A.原点在圆上B.原点在圆外
C.原点在圆内D.不确定
7.已知底面边长为1,侧棱长为
的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()
A.
B.
C.
D.
8.一几何体的直观图如右图,下列给出的四个俯视图中正确的是()
9.设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长,则直线xsinA+ay+c=0与bx﹣ysinB+sinC=0的位置关系是( )
A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直
10.若圆O:
x2+y2=4与圆C:
x2+y2+4x-4y+4=0关于直线l对称,则直线l的方程是( )
A.x+y=0B.x-y=0
C.x-y+2=0D.x+y+2=0
11.[2014·武汉调研]直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( )
A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0
C.2x+y-3=0D.x+2y-3=0
12.[2014·东北三校联考]经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为
,则y=( )
A.-1B.-3C.0D.2
第II卷(非选择题)
二、填空题(4小题,共20分)
13.已知三棱锥
的所有棱长都相等,现沿
三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为
,则三棱锥
的内切球的表面积为.
14.已知
,则
的最大值为.
15.如图所示,在半径为
的⊙O中,弦AB,CD相交于点P.PA=PB=2,PD=1,则圆心O到弦CD的距离为________.
16.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是________.
三、解答题(8小题,共70分)
17.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形,∠ABC=60°,PA⊥底面ABCD,E,F分别是BC,PC的中点,点H在PD上,且EH⊥PD,PA=AB=2.
(1)求证:
EH∥平面PBA;
(2)求三棱锥P﹣AFH的体积.
18.如图,已知一四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,且侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2,E是侧棱PC上的动点
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)证明:
BD⊥AE。
(3)求二面角P-BD-C的正切值。
19.如图,四棱锥
中,
是正三角形,四边形
是矩形,且平面
平面
,
,
.
(1)若点
是
的中点,求证:
平面
(2)若
是线段
的中点,求三棱锥
的体积.
20.如图所示,四棱锥
中,底面
是边长为
的正方形,侧棱
底面
,且
,
是
的中点.
(1)证明:
平面
;
(2)求三棱锥
的体积.
21.如图,平面
平面
,四边形
为矩形,
.
为
的中点,
.
(1)求证:
;
(2)若
时,求二面角
的余弦值.
22.已知圆C:
x2+(y-1)2=5,直线l:
mx-y+1-m=0,且直线l与圆C交于A、B两点.
(1)若|AB|=
,求直线l的倾斜角;
(2)若点P(1,1)满足2
=
,求此时直线l的方程.
23.已知圆C:
x2+(y-2)2=5,直线l:
mx-y+1=0.
(1)求证:
对m∈R,直线l与圆C总有两个不同交点;
(2)若圆C与直线l相交于A,B两点,求弦AB的中点M的轨迹方程.
24.已知直线l:
2x+y+2=0及圆C:
x2+y2=2y.
(1)求垂直于直线l且与圆C相切的直线l′的方程;
(2)过直线l上的动点P作圆C的一条切线,设切点为T,求|PT|的最小值.
参考答案
1.C
【解析】设圆心C的坐标是(t,
).
∵圆C过坐标原点,∴|OC|2=t2+
,
设圆C的方程是
(x-t)2+(y-
)2=t2+
.
令x=0,得y1=0,y2=
,
故B点的坐标为(0,
).
令y=0,得x1=0,x2=2t,
故A点的坐标为(2t,0),
∴S△OAB=
|OA|·|OB|=
×|
|×|2t|=4,即△OAB的面积为4.故选C.
2.D
【解析】设圆心为C,当CM⊥l时,圆截l的弦最短,其所对的劣弧最短,又kCM=-2,∴kl=
.
∴直线l的方程为y-2=
(x-1),即x-2y+3=0.
3.B
【解析】作图可知圆心(1,0)到P点距离为
,所以P在以(1,0)为圆心,以
为半径长的圆上,其轨迹方程为(x-1)2+y2=2.
4.A
【解析】设圆心坐标为(a,b),由题意知a>0,且b=1.又∵圆和直线4x-3y=0相切,
∴
=1,即|4a-3|=5,∵a>0,
∴a=2.
所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
5.C
【解析】圆上存在关于直线x-y+3=0对称的两点,则x-y+3=0过圆心(-
,0),即-
+3=0,∴m=6.
6.B
【解析】将原点代入x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=(a-1)2>0,所以原点在圆外.
7.D
【解析】
试题分析:
根据正四棱柱的几何特征得:
该球的直径为正四棱柱的体对角线,故
,即得
,所以该球的体积
,故选D.
考点:
正四棱柱的几何特征;球的体积.
8.B
【解析】
试题分析:
俯视图为几何体在底面上的投影,应为B中图形.
