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初三一元二次方程含答案
一.解答题(共30小题)
1.(2013•淄博)关于x的一元二次方程(a﹣6)x2﹣8x+9=0有实根.
(1)求a的最大整数值;
(2)当a取最大整数值时,①求出该方程的根;②求
的值.
2.(2013•孝感)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k使得
≥0成立?
若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
3.(2013•南充)关于x的一元二次方程为(m﹣1)x2﹣2mx+m+1=0.
(1)求出方程的根;
(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数?
4.(2013•荆州)已知:
关于x的方程kx2﹣(3k﹣1)x+2(k﹣1)=0
(1)求证:
无论k为何实数,方程总有实数根;
(2)若此方程有两个实数根x1,x2,且|x1﹣x2|=2,求k的值.
5.(2012•庆阳)已知关于x的方程k2x2﹣2(k+1)x+1=0有两个实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)当k=1时,设所给方程的两个根分别为x1和x2,求
+
的值.
6.(2010•孝感)关于x的一元二次方程x2﹣x+p﹣1=0有两实数根x1,x2,
(1)求p的取值范围;
(2)若[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,求p的值.
7.(2009•淄博)已知x1,x2是方程x2﹣2x+a=0的两个实数根,且x1+2x2=3﹣
.
(1)求x1,x2及a的值;
(2)求x13﹣3x12+2x1+x2的值.
8.(2009•江津区)已知a、b、c分别是△ABC的三边,其中a=1,c=4,且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状.
9.(2009•鄂州)已知关于x的方程kx2﹣2(k+1)x+k﹣1=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使此方程的两个实数根的倒数和等于0?
若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
10.(2008•濮阳)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的两个实数根,且x12x22﹣x1﹣x2=115.
(1)求k的值;
(2)求x12+x22+8的值.
11.(2007•孝感)已知关于x的一元二次方程x2+(m﹣1)x﹣2m2+m=0(m为实数)有两个实数根x1、x2.
(1)当m为何值时,x1≠x2;
(2)若x12+x22=2,求m的值.
12.(2006•沈阳)已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1=0.
(1)请你为m选取一个合适的整数,使得到的方程有两个不相等的实数根;
(2)设α,β是
(1)中你所得到的方程的两个实数根,求α2+β2+αβ的值.
13.(2006•旅顺口区)已知关于x的方程2x2﹣kx+1=0的一个解与方程
的解相同.
(1)求k的值;
(2)求方程2x2﹣kx+1=0的另一个解.
14.(2006•龙岩)已知:
关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m2+m﹣2=0.
(1)求证:
不论m取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根x1,x2满足
,求m的值.
15.(2006•江西)已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣1=0,
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两根分别为x1,x2,且满足x1+x2=x1•x2,求k的值.
16.(2006•黑龙江)已知关于x的一元二次方程kx2﹣2(k+1)x+k﹣1=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使
+
=1成立?
若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
17.(2006•广安)已知:
△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5.试问:
k取何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?
18.(2005•徐州)已知α,β是关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣x+1=0的两个实数根,且满足(α+1)(β+1)=m+1,求实数m的值.
19.(2005•龙岩)已知关于x的方程(m﹣1)x2﹣2mx+m=0有两个不相等的实数根x1、x2;
(1)求m的取值范围;
(2)若(x1﹣x2)2=8,求m的值.
20.(2005•荆门)已知:
关于x的方程x2﹣(k+1)x+
k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长.
(1)k取何值时,方程有两个实数根;
(2)当矩形的对角线长为
时,求k的值.
21.(2005•江西)设关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2(k﹣1)=0有两个实数根x1、x2,问是否存在x1+x2<x1•x2的情况?
22.(2004•荆州)关于x的方程x2+(2k+1)x+k2﹣1=0有两个实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等?
若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
23.(2003•盐城)已知关于x的方程x2+2(2﹣m)x+3﹣6m=0.
(1)求证:
无论m取什么实数,方程总有实数根;
(2)如果方程的两个实数根x1、x2满足x1=3x2,求实数m的值.
24.(2002•海南)对关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).
(1)当a、c异号时,试证明该方程必有两个不相等的实数根;
(2)当a、c同号时,该方程要有实数根,还须满足什么条件?
请你找出一个a、c同号且有实数根的一元二次方程,然后解这个方程.
25.(2001•苏州)已知关于x的一元二次方程
,
(1)求证:
不论k取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)设x1、x2是方程的两个根,且x12﹣2kx1+2x1x2=5,求k的值.
26.(2001•福州)已知关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2﹣3=0.
(1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根?
(2)设x1、x2是方程的两根,且(x1+x2)2﹣(x1+x2)﹣12=0,求m的值.
