直线平面垂直的判定与性质.docx
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直线平面垂直的判定与性质
第5讲 直线、平面垂直的判定与性质
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的( ).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若α⊥β,因为α∩β=m,b⊂β,b⊥m,所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α,又a⊂α,所以a⊥b;反过来,当a∥m时,因为b⊥m,且a,m共面,一定有b⊥a,但不能保证b⊥α,所以不能推出α⊥β.故选A.
答案 A
2.(2014·绍兴调研)设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是( ).
A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥α
B.若m⊂α,n⊂β,m⊥n,则n⊥α
C.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α
D.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β
解析 与α,β两垂直平面的交线垂直的直线m,可与α平行或相交,故A错;对B,存在n∥α情况,故B错;对D;存在α∥β情况,故D错;由n⊥α,n⊥β,可知α∥β,又m⊥β,所以m⊥α,故C正确.
答案 C
3.(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( ).
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
解析 假设α∥β,由m⊥平面α,n⊥平面β,则m∥n,这与已知m,n为异面直线矛盾,那么α与β相交,设交线为l1,则l1⊥m,l1⊥n,在直线m上任取一点作n1平行于n,那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面,所以l1∥l.
答案 D
4.(2014·深圳调研)如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列正确的是( ).
A.平面ABC⊥平面ABD
B.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE
D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE
解析 因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,所以选C.
答案 C
5.(2014·郑州模拟)已知平面α,β,γ和直线l,m,且l⊥m,α⊥γ,α∩γ=m,β∩γ=l,给出下列四个结论:
①β⊥γ;②l⊥α;③m⊥β;④α⊥β.
其中正确的是( ).
A.①④B.②④
C.②③D.③④
解析 如图,由题意,β∩γ=l,∴l⊂γ,由α⊥γ,α∩γ=m,且l⊥m,∴l⊥α,即②正确;由β∩γ=l,∴l⊂β,由l⊥α,得α⊥β,即④正确;而①③条件不充分,不能判断.
答案 B
二、填空题
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).
解析 ∵PC在底面ABCD上的射影为AC,且AC⊥BD,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC)
7.已知平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α,β所成的角分别为
和
,过A,B分别作两平面交线的垂线,垂足为A′,B′,则AB∶A′B′=________.
解析 连接AB′和A′B,设AB=a,可得AB与平面α所成的角为∠BAB′=
,在Rt△BAB′中,有AB′=
a,同理可得AB与平面β所成的角为∠ABA′=
,所以A′A=
a,因此在Rt△AA′B′中,A′B′=
=
a,所以AB∶A′B′=a∶
a=2∶1.
答案 2∶1
8.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:
________(用代号表示).
解析 逐一判断.若①②③成立,则m与α的位置关系不确定,故①②③⇒④错误;同理①②④⇒③也错误;①③④⇒②与②③④⇒①均正确.
答案 ①③④⇒②(或②③④⇒①)
三、解答题
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明
(1)因为平面PAD∩平面ABCD=AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,且PA⊥AD.
所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,
所以AB∥DE,且AB=DE.
所以ABED为平行四边形.所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形.
所以BE⊥CD,AD⊥CD.
由
(1)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.
所以CD⊥平面PAD,从而CD⊥PD,且CD⊂平面PCD,
又E,F分别是CD和CP的中点,
所以EF∥PD,故CD⊥EF.
由EF,BE在平面BEF内,且EF∩BE=E,
∴CD⊥平面BEF.
所以平面BEF⊥平面PCD.
10.(2013·泉州模拟)如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点.
(1)求证:
B1D1∥平面A1BD;
(2)求证:
MD⊥AC;
(3)试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.
(1)证明 由直四棱柱,得BB1∥DD1,
又∵BB1=DD1,∴BB1D1D是平行四边形,∴B1D1∥BD.
而BD⊂平面A1BD,B1D1⊄平面A1BD,
∴B1D1∥平面A1BD.
(2)证明 ∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴BB1⊥AC.
又∵BD⊥AC,且BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D.
而MD⊂平面BB1D,∴MD⊥AC.
(3)解 当点M为棱BB1的中点时,
平面DMC1⊥平面CC1D1D.
