证明三点共线问题法.docx
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证明三点共线问题法
证明三点共线问题的方式
一、利用梅涅劳斯定理的逆定理
例一、如图1,圆内接MBC为不等边三角形,过点A、B、C别离作圆的切
线依次交直线EC、CA、AE于灯、B'、求证:
A、O三点共线。
由梅涅劳斯定理的逆定理,知A、B'、L三点共线。
2、利用四点共圆(在圆内,主要由角相等或互补取得共线)
例2、如图,以锐角"EC的一边BC为直径作0(),过点A作0()的两条切线,切点为M、N,点H是AABC的垂心.求证:
M、H、N三点共线。
(1996年中国奥数)
证明:
射线AH交BC于D,显然AD为高。
咎
记AE与0()的交点为E,易知C、H、E三点共线。
//—
联结OM、()N、DM.ON.MH、NH,
易知ZAMO=ZANO=AADO=90°,
・・・A、M.C)、D、N五点共圆,
更有入M.D、N四点共圆,
此时,ZAMD+ZAND=18(Y)
AM2=AE-AB=AH■AD(E、D、H、E四点共圆),
AD
即——=——;又=ADAM,
AHAM
所以AAMH-AADM,故ZAHM=ZAMD
同理,ZAHN=ZAND。
因为ZAHM+ZAHN=ZAMD+ZAND=180°,
所以,M、H、N三点共线。
3、利用面积法
若是沐曰使=*旳jw点已、F位于直线MN的异侧,则直线MN平分线段
EF,即M、N与EF的中点三点共线。
例3.如图,延长凸四边形ABCP的边AB、DC交于点E,延长边AD、BC交于点F,又M、N、L别离是AC、BD、EF的中点,求证:
M、N、L三点共线。
E
证明:
设BC的中点为0,辅助线如图所示,
由OM//AE.ON〃DE可知,点、0必在AEMN内,此时,
S\EMN=SSOMN+S\OME+S\ONE
—Sgwv+SgMB+SgNC=S^BMN
=y(孔BMD+S^BCD)=y(孔BMC+SDMC)=j•亍($1ABC+SADC)_'四边J^ABCD同理,S列N=tS四边形AB8。
因此S曲JN=*MN
此时,直线MN平分EF,即M、N、L三点共线。
4、利用同一法
虽然同一法是一种间接证法,但它却是一各很有效的证法,观察例4后,你
会感到,同一法在证明三点共线问题时,也有其用武之地。
例4.如图4(d),凸四边形ABCD的四边皆与©0相切,切点别离为P、M、Q、
N,设PQ与MN交于S,证明:
A、S、C三点共线。
证明:
如图4(b),令PQ与AC交于S',
易证ZAPS/^ZCQS/互补。
而ZAS(P=ZCSI(Q,则
ASf_sinZAPS7_sinZCQS;_SfCAP一sinZASfP一sinZCSfQ一~CQ
故筹吩。
再令心兀交于贰同理可得需二需
因此,AS,=ASJ可判定厂与S〃必重合于点S,故A、S、C三点共线。
注:
观察图形,还可证得B、S、D三点共线;
换言之,AC、BD、PQ、MN四线共点。
五、利用位似形的性质
若是A4BC与zVTBC是两个位似三角形,点0为位似中心,那么不仅A、A/、
0;B、B"、0;C、C\0别离三点共线,而且AA3C、WC的两个对应点与
位似中心0也三点共线,位似形的这种性质,对于证明三点共线,很是有效。
例五、如图,WC内部的三个等圆©02、©6两两相交且都通过点
P,其中每两个圆都与AA8C的一边相切,已知0、I别离是AABC的外心、心里,证明:
I、P、0三点共线。
证明:
联结002、003、。
2。
3。
由已知得
O\O』AB、OQJBC、OQ/CA。
可判定A4BC与gOO是一对位似三角形,
且易知AABC的心里I是二者的位似中心。
因为00,.00、为等圆,即PO\=PO?
=PO、,
所以点卩是厶OQO的外心。
乂点0是AABC的外心,故P、0两点是两个位似三角形的对应点,利用位似形的性质,即得I、P、0三点共线。
6.利用反证法
有的儿何题利用直接证法很难,而用反证法却能很快达到预期LI的。
DCRP?