考点:
三视图
9.A
【解析】
试题分析:
两直线的斜率分别为
和
,
△ABC中,由正弦定理得
=2R,R为三角形的外接圆半径,
∴斜率之积等于
,故两直线垂直,
故选A.
考点:
直线的一般式方程与直线的垂直关系.
10.C
【解析】圆x2+y2+4x-4y+4=0,即(x+2)2+(y-2)2=4,圆心C的坐标为(-2,2).直线l过OC的中点(-1,1),且垂直于直线OC,易知kOC=-1,故直线l的斜率为1,直线l的方程为y-1=x+1,即x-y+2=0.故选C.
11.D
【解析】设直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线为l2,则l2的斜率为-
,且过直线x-2y+1=0与x=1的交点(1,1),则l2的方程为y-1=-
(x-1),即x+2y-3=0.
12.B
【解析】由
=
=y+2,
得y+2=tan
=-1.∴y=-3.
13.
【解析】
试题分析:
三棱锥
展开后为等边三角形,设边长
,则
,则
因此三棱锥
的棱长为
,三棱锥
的高
,设内切球的半径为
,
则
,
,求的表面积
.
考点:
1、空间几何体的特征;2、球的表面积.
14.
.
【解析】
试题分析:
令
,则
表示以
为圆心,半径为1的圆;
表示椭圆的下半部分;则
表示圆上的点
与曲线
上的点
距离的平方;设
,
则
,
则
,即
的最大值为
.
考点:
圆与椭圆的标准方程、两点间的距离公式.
15.
【解析】
试题分析:
如图,作
于
,连结
,由相交弦定理可得:
,又由垂径定理可得:
,∴圆心
到弦
的距离
.
考点:
圆的性质.
16.(-13,13)
【解析】圆上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,该圆半径为2,即圆心O(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离d<1,即0<
<1,∴-1317.
(1)见解析
(2)
【解析】
试题分析:
(1)根据平面ABCD是菱形推断出AD=AB,进而根据PA=AB,推断出PA=AD,利用∠B=60°判断三角形ABC为等边三角形,同时E为中点进而可推断出∠BAE=30°,进而推断出∠EAD=90°,通过PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,判断出PA⊥AE,则可判定△PAE≌△DAE,推断出PE=PD,根据EH⊥PD,推断出H为PD的中点,进而利用FH∥CD∥AB,根据线面平行的判定定理知FH∥平面PAB,根据E,F分别为BC,PC的中点推断EF∥AB,利用线面平行的判定定理推断出EF∥平面PAB,进而根据面面平行的判定定理知平面EFH∥平面PAB,最后利用面面平行的性质推断出EH∥平面PAB.
(2)根据F,H为中点,VP﹣AFH=
VP﹣ACD,则三棱锥P﹣AFH的体积可求.
(1)证明:
∵平面ABCD是菱形,
∴AD=AB,
∵PA=AB,
∴PA=AD,
∵AB=BC,∠B=60°,BE=EC,
∴∠BAE=30°,
∴∠EAD=90°,
∵PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴PA⊥AE,即∠PAE=90°,
∴△PAE≌△DAE,
∴PE=PD,
∵EH⊥PD,
∴H为PD的中点,
∵FH∥CD∥AB,
∴FH∥平面PAB,
∵E,F分别为BC,PC的中点
∴EF∥AB,
∵AB⊂平面PAB,
∴EF∥平面PAB,
∵EF∩FH=H,EF⊂平面EFH,FH⊂平面EFH,
∴平面EFH∥平面PAB,
∵EH⊂平面EFH,
∴EH∥平面PAB.
(2)∵F,H为中点,
∴VP﹣AFH=
VP﹣ACD=
•
•
•2•2•sin60°•2=
点评:
本题要考查了线面平行的判定定理,面面平行的判定定理及性质,三棱锥的体积等问题.考查了学生空间观察能力和逻辑思维的能力.
18.
(1)
;
(2)见解析;(3)
.
【解析】
试题分析:
(1)根据四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PC⊥底面ABCD,知高为PC=2.应用体积计算公式即得;
(2)连结AC,根据ABCD是正方形,得到BD⊥AC,由PC⊥底面ABCD得到BD⊥PC,推出BD⊥平面PAC;由于不论点E在何位置,都有AE
平面PAC,故得BD⊥AE;
(3)设
相交于
,连
可知
是二面角P-BD-C的的一个平面角,计算其正切即得二面角P-BD-C的正切值.
试题解析:
(1)该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,
侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.
∴
4分
(2)连结AC,∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD且
平面
∴BD⊥PC
又∵
∴BD⊥平面PAC
∵不论点E在何位置,都有AE
平面PAC
∴BD⊥AE8分
(3)设