠CBP=∠BPC=∠PCB=60°,BC=CP,∵四边形ABCD是正方形,∴BD平分∠ABC,∴∠CBD=45°,∴∠HBP=∠CBP-∠CBD=15°,∵AD∥BC,∴∠DFP=∠BCP=60°=∠BPH.∵CD=BC,∴CD=CP,∵∠PCD=∠BCD-∠BCP=30°,∴∠CDP=(180°-∠DCP)=75°,∴∠FDP=15°=∠PBH,∴△FDP∽△PBH,故②正确;∵∠PDB=∠BDF-∠FDP=45°-15°=30°≠∠DFP,∴△PDF与△PDB不相似,故③错误;∵∠PDH=30°=∠DCP,∠CPD=∠DPH,∴△CPD∽△DPH,∴=,即DP2=CP·PH,故④正确.
3.
(1)证明:
∵BF⊥AD,
∴∠BEA=∠BED=90°,
在Rt△ABE和Rt△DBE中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL);
(2)证明:
①如解图,取BD的中点H,连接GH,
第3题解图
∵G是BA的中点,
∴AD∥GH,
即MD∥GH,
∴=,
∵BD=2HD,BD=4DC,
∴HD=2DC,
∴GM=2MC;
②如解图,过点C作CK⊥AC交AD的延长线于点K,
∴∠ACK=90°,
又∵∠BAC=90°,
∴∠ACK+∠BAC=180°,
∴AB∥CK,
∴△AGM∽△KCM,
∴==2,
∴CK=AG,
又∵AB=2AG,
∴AB·CK=2AG·AG=AG2,
∵AB∥CK,
∴∠KAB=∠AKC,
∵∠ABF+∠KAB=90°,∠AKC+∠CAK=90°,
∴∠ABF=∠CAK,
∴△ABF∽△CAK,
∴=,
∴AF·AC=AB·CK,
∴AG2=AF·AC.
4.
(1)①证明:
∵四边
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