分类讨论在中考中的应用.docx
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分类讨论在中考中的应用
“分类讨论”在数学中考中的应用
分类讨论的思想是解题的一种常用思想方法,它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性,使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题,学生只有掌握了分类的思想方法,在解题中才不会出现漏解的情况。
利用分类讨论思想和方法解决的问题大概分成两类,一类是涉及代数式或函数或方程中,根据字母不同的取值情况,分别在不同的取值范围内讨论解决问题;一类是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况,逐一讨论解决问题。
分类讨论的一般步骤:
①确定分类对象;②进行合理分类;③逐类进行讨论;④归纳作出结论.
近几年来,“分类讨论”在各地中考命题中频频出现,此类题综合性强,难度较大,对考生的能力要求较高,具有选拔性,考生在做此类题时,常常感到很困难,答不完整,易丢分,因此针对这种题型的特点和重要性,结合一些中考题,对一些常见的分类讨论的思想做如下简单的总结。
例1.已知两数4和8,试写出第三个数,使这三个数中,其中一个数是另外两个数的比例中项,求第三个数。
分析:
这是一道开放性题目,它需分几种情况讨论。
不妨设第三个数为x,
由
可得
;
由
得
;
由
可得
。
故第三个数为2,或16,或
。
例2.某旅行杜拟在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”活动,收费标准如下:
人数m
0 100 m>200 收费标准(元/人) 90 85 75 甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动.已知甲校报名参加的学生人数多于100人,乙校报名参加的学生人数少于100人.经核算,若两校分别组团共需花费10800元,若两校联合组团只需花赞18000元. (1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和赳过200人吗? 为什么? (2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人? 解: (1)设两校人数之和为a. 若a>200,则a=18000÷75=240. 若100<a≤200,则 ,不合题意. 所以这两所学校报名参加旅游的学生人数之和等于240人,超过200人.……3分 (2)设甲学校报名参加旅游的学生有x人,乙学校报名参加旅游的学生有y人,则 ①当100<x≤200时,得 解得 ②当x>200时,得 解得 此解不合题意,舍去. ∴甲学校报名参加旅游的学生有160人,乙学校报名参加旅游的学生有80人. 二、与方程有关的分类讨论 例3.关于x的方程 有实数根,求a的取值范围。 分析: 本题是“关于x的方程 有实数根”,而不是有两个实数根,也没说明该方程是一元二次方程,所以a可以为0.当a=0时,方程的根是 ,当a≠0时, ,即: ,解得: a≤1,综上所述,当a≤1B.a≠0时,方程 有实数根. 评析: 当遇到方程的二次项系数带有字母时,要对二次项系数进行讨论,以确定题中给出的方程是一元一次方程还是一元二次方程.方程的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式,然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论,在讨论问题的时候要注意特殊点的情况. 三、与函数有关的分类讨论 例4.若直线y=-2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是1,求b的值. 分析直线y=-2x+b可以过一二四象限,还可以过二三四象限,当x=0时,y=b,当y=0时,x=,所以••b=1,b=±2. 说明一次函数与坐标轴交点位置不确定时,要进行分类讨论,防止漏解. 例5.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(2,2),反比例函数 (x>0,k≠0)的图像经过线段BC的中点D. (1)求k的值; (2)若点P(x,y)在该反比例函数的图像上运动(不与点D重合),过点P作 PR⊥y轴于点R,作PQ⊥BC所在直线于点Q,记四边形CQPR的面积为S,求S关于x的解析式并写出x的取值范围。 分析: (1)首先根据题意求出C点的坐标,然后根据中点坐标公式求出D点坐标,由反比例函数 (x>0,k≠0)的图象经过线段BC的中点D,D点坐标代入解析式求出k即可; (2)分两步进行解答,①当D在直线BC的上方时,即0<x<1,如图1,根据S四边形CQPR=CQ•PD列出S关于x的解析式S四边形CQPR=CQ•PD=x•( ﹣2)=2﹣2x(0<x<1),②当D在直线BC的下方时,即x>1,如图2,依然根据S四边形CQPR=CQ•PD列出S关于x的解析式S四边形CQPR=CQ•PD=x•(2﹣ )=2x﹣2(x>1). 解: (1)∵正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(2,2), ∴C(0,2), ∵D是BC的中点, ∴D(1,2), ∵反比例函数 (x>0,k≠0)的图象经过点D, ∴k=2; (2)当D在直线BC的上方时,即0<x<1,如图1,∵点P(x,y)在该反比例函数的图象上运动, ∴y= , ∴S四边形CQPR=CQ•PD=x•( ﹣2)=2﹣2x(0<x<1), 如图2,同理求出S四边形CQPR=CQ•PD=x•(2﹣ )=2x﹣2(x>1), 综上S= . 评析: 函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式,然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论,在讨论问题的时候要注意特殊点的情况. 四、与三角形有关的分类讨论 例6.一个等腰三角形两边的长分别为4和5,那么这个三角形的周长是()。 A.13B.14C.15D.13或14 分析: 等腰三角形两边的长分别为4和5,若以4为腰,则底边为5,因为 ,满足三角形任意两边之和大于第三边,此时这个三角形周长为4+4+5=13,若以5为腰,则底边为4,因为 ,满足三角形任意两边之和大于第三边,所以此时这个三角形的周长为5+5+4=14,所以这个等腰三角形的周长为13或14,故选D. 