27.(1998•山西)设a,b,c是△ABC三边的长,且关于x的方程c(x2+n)+b(x2﹣n)﹣2
ax=0(n>0)有两个实数根,求证:
△ABC是直角三角形.
28.(2013•乐山模拟)选做题:
题乙:
已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+2=2(1﹣x)有两个实数根x1、x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|=x1x2﹣1,求k的值.
29.(2012•张家港市模拟)若关于x的方程x2+4x﹣a+3=0有实数根.
(1)求a的取值范围;
(2)当a=2012时,设方程的两根为x1、x2,求x12+3x1﹣x2的值.
30.(2012•金堂县一模)用适当的方法解下列方程
①(x+4)2=5(x+4)
②x2﹣6x+5=0
③(x+3)2=(1﹣2x)2
④2x2﹣10x=3.
2013年9月1109953718的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共30小题)
1.(2013•淄博)关于x的一元二次方程(a﹣6)x2﹣8x+9=0有实根.
(1)求a的最大整数值;
(2)当a取最大整数值时,①求出该方程的根;②求
的值.
考点:
根的判别式;解一元二次方程-公式法.2979270
分析:
(1)根据一元二次方程的定义和根的判别式得到△=64﹣4×(a﹣6)×9≥0且a﹣6≠0,解得a≤
且a≠6,然后在次范围内找出最大的整数;
(2)①把a的值代入方程得到x2﹣8x+9=0,然后利用求根公式法求解;
②由于x2﹣8x+9=0则x2﹣8x=﹣9,然后把x2﹣8x=﹣9整体代入所求的代数式中得到原式=2x2﹣
=2x2﹣16x+
,再变形得到2(x2﹣8x)+
,再利用整体思想计算即可.
解答:
解:
(1)根据题意△=64﹣4×(a﹣6)×9≥0且a﹣6≠0,
解得a≤
且a≠6,
所以a的最大整数值为7;
(2)①当a=7时,原方程变形为x2﹣8x+9=0,
△=64﹣4×9=28,
∴x=
,
∴x1=4+
,x2=4﹣
;
②∵x2﹣8x+9=0,
∴x2﹣8x=﹣9,
所以原式=2x2﹣
=2x2﹣16x+
=2(x2﹣8x)+
=2×(﹣9)+
=﹣
.
点评:
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义和解法以及整体思想.
2.(2013•孝感)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k使得
≥0成立?
若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
考点:
根与系数的关系;根的判别式.2979270
专题:
压轴题.
分析:
(1)根据已知一元二次方程的根的情况,得到根的判别式△≥0,据此列出关于k的不等式[﹣(2k+1)]2﹣4(k2+2k)≥0,通过解该不等式即可求得k的取值范围;
(2)假设存在实数k使得
≥0成立.利用根与系数的关系可以求得
,然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式
≥0,通过解不等式可以求得k的值.
解答:
解:
(1)∵原方程有两个实数根,
∴[﹣(2k+1)]2﹣4(k2+2k)≥0,
∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0
∴1﹣4k≥0,
∴k≤
.
∴当k≤
时,原方程有两个实数根.
(2)假设存在实数k使得
≥0成立.
∵x1,x2是原方程的两根,
∴
.
由
≥0,
得
≥0.
∴3(k2+2k)﹣(2k+1)2≥0,整理得:
﹣(k﹣1)2≥0,
∴只有当k=1时,上式才能成立.
又∵由
(1)知k≤
,
∴不存在实数k使得
≥0成立.
点评:
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系,在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系.
3.(2013•南充)关于x的一元二次方程为(m﹣1)x2﹣2mx+m+1=0.
(1)求出方程的根;
(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数?
考点:
解一元二次方程-公式法;一元二次方程的解.2979270
专题:
压轴题.
分析:
(1)利用求根根式x=
解方程;
(2)利用
(1)中x的值来确定m的值.
解答:
解:
(1)根据题意,得
m≠1.
△=(﹣2m)2﹣4(m﹣1)(m+1)=4,
则x1=
=
,
x2=1;
(2)由
(1)知,x1=
=1+
,
∵方程的两个根都为正整数,
∴
是正整数,
∴m﹣1=1或m﹣1=2,
解得,m=2或3.即m为2或3时,此方程的两个根都为正整数.
点评:
本题考查了公式法解一元二次方程.要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解.
4.(2013•荆州)已知:
关于x的方程kx2﹣(3k﹣1)x+2(k﹣1)=0
(1)求证:
无论k为何实数,方程总有实数根;
(2)若此方程有两个实数根x1,x2,且|x1﹣x2|=2,求k的值.
考点:
根的判别式;根与系数的关系.2979270
分析:
(1)确定判别式的范围即可得出结论;
(2)根据根与系数的关系表示出
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