第十二章 121推理证明算法复数.docx
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第十二章 121推理证明算法复数.docx
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第十二章121推理证明算法复数
1.概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=
为事件A出现的频率.
(2)对于给定的随机事件A,在相同条件下,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定,我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小,并把这个常数称为随机事件A的概率,记作P(A).
2.事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A=B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A+B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件(A∩B=∅),那么称事件A与事件B互斥
A∩B=∅
对立事件
若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件
P(A)+P(B)=1
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:
0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)=1.
(3)不可能事件的概率P(F)=0.
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件,则P(A)=1-P(B).
【知识拓展】
互斥事件与对立事件的区别与联系
互斥事件与对立事件都是两个事件的关系,互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生,因此,对立事件是互斥事件的特殊情况,而互斥事件未必是对立事件.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生频率与概率是相同的.( × )
(2)随机事件和随机试验是一回事.( × )
(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( √ )
(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( × )
(5)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.( √ )
(6)两互斥事件的概率和为1.( × )
1.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a,从{1,2,3}中随机选取一个数b,则b>a的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 基本事件的个数有5×3=15,其中满足b>a的有3种,所以b>a的概率为
=
.
2.(教材改编)将一枚硬币向上抛掷10次,其中“正面向上恰有5次”是( )
A.必然事件B.随机事件
C.不可能事件D.无法确定
答案 B
解析 抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0~10,都有可能发生,正面向上5次是随机事件.
3.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175](单位:
cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175cm的概率为( )
A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8
答案 B
解析 因为必然事件发生的概率是1,所以该同学的身高超过175cm的概率为1-0.2-0.5=0.3,故选B.
4.某射手在一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别为0.2,0.3,0.1,则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )
A.0.5B.0.3C.0.6D.0.9
答案 A
解析 依题设知,此射手在一次射击中不超过8环的概率为1-(0.2+0.3)=0.5.
5.(教材改编)袋中装有9个白球,2个红球,从中任取3个球,则①恰有1个红球和全是白球;②至少有1个红球和全是白球;③至少有1个红球和至少有2个白球;④至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中,是对立事件的为________.
答案 ②
解析 ①是互斥不对立的事件,②是对立事件,③④不是互斥事件.
题型一 事件关系的判断
例1
(1)从1,2,3,…,7这7个数中任取两个数,其中:
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;
②至少有一个是奇数和两个都是奇数;
③至少有一个是奇数和两个都是偶数;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中,是对立事件的是( )
A.①B.②④C.③D.①③
(2)设条件甲:
“事件A与事件B是对立事件”,结论乙:
“概率满足P(A)+P(B)=1”,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
(3)在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是
,那么概率是
的事件是( )
A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡
答案
(1)C
(2)A (3)A
解析
(1)③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”,而从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件:
“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”,故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件,易知其余都不是对立事件.
(2)若事件A与事件B是对立事件,则A∪B为必然事件,再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1.设掷一枚硬币3次,事件A:
“至少出现一次正面”,事件B:
“3次出现正面”,则P(A)=
,P(B)=
,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件.
(3)至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”,“两张全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件.
思维升华
(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念
①互斥事件是不可能同时发生的事件,但可以同时不发生.
②对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生.
(2)判断互斥、对立事件的方法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.
从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球,以下给出了四组事件:
①至少有1个白球与至少有1个黄球;
②至少有1个黄球与都是黄球;
③恰有1个白球与恰有1个黄球;
④恰有1个白球与都是黄球.
其中互斥而不对立的事件共有( )
A.0组B.1组C.2组D.3组
答案 B
解析 ①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生,如恰好1个白球和1个黄球,①中的两个事件不是互斥事件.②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球,则两个事件不互斥.③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”,都是指有1个白球和1个黄球,因此两个事件是同一事件.④中两事件不能同时发生,也可能都不发生,因此两事件是互斥事件,但不是对立事件,故选B.
题型二 随机事件的频率与概率
例2 (2016·全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位:
元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件:
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
(2)记B为事件:
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度的平均保费的估计值.
解
(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为
=0.55,故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为
=0.3,故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.
因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.
思维升华
(1)概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率作为随机事件概率的估计值.
(2)随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.
(2015·北京)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?
解
(1)从统计表可以看出,在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,
所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为
=0.2.
(2)从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.
所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为
=0.3.
(3)与
(1)同理,可得:
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为
=0.2,
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为
=0.6,
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为
=0.1.
所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.
题型三 互斥事件、对立事件的概率
命题点1 互斥事件的概率
例3 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是
,得到黑球或黄球的概率是
,得到黄球或绿球的概率也是
,试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少?
解 方法一 从袋中选取一个球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A,B,C,D,则有
P(A)=
,P(B∪C)=P(B)+P(C)=
,
P(C∪D)=P(C)+P(D)=
,P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-
=
,解得P(B)=
,P(C)=
,P(D)=
,因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是
,
,
.
方法二 设红球有n个,则
=
,所以n=4,即红球有4个.
又得到黑球或黄球的概率是
,所以黑球和黄球共5个.
又总球数是12,所以绿球有12-4-5=3(个).
又
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