1920 第2章 21 211 平面.docx
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1920第2章21211平面
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
学习目标
核心素养
1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法.(难点)
2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.(重点)
3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公理的地位与作用.(难点、易错点)
1.通过对平面有关概念的学习,培养直观想象的数学素养.
2.通过平面基本性质的应用,培养逻辑推理、直观想象的数学素养.
1.平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.
思考:
一个平面能否把空间分成两部分?
[提示] 因为平面是无限延展的,一个平面把空间分成两部分.
2.平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如图①.
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图②.
① ②
3.平面的表示法
上图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
4.平面的基本性质
公理
内容
图形
符号
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α
公理2
过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α,P∈β⇒α∩β=l且P∈l
思考:
经过空间任意三点能确定一个平面吗?
[提示] 不一定,只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面.
1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确的是( )
A.A∈l,l
αB.A∈l,l⊄α
C.A⊂l,l⊄αD.A⊂l,l
α
[答案] B
2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( )
A.平面MNB.平面NQP
C.平面αD.平面MNPQ
A [表示平面不能用一条线段的两个端点表示,但可以表示为平面MP,选A.]
3.任意三点可确定平面的个数是( )
A.0B.1C.2 D.1或无数个
D [当这三点共线时,可确定无数个平面;当这三点不共线时,可确定一个平面.]
立体几何三种语言的相互转化
【例1】 用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B;
(2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.
[解]
(1)用符号表示:
α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图.
(2)用符号表示:
A∈α,B∈α,a∩α=C,C
AB,如图.
三种语言的转换方法:
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“
”,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
1.用符号语言表示下列语句,并画出图形:
(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC;
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.
[解]
(1)符号语言表示:
α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,图形表示:
如图①.
(2)符号语言表示:
平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC,图形表示:
如图②.
点线共面问题
【例2】 如图,已知:
a⊂α,b⊂α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:
PQ⊂α.
[证明] ∵PQ∥a,∴PQ与a确定一个平面β.
∴直线a⊂β,点P∈β.
∵P∈b,b⊂α,∴P∈α.
又∵a⊂α,∴α与β重合.∴PQ⊂α.
解决点线共面问题的基本方法:
2.求证:
两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.
[解] 已知:
AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C.
求证:
直线AB,BC,AC共面.
证明:
法一:
因为AC∩AB=A,所以直线AB,AC可确定一个平面α.
因为B∈AB,C∈AC,所以B∈α,C∈α,故BC⊂α.
因此直线AB,BC,AC都在平面α内,
所以直线AB,BC,AC共面.
法二:
因为A不在直线BC上,
所以点A和直线BC可确定一个平面α.
因为B∈BC,所以B∈α,又A∈α,所以AB⊂α.同理AC⊂α,故直线AB,BC,AC共面.
法三:
因为A,B,C三点不在同一条直线上,
所以A,B,C三点可以确定一个平面α.
因为A∈α,B∈α,所以AB⊂α,
同理BC⊂α,AC⊂α,
故直线AB,BC,AC共面.
点共线、线共点问题
[探究问题]
1.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E.能否判断点E在平面A1BCD1内?
[提示] 如图,连接BD1,
∵A1C∩平面ABC1D1=E,
∴E∈A1C,E∈平面ABC1D1.
∵A1C⊂平面A1BCD1,
∴E∈平面A1BCD1.
2.上述问题中,你能证明B,E,D1三点共线吗?
[提示] 由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1,又E∈BD1,根据公理3可知B,E,D1三点共线.
【例3】 如图,已知平面α,β,且α∩β=l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β.
求证:
AB,CD,l共点(相交于一点).
思路探究:
→
→
→
[证明] 因为梯形ABCD中,AD∥BC,
所以AB,CD是梯形ABCD的两腰.
所以AB,CD必定相交于一点.
设AB∩CD=M.
又因为AB⊂α,CD⊂β,所以M∈α,M∈β.
所以M∈α∩β.
又因为α∩β=l,所以M∈l.
即AB,CD,l共点(相交于一点).
本例变为:
如图所示,在空间四边形各边AD、AB、BC、CD上分别取E、F、G、H四点,如果EF、GH交于一点P,求证:
点P在直线BD上.
[证明] 若EF、GH交于一点P,
则E,F,G,H四点共面,
又因为EF⊂平面ABD,GH⊂平面CBD,
平面ABD∩平面CBD=BD,
所以P∈平面ABD,且P∈平面CBD,
由公理3可得P∈BD.
