第2讲概率随机变量及其分布.docx
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第2讲概率随机变量及其分布
第2讲 概率、随机变量及其分布
【高考考情解读】 1.该部分常考内容有几何概型、古典概型、条件概率,而几何概型常与平面几何、定积分交汇命题,古典概型常与排列、组合交汇命题;常考内容还有离散型随机变量分布列、均值、方差,常与相互独立事件的概率、n次独立重复试验交汇考查.2.从考查形式上来看,三种题型都有可能出现,选择题、填空题突出考查基础知识、基本技能,有时会在知识交汇点处命题;解答题则着重考查知识的综合运用,考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量分布列等,都属于中、低档题.
1.随机事件的概率
(1)随机事件的概率范围:
0≤P(A)≤1;必然事件的概率为1;
不可能事件的概率为0.
(2)古典概型的概率
P(A)=
=
.
(3)几何概型的概率
P(A)=
.
2.条件概率
在A发生的条件下B发生的概率:
P(B|A)=
.
3.相互独立事件同时发生的概率
P(AB)=P(A)P(B).
4.独立重复试验
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为
Pn(k)=C
pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.
5.超几何分布
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=
,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样,超几何分布中的参数是M,N,n.
6.离散型随机变量的分布列
(1)设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,xi,…,ξ取每一个值xi的概率为P(ξ=xi)=pi,则称下表:
ξ
x1
x2
x3
…
xi
…
P
p1
p2
p3
…
pi
…
为离散型随机变量ξ的分布列.
(2)离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质:
①pi≥0,②p1+p2+…+pi+…=1(i=1,2,3,…).
(3)E(ξ)=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望,简称期望.
D(ξ)=(x1-E(ξ))2·p1+(x2-E(ξ))2·p2+…+(xn-E(ξ))2·pn+…叫做随机变量ξ的方差.
(4)性质
①E(aξ+b)=aE(ξ),D(aξ+b)=a2D(ξ);
②X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p);
③X~两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).
7.正态分布:
若X~N(μ,σ2),则正态总体在三个特殊区间内取值的概率
①P(μ-σ ②P(μ-2σ ③P(μ-3σ 考点一 古典概型与几何概型 例1 (1)(2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________.(结果用最简分数表示) (2)(2012·福建)如图所示, 在边长为1的正方形OABC中任取一 点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( ) A. B. C. D. 答案 (1) (2)C 解析 (1)利用古典概型的概率公式求解. 三位同学每人选择三项中的两项有C C C =3×3×3=27(种)选法, 其中有且仅有两人所选项目完全相同的有C C C =3×3×2=18(种)选法. ∴所求概率为P= = . (2)利用积分求出阴影部分的面积,应用几何概型的概率计算公式求解. ∵S阴影=ʃ ( -x)dx= = - = , 又S正方形OABC=1, ∴由几何概型知,P恰好取自阴影部分的概率为 = . (1)解答有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,这常用到计数原理与排列、组合的相关知识. (2)在求基本事件的个数时,要准确理解基本事件的构成,这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性. (3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解. (1)(2013·江苏)现有某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为________. (2)(2013·四川)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 ( ) A. B. C. D. 答案 (1) (2)C 解析 (1)P= = . (2) 设在通电后的4秒钟内,甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为X、 Y,X、Y相互独立,由题意可知 ,如图所示. ∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|X-Y|≤2)= = = = . 考点二 相互独立事件和独立重复试验 例2 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6、0.5、0.4,能通过面试的概率分别是0.6、0.6、0.75. (1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率; (2)求经过两次考试后,至少有一人被该高校预录取的概率. 本题主要考查相互独立事件的概率求法, (1)的关键是利用转化与化归思想,把欲求概率的事件分解为3个互斥事件进行计算; (2)的关键是合理运用对立事件的概率公式计算求解. 解 (1)分别记“甲、乙、丙三个同学笔试合格”为事件A1、A2、A3;E表示事件“恰有一人通过笔试”, 则P(E)=P(A1 2 3)+P( 1A2 3)+P( 1 2A3) =0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4=0.38. 即恰有一人通过笔试的概率是0.38. (2)分别记“甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格”为事件A、B、C,则P(A)=0.6×0.6=0.36, P(B)=0.5×0.6=0.3,P(C)=0.4×0.75=0.3. 事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”. 则 为: 甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取, 即 = ,于是P(F)=1-P( )=1-P( )P( )P( ) =1-0.64×0.7×0.7=0.6864. 即经过两次考试后,至少有一人被预录取的概率是0.6864. 求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点 (1)求复杂事件的概率,要正确分析复杂事件的构成,看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件,然后用概率公式求解. (2)一个复杂事件若正面情况比较多,反面情况较少,则一般利用对立事件进行求解.对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解. (3)注意辨别独立重复试验的基本特征: ①在每次试验中,试验结果只有发生与不发生两种情况;②在每次试验中,事件发生的概率相同. (1)某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是 ,两次闭合都出现红灯的概率为 .则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是________. 答案 解析 “第一次闭合后出现红灯”记为事件A,“第二次闭合后出现红灯”记为事件B,则P(A)= ,P(AB)= . ∴P(B|A)= = = . (2)将一枚均匀的硬币抛掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________. 答案 解析 正面出现的次数比反面出现的次数多,则正面可以出现4次,5次或6次,故所求的概率P=C 6+C 6+C 6= . (3)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和 .假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响. ①求甲射击3次,至少1次未击中目标的概率; ②假设某人连续2次未击中目标,则停止射击,问: 乙恰好射击4次后,被中止射击的概率是多少? ③设甲连续射击3次,用ξ表示甲击中目标时射击的次数,求ξ的数学期望E(ξ). 解 ①记“甲连续射击3次,至少1次未击中目标”为事件A1,由题意,射击3次,相当于3次独立重复试验,故P(A1)=1-P( )=1-( )3= . ②记“乙恰好射击4次后,被中止射击”为事件A2,由于各事件相互独立, 故P(A2)= × × × + × × × = . ③根据题意ξ服从二项分布,E(ξ)=3× =2. 考点三 随机变量的分布列、均值与方差 例3 (2013·重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定: 在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下: 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖 2红1蓝 10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X). 解 设Ai(i=0,1,2,3)表示摸到i个红球,Bj(j=0,1)表示摸到j个蓝球,则Ai与Bj独立. (1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)= = . (2)X的所有可能值为: 0,10,50,200,且 P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)= · = , P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)= · = , P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)= · = = , P(X=0)=1- - - = . 综上可知,获奖金额X的分布列为 X 0 10 50 200 P 从而有E(X)=0× +10× +50× +200× =4(元). 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路: (1)明确随机变量可能取哪些值. (2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值. (3)根据分布列和期望、方差公式求解. (1)(2013·湖北) 如图,将一个各面都涂了油漆的正方体, 切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个 小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值E(X)等于( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 125个小正方体中8个三面涂漆,36个两面涂漆, 54个一面涂漆,27个没有涂漆, ∴从中随机取一个正方体,涂漆面数X的均值E(X)= ×1+ ×2+ ×3= = . (2)设15000件产品中有1000件废品,从中抽取150件进行检查,查得废品的均值为 ( ) A.20B.10C.5D.15 答案 B 解析 抽一件产品为废品的概率为 = ,抽取150件,即进行150次试验,因为产品数目较大,故可看成是独立重复试验,故查得废品数X~B
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- 概率 随机变量 及其 分布