奥数知识点总结非常全面.docx

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奥数知识点总结非常全面

小学奥数知识点总结

1．和差倍问题

和差问题

和倍问题

差倍问题

已知条件

几个数的和与差

几个数的和与倍数

几个数的差与倍数

公式适用范围

已知两个数的和，差，倍数关系

公式

①（和－差）÷2=较小数

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较小数＋差=较大数

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和－较小数=较大数

②（和＋差）÷2=较大数

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较大数－差=较小数

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和－较大数=较小数

和÷（倍数＋1）=小数

小数×倍数=大数

和－小数=大数

差÷（倍数-1）=小数

小数×倍数=大数

小数＋差=大数

关键问题

求出同一条件下的

和与差

和与倍数

差与倍数

2．年龄问题的三个基本特征：

①两个人的年龄差是不变的；

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②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；

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③两个人的年龄的倍数是发生变化的；

3．归一问题的基本特点：

问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。

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关键问题：

根据题目中的条件确定并求出单一量；

4．植树问题

基本类型

在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树

在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树

在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树

封闭曲线上植树

基本公式

棵数=段数＋1

棵距×段数=总长

棵数=段数－1

棵距×段数=总长

棵数=段数

棵距×段数=总长

关键问题

确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

5．鸡兔同笼问题

基本概念：

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鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；

基本思路：

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①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

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②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；

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③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

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④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式：

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①把所有鸡假设成兔子：

鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）

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②把所有兔子假设成鸡：

兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

关键问题：

找出总量的差与单位量的差。

雪帆提示：

鸡兔同笼的公式千万不要死记硬背，因为它的变形更多！

6．盈亏问题

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基本概念：

一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：

按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．

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基本思路：

先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．

基本题型：

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①一次有余数，另一次不足；

基本公式：

总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差

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②当两次都有余数；?

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基本公式：

总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差

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③当两次都不足；?

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基本公式：

总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差

基本特点：

对象总量和总的组数是不变的。

关键问题：

确定对象总量和总的组数。

7．牛吃草问题

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基本思路：

假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

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基本特点：

原草量和新草生长速度是不变的；

关键问题：

确定两个不变的量。

基本公式：

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生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

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总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；

8．周期循环与数表规律

周期现象：

事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。

周期：

我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。

关键问题：

确定循环周期。

闰?

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年：

一年有366天；

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①年份能被4整除；

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②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；

平?

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年：

一年有365天。

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①年份不能被4整除；

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②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

9．平均数

基本公式：

①平均数=总数量÷总份数

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总数量=平均数×总份数

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总份数=总数量÷平均数

②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数

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基本算法：

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①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.

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②基准数法：

根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。

10．抽屉原理

抽屉原则一：

如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

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例：

把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：

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①4=4+0+0?

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②4=3+1+0?

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③4=2+2+0?

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④4=2+1+1

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观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：

总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

抽屉原则二：

如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:

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①k=[n/m]+1个物体：

当n不能被m整除时。

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②k=n/m个物体：

当n能被m整除时。

理解知识点：

[X]表示不超过X的最大整数。

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例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

关键问题：

构造物体和抽屉。

也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。

11．定义新运算

基本概念：

定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：

严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：

正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：

①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

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②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

12．数列求和

等差数列：

在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。

基本概念：

首项：

等差数列的第一个数，一般用a1表示；

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项数：

等差数列的所有数的个数，一般用n表示；

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公差：

数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；

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通项：

表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；

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数列的和：

这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．

基本思路：

等差数列中涉及五个量：

a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

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基本公式：

通项公式：

an=a1+（n－1）d；

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通项＝首项＋（项数一1）×公差；

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数列和公式：

sn,=（a1+an）×n÷2；

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数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；

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项数公式：

n=（an+a1）÷d＋1；

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项数=（末项-首项）÷公差＋1；

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公差公式：

d=（an－a1））÷（n－1）；

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公差=（末项－首项）÷（项数－1）；

关键问题：

确定已知量和未知量，确定使用的公式；雪帆提示：

推导出来的东西要熟记，可以利用植树问题推到！

13．二进制及其应用

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十进制：

用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。

所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。

=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100

注意：

N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）

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二进制：

用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。

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（2）=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7+……+A3×22+A2×21+A1×20

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注意：

An不是0就是1。

十进制化成二进制：

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①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。

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②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。

14．加法乘法原理和几何计数

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加法原理：

如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：

m1+m2.......+mn种不同的方法。

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关键问题：

确定工作的分类方法。

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基本特征：

每一种方法都可完成任务。

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乘法原理：

如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：

m1×m2.......×mn种不同的方法。

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关键问题：

确定工作的完成步骤。

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基本特征：

每一步只能完成任务的一部分。

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直线：

一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。

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直线特点：

没有端点，没有长度。

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线段：

直线上任意两点间的距离。

这两点叫端点。

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线段特点：

有两个端点，有长度。

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射线：

把直线的一端无限延长。

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射线特点：

只有一个端点；没有长度。

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①数线段规律：

总数＝1+2+3+…+（点数一1）；

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②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；

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③数长方形规律：

个数=长的线段数×宽的线段数：

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④数长方形规律：

个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数

15．质数与合数

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质数：

一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。

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合数：

一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。

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质因数：

如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。

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分解质因数：

把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

通常用短除法分解质因数。

任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

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分解质因数的标准表示形式：

N=，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1

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求约数个数的公式：

P=（r1+1）×（r2+1）×（r3+1）×……×（rn+1）

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互质数：

如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。

16．约数与倍数

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约数和倍数：

若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

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公约数：

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

最大公约数的性质：

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1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。

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2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

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3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

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