⇔cosA=
,故选C.
答案:
C
3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:
当φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin2x,此时曲线过坐标原点,但曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点时,φ=kπ(k∈Z),所以“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条件.
答案:
A
4.若“x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是( )
A.若x2≥1,则x≥1或x≤-1
B.若-1<x<1,则x2<1
C.若x>1或x<-1,则x2>1
D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1
解析:
-1<x<1的否定是x≥1或x≤-1;x2<1的否定是x2≥1.则逆否命题为:
若x≥1或x≤-1则x2≥1.
答案:
D
5.下列命题中,是真命题的是( )
A.若向量a,b满足a·b=0,则a=0或b=0
B.若0<a<b,则
<
C.对任意x∈R,
是无理数
D.∃x∈R,使得sinx+cosx=
成立
解析:
对于选项A中,当a⊥b时,a·b=0也成立,此时不一定有a=0或b=0;选项B显然是假命题;选项C是假命题,例如
是有理数;对于选项D,因为sinx+cosx=
sin
∈[-
,
],所以该命题正确.
答案:
D
6.命题“设a,b,c∈R,若ac2>bc2,则a>b”及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
解析:
原命题为真,则逆否命题也为真;逆命题“设a,b,c∈R,若a>b,则ac2>bc2”是假命题,故否命题也为假命题,因此真命题有2个.
答案:
C
7.命题p:
∀x∈R,x2+1>0,命题q:
∃θ∈R,sin2θ+cos2θ=1.5,则下列命题中真命题是( )
A.p∧qB.(綈p)∧q
C.(綈p)∨qD.p∨(綈q)
解析:
易知p为真,q为假,綈p为假,綈q为真.由真值表可知p∧q假,(綈p)∧q假,(綈p)∨q为假,(綈p)∨q假,p∨(綈q)真.
答案:
D
8.下列说法错误的是( )
A.“sinθ=
”是“θ=30°”的充分不必要条件
B.命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”
C.△ABC中,“sinA>sinB”是“A>B”的充要条件
D.如果命题“綈p”与命题“p∨q”都是真命题,那么命题q一定是真命题
解析:
因为sinθ=
⇒θ=k·360°+30°或θ=k·360°+150°(k∈Z),反之当θ=30°时,sinθ=
,所以“sinθ=
”是“θ=30°”的必要不充分条件.
答案:
A
9.设f(x)=x2-4x(x∈R),则f(x)>0的一个必要不充分条件是( )
A.x<0B.x<0或x>4
C.|x-1|>1D.|x-2|>3
解析:
由x2-4x>0有x>4或x<0,故C选项符合.
答案:
C
10.下列命题中为假命题的是( )
A.∀x>0且x≠1,x+
>2
B.∀a∈R,直线ax+y=a恒过定点(1,0)
C.∃m0∈R,f(x)=(m0-1)·xm
-4m0+3是幂函数
D.∀φ∈R,函数,f(x)=sin(2x+φ)不是偶函数
解析:
当x>0时,x+
≥2,等号在x=1时成立,故A为真命题;将x=1,y=0代入直线方程ax+y=a中,等式成立,故B为真命题;令m0-1=1,得m0=2,此时,f(x)=x-1是幂函数,故C为真命题;当φ=
时,f(x)=sin
=cos2x为偶函数,故D为假命题.
答案:
D
11.已知命题p(x)∶x2+2x-m>0,如果p
(1)是假命题,p
(2)是真命题,则实数m的取值范围为( )
A.[3,+∞)B.(-∞,8)
C.RD.[3,8)
解析:
因为p
(1)是假命题,所以1+2-m≤0,解得m≥3;又p
(2)是真命题,所以4+4-m>0,解得m<8.故实数m的取值范围为[3,8).
答案:
D
12.设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是( )
A.m>-1,n<5B.m<-1,n<5
C.m>-1,n>5D.m<-1,n>5
解析:
(2,3)∈A∩(∁UB),则
所以m>-1,n<5.
答案:
A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.命题“∃x0∈
,tanx0≤sinx0”的否定是______________________.