1.证明三点共线的方法
(1)首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理3可知,这些点都在两个平面的交线上.
(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在此直线上.
2.证明三线共点的步骤
(1)首先说明两条直线共面且交于一点;
(2)说明这个点在另两个平面上,并且这两个平面相交;
(3)得到交线也过此点,从而得到三线共点.
1.立体几何的三种语言
图形语言、符号语言、文字语言是立体几何的三大语言,要准确实现这三种语言的相互转换.
2.三个公理的作用:
公理1——判定直线在平面内的依据;
公理2——判定点共面、线共面的依据;
公理3——判定点共线、线共点的依据.
3.证明几点共线的方法:
首先考虑两个平面的交线,再证有关的点都是这两个平面的公共点.或先由某两点作一条直线,再证明其他点也在这条直线上.
1.有以下结论:
①平面是处处平的面;
②平面是无限延展的;
③平面的形状是平行四边形;
④一个平面的厚度可以是0.001cm.
其中正确的个数为( )
A.1B.2 C.3 D.4
B [平面是无限延展的,但是没有大小、形状、厚薄,①②两种说法是正确的;③④两种说法是错误的.故选B.]
2.下列空间图形画法错误的是( )
A B C D
D [遮挡部分应画成虚线.故D错,选D.]
3.如果点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,则可以表示为( )
A.A⊂a,a⊂α,B∈αB.A∈a,a⊂α,B∈α
C.A⊂a,a∈α,B⊂αD.A∈a,a∈α,B∈α
B [点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,表示为A∈a,a⊂α,B∈α.]
4.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,求证:
点P在直线DE上.
[证明] 因为P∈AB,AB⊂平面ABC,
所以P∈平面ABC.
又P∈α,平面ABC∩平面α=DE,
所以P∈直线DE.
课时分层作业(七) 平面
(建议用时:
45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.已知点A,直线a,平面α,以下命题表述正确的个数是( )
①A∈a,a⊄α⇒A
α;②A∈a,a∈α⇒A∈α;③A
a,a⊂α⇒A
α;④A∈a,a⊂α⇒A⊂α.
A.0B.1 C.2 D.3
A [①不正确,如a∩α=A;②不正确,∵“a∈α”表述错误;③不正确,如图所示,A
a,a⊂α,但A∈α;④不正确,“A⊂α”表述错误.]
2.下列命题中正确命题的个数是( )
①三角形是平面图形;
②四边形是平面图形;
③四边相等的四边形是平面图形;
④圆是平面图形.
A.1个B.2个
C.3个D.4个
B [根据公理2可知①④正确,②③错误.故选B.]
3.两个平面若有三个公共点,则这两个平面( )
A.相交B.重合
C.相交或重合D.以上都不对
C [若三点在同一条直线上,则这两个平面相交或重合,若三点不共线,则这两个平面重合.]
4.如果空间四点A,B,C,D不共面,那么下列判断中正确的是( )
A.A,B,C,D四点中必有三点共线
B.A,B,C,D四点中不存在三点共线
C.直线AB与CD相交
D.直线AB与CD平行
B [两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面,选B.]
5.三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( )
A.0B.1
C.0或1D.1或3
D [当三条直线是同一平面内的平行直线时,确定一个平面,当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时,确定三个平面,选D.]
二、填空题
6.设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β,a∩b=M,则M________l.
∈ [因为a∩b=M,a⊂α,b⊂β,所以M∈α,M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.]
7.在长方体ABCDA1B1C1D1的所有棱中,既与AB共面,又与CC1共面的棱有________条.
5 [由题图可知,既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条.]
8.已知平面α与平面β、平面γ都相交,则这三个平面可能的交线有________条.
1或2或3 [当β与γ相交时,若α过β与γ的交线,有1条交线;若α不过β与γ的交线,有3条交线;当β与γ平行时,有2条交线.]
三、解答题
9.已知:
A∈l,B∈l,C∈l,D
l,如图所示.
求证:
直线AD,BD,CD共面.
[证明] 因为D
l,所以l与D可以确定平面α,
因为A∈l,所以A∈α,
又D∈α,所以AD⊂α.同理,BD⊂α,CD⊂α,
所以AD,BD,CD在同一平面α内,
即它们共面.
10.求证:
三棱台A1B1C1ABC三条侧棱延长后相交于一点.
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