例7.如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴, OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是 AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点 F处. (1)直接写出点E、F的坐标; (2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式; 解析: ①解决翻折类问题,首先应注意翻折前后的两个图形是全等图,找出相等的边和角.其次要注意对应点的连线被对称轴(折痕)垂直平分.结合这两个性质来解决.在运用分类讨论的方法解决问题时,关键在于正确的分类,因而应有一定的分类标准,如E为顶点、P为顶点、F为顶点.在分析题意时,也应注意一些关键的点或线段,借助这些关键点和线段来准确分类.这样才能做到不重不漏.③解决和最短之类的问题,常构建水泵站模型解决. 解: (1) ; . (2)在 中, , . 设点 的坐标为 ,其中 , 顶点 , 设抛物线解析式为 . ①如图①,当 时, , .解得 (舍去); . . .解得 . 抛物线的解析式为 ②如图②,当 时, , .解得 (舍去). ③当 时, ,这种情况不存在. 综上所述,符合条件的抛物线解析式是 . 五、与四边形有关的分类讨论 例8.已知: 在平面直角坐标系中,以点A(2,1)、B(5,1)、C(4,3)、D为顶点的四边形是平行四边形,求顶点D的坐标。 分析: 先在平面直角坐标中描出点A、B、C的位置,然后分三种情况讨论: 以AB为对角线,则可求出点D的坐标为(3,-1); 以BC为对角线,则可求出点D的坐标为(7,3); 以AC为对角线,则可求出点D的坐标为(1,3);综上所述,点DD的坐标为: (3,-1)、(7,3)或(1,3)。 六、与圆有关的分类讨论 例9.如图,已知⊙O的半径为6cm,射线PM经过点O,OP=10cm,射线PN与⊙O相切于点Q.A、B两点同时从点P出发,点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动,点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时间为t(s). (1)求PQ的长; (2)当t为何值时,直线AB与⊙O相切。 总之,分类讨论是中学数学中常用的一种数学思想方法之一,在研究此类问题的解法时,需认真审题,全面考虑,对可能存在的各种情况进行讨论,做到不重、不漏、条理清晰.同学们在做题时要注意以下几点: 1.熟知直角三角形的直角,等腰三角形的腰与角以及圆的对称性,根据图形的特殊性质,找准讨论对象,逐一解决。 在探讨等腰或直角三角形存在时,一定要按照一定的原则,不要遗漏,最后要综合。 2.讨论点的位置,一定要看清点所在的范围,是在直线上,还是在射线或者线段上。 3.图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题,对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论。 4.代数式变形中如果有绝对值、平方时,里面的数开出来要注意正负号的取舍。 5.考查点的取值情况或范围。 这部分多是考查自变量的取值范围的分类,解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围。 6.函数题目中如果说函数图象与坐标轴有交点,那么一定要讨论这个交点是和哪一个坐标轴的哪一半轴的交点。 7.由动点问题引出的函数关系,当运动方式改变后比如从一条线段移动到另一条线段是,所写的函数应该进行分段讨论。 由于考试题目千变万化,上面所列的项目不一定全面,所以还需要同学们在平时做题的时候多多积累。 考点3: 在实际应用中代数分类讨论问题 【巩固练习】 1.两个不相等的无理数,它们的乘积为有理数,这两个数可以是. 2.已知α、β是方程x2+x+a=0的两个实数根。 求a的取值范围;⑵试用a表示|α|+|β|。 3.当m是什么整数时,关于x的方程: x2-2(m+1)x+m2+2=0,与方程⑵: x2+(2m-3)x+m2-7=0的根都是整数? 4.已知直线y=-x+8和双曲线 。 ⑴k满足什么条件时,这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点? ⑵设⑴中的两个交点为A、B,试比较∠AOB的度数与90°的大小。 5.已知抛物线y= -5mx+4m2(m为常数). (1)求证: 此抛物线与x轴一定有交点; (2)是否存在正数m,使已知抛物线与x轴两个交点的距离等于 ? 若存在,求出m的值;若不存在,说明理由. 6.某市在道路改造过程中,需要铺设一条长为1000米的管道,决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米,且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同. (1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米? (2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天,那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种? 请你帮助设计出来. 【达标演练】 1.已知α、β是方程x2+x+a=0的两个实数根。 求a的取值范围;⑵试用a表示|α|+|β|。 2.一次函数 的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点,点C(a,0)(a<0)使△ABC为等腰三角形,求经过B、C两点的一次函数的解析式。 3.已知矩形的长大于宽的2倍,周长为12,从它的一个顶点作一条射线,将矩形分成一个三角形和一个梯形,且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于 ,设梯形的面积为S,梯形中较短的底的长为x,试写出S与x的函数关系式,并求出自变量x的取值范围。 4.已知抛物线y= -5mx+4m2(m为常数). (1)求证: 此抛物线与x轴一定有交点; (2)是否存在正数m,使已知抛物线与x轴两个交点的距离等于 ? 若存在,求出m的值;若不存在,说明理由. 5.在直角
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