解析:
将存在量词改写为全称量词,并否定结论得:
∀x∈
,tanx>sinx.
答案:
∀x∈
tanx>sinx
14.命题p:
y=f(x)为偶函数,命题q:
=1,则p为q的________条件.
解析:
当y=f(x)为偶函数时,推不出
=1,如f(x)=0,但当
=1,则f(-x)=f(x),即y=f(x)为偶函数,则p为q的必要不充分条件.
答案:
必要不充分
15.“相似三角形的面积相等”的否命题是_________________,原命题的否定是______________________.
解析:
“若p,则q”为原命题,它的否命题是“若非p,则非q”,它的否定是“若p,则非q”.
答案:
若两个三角形不相似,则它们的面积不相等 相似三角形的面积不相等
16.已知命题p:
∃x∈R,x2+m<0;命题q:
∀x∈R,x2+mx+1>0.若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是___________.
解析:
若p∧q为真,则p真q真.p真的充要条件是x2<-m有解,即m<0;而q真的充要条件是Δ=m2-4<0,即-2<m<2,所以-2<m<0.
答案:
(-2,0)
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)若a,b,c∈R,写出命题“若ac<0,则方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.
解:
逆命题:
若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,则ac<0,是假命题.
否命题:
若ac≥0,则方程ax2+bx+c=0没有两个不相等的实数根,是假命题.
逆否命题:
若方程ax2+bx+c=0没有两个不相等的实数根,则ac≥0,是真命题.
18.(本小题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.
(1)对数函数都是单调函数;
(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;
(3)∀x∈{x|x>0},x+
>2;
(4)∃x0∈Z,log2x0≥2.
解:
(1)本题隐含了全称量词“所有的”,可表述为“所有的对数函数都是单调函数”,是全称命题,且为真命题.
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.
(3)命题中含有全称量词“∀”,是全称命题,假命题.
(4)命题中含有存在量词“∃”,是特称命题,真命题.
19.(本小题满分12分)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-mx+2=0},若A是B的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
解:
由已知得A={1,2},因为A是B的必要不充分条件,所以BA.
根据集合中元素的个数对集合B进行分类.
讨论:
B=∅,B={1}或B={2}.
当B=∅时,方程x2-mx+2=0无实数解,Δ=m2-8<0,解得-2
;
当B={1}或B={2}时,
无解.
综上所述,m的取值范围为-2
.
20.(本小题满分12分)已知曲线C:
x2+y2+Gx+Ey+F=0(G2+E2-4F>0),求曲线C在x轴上所截的线段的长度为1的充要条件,证明你的结论.
解:
必要性:
令y=0,
则x2+Gx+F=0.
设x1,x2为此方程的根,
若|x1-x2|=
=1,
则G2-4F=1.
充分性:
若G2-4F=1,x2+Gx+F=0
有两根为x1,x2,且x1+x2=-G,x1·x2=F,
|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1·x2=G2-4F=1.
故所求的充要条件是G2-4F=1.
21.(本小题满分12分)已知ab≠0,求证a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
证明:
必要性;
因为a+b=1,即a+b-1=0,
所以a3+b3+ab-a2-b2=
(a+b)(a2-ab+b2)-(a2+b2-ab)=
(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
充分性:
因为a3+b3+ab-a2-b2=0,
所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,
又因为ab≠0,所以a≠0且b≠0,
所以a2+b2-ab=
+
b2>0,
所以a+b-1=0.所以a+b=1.
综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
22.(本小题满分12分)已知c>0,设命题p:
y=cx为减函数,命题q:
函数f(x)=x+
>
在x∈
上恒成立.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求c的取值范围.
解:
由p∨q为真,p∧q为假,知p与q为一真一假,对p,q进行分类讨论即可.
若p真,由y=cx为减函数,得0<c<1,当x∈
时,由不等式x+
≥2(x=1时取等号)知,f(x)=x+
在
上的最小值为2.若q真,则有
<2,即c>
.
若p真q假,则0<c<1,c≤
,所以0<c≤
;
若p假q真,则c≥1,c>
,所以c≥1.
综上可得,c∈
∪[1,+∞).