证明如下:
取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于O,连接OM,如图所示.
∵N是DC的中点,BD=BC,
∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线,
而平面ABCD⊥平面DCC1D1,
∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点,
∴BM∥ON且BM=ON,即BMON是平行四边形.
∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.
∵OM⊂平面DMC1,∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.
能力提升题组
(建议用时:
25分钟)
一、选择题
1.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在( ).
A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线AC上
D.△ABC内部
解析 由BC1⊥AC,又BA⊥AC,则AC⊥平面ABC1,因此平面ABC⊥平面ABC1,因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.
答案 A
2.(2014·北京东城区期末)如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=
,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是( ).
A.A′C⊥BD
B.∠BA′C=90°
C.CA′与平面A′BD所成的角为30°
D.四面体A′-BCD的体积为
解析 取BD的中点O,连接A′O,OC,∵A′B=A′D,∴A′O⊥BD,又平面A′BD⊥平面BCD.平面A′BD∩平面BCD=BD,∴A′O⊥平面BCD,∵CD⊥BD,∴OC不垂直于BD.假设A′C⊥BD,又A′C∩A′O=A′,∴BD⊥平面A′OC,∴BD⊥OC与OC不垂直于BD矛盾,∴A′C不垂直于BD,A错误.∵CD⊥BD,平面A′BD⊥平面BCD,∴CD⊥平面A′BD,∴CD⊥A′D,∴A′C=
,∵A′B=1,BC=
=
,∴A′B2+A′C2=BC2,A′B⊥A′C,B正确.∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角,∠CA′D=45°,C错误.VA′-BCD=
S△A′BD·CD=
,D错误,故选B.
答案 B
二、填空题
3.(2013·河南师大附中二模)如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论中:
①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直线BC∥平面PAE;④∠PDA=45°.
其中正确的有________(把所有正确的序号都填上).
解析 由PA⊥平面ABC,AE⊂平面ABC,得PA⊥AE,又由正六边形的性质得AE⊥AB,PA∩AB=A,得AE⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,∴AE⊥PB,①正确;又平面PAD⊥平面ABC,∴平面ABC⊥平面PBC不成立,②错;由正六边形的性质得BC∥AD,又AD⊂平面PAD,∴BC∥平面PAD,∴直线BC∥平面PAE也不成立,③错;在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45°,∴④正确.
答案 ①④
三、解答题
4.(2014•成都检测)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,SA⊥平面ABCD,二面角S-CD-A的平面角为45°,M为AB的中点,N为SC的中点.
(1)证明:
MN∥平面SAD;
(2)证明:
平面SMC⊥平面SCD;
(3)记
=λ,求实数λ的值,使得直线SM与平面SCD所成的角为30°.
(1)证明 如图,取SD的中点E,连接AE,NE,则NE=
CD=AM,NE∥CD∥AM,
∴四边形AMNE为平行四边形,
∴MN∥AE.
∵MN⊄平面SAD,AE⊂平面SAD,∴MN∥平面SAD.
(2)证明 ∵SA⊥平面ABCD,
∴SA⊥CD.
∵底面ABCD为矩形,
∴AD⊥CD.
又SA∩AD=A,
∴CD⊥平面SAD,
∴CD⊥SD,∴∠SDA即为二面角S-CD-A的平面角,即∠SDA=45°,∴△SAD为等腰直角三角形,∴AE⊥SD.
∵CD⊥平面SAD,∴CD⊥AE,又SD∩CD=D,∴AE⊥平面SCD.
∵MN∥AE,∴MN⊥平面SCD,又MN⊂平面SMC,
∴平面SMC⊥平面SCD.
(3)解 ∵
=λ,设AD=SA=a,则CD=λa.
由
(2)知MN⊥平面SCD,∴SN即为SM在平面SCD内的射影,
∴∠MSN即为直线SM与平面SCD所成的角,即∠MSN=30°.
在Rt△SAM中,SM=
,而MN=AE=
a,
∴在Rt△SNM中,由sin∠MSN=
得
=
,解得λ=2,
∴当λ=2时,直线SM与平面SCD所成的角为30°.
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