P\P\P?
P\R、P2/>aPXEX丄BCE}P2E2丄BCE2丄ADRP2F2丄AD
F2P}P2PlEl+P]Fl=P2E2+P2F2P\P?
P\PP'F?
P2PRdPlEl-P2E2=P2F2-PiF}
PxH=P2G\PRP?
PlH=P2GAPRRZPRP]=ZPRR
乙DMN=ZPP\P’=ZPP》P\=ZCNMP,RP》P、PRPRMlN'N'P、P,
ZDM'N'=ZCNM/DM,N‘>ZDMN=ZCNM>ZCNMP3P}P2PxP2P.
APAB〜APCD,MFC〜APBF,HPDE〜APEA
ABFCDEPAPCPE
——•——・——=——・一・——=1AB・FC・DE=BF・CD・EAMBCAB>BC>CACDBFEAPCPFPA
NBPA,BY明:
P、K、L三点共线。
(提示:
设第一组垂线的垂足为M、N,第二组垂线的垂足为X、Y,寻证MNAKMVALXYZA+ZB=120°AACP、NBQD.氐CDRK!
K'D,E别离为内切圆I与边BC,CA的切点,求证:
三点D,H,E共线.
解法一:
四点共圆法
■
连接Al,DI,EbEH,DH
VZAEI=ZAHI=90°AA,I,E,H四点共圆.\ZIEH=ZIAH,乂TIE二IDAZIEH=ZIAH=ZIDH乂TZIBD+ZBID二90°,BI平分ZABC
AZABI+ZIHD+ZIDH=90°,ZABI+ZBAI+ZIAH=90°•••ZIHD=ZBAI=ZIAE,AD,H,E共线
解法三:
三角形心里性质(同一法)
连接DE,EH,AbEI
VA,I,H,E四点共圆,AZAIB=AEH,
乂TI为Z\ABC的心里,AZAIB=ZAEH=90°+ZC/2,
乂TCD二CE・・・ZDEC二90°・ZC/2,
AZDEC+AEH=90°•'•H在DE±AD,H,E共线
解法四:
利用梅涅劳斯定理逆定理
连接DH,EH,延长BH交AC于G,过G作GK〃BC,交EH于K,若BD/DC*CE/EG*GH/HB=1,即可证D,H,E共线;
要证BD/DC*CE/EG*GH/HB=1VDC=CE
即证BD/EG二BH/GH,即证BD/BH二EG/GH
•・・GK〃BC,ACED为等腰三角形AEGK也为等腰三角形AEOKG
乂・・•△KGHs△DBH・•・BD/BH二KG/GH
・•・BD/BH二EG/GH;AD,H,E共线
2.如图,在菱形ABCD中,ZA=120°,00为AABC的外接圆,M为菱形外一点,连接MC交AB于E,AM交BC的延长线.
求证:
点M在。
0上U〉点D,E,F共线
解法一:
三角形相似
连接AC,DF,DE
TM在00上,AZ^iC=ZAB(=ZACB=eOQ
・•・AAMC^AACF;・・・MC/MA二CF/CA二CF/CD;乂TZAMC二ZBAC,AAAMC^AEAC,
・•・MC/MA二AC/AE二AD/AE,CE/CD二AD/AE;
又VZBAD=ZBCD=120°,AACFD^AADE,AZADE=ZDFBoVAD/7BC,・・・ZADF二ZDFB二ZADE;AF,E,D三点共线。
解法二:
利用梅涅劳斯定理逆定理
连接AC,MB,EF,EDo在ZUBC中,若能取得:
AN/NC*CF/FB*BE/AE二1那么F,E,D三点共线。
X•・•ANCD^ANAE二AN/CN二AE/CD二AE/AB
・•・只需证CF/AB*BE/BF二1
乂•・•AABM^AAFBBM/BF二AB/AF①
AABF^ACMF・・.BF/MF二AF/CF②
山①*②得:
BM/MF二AB/CF,二只需证MF/BM*BE/BF=1即证BE/BM二BF/MF
乂VA,C,B,M四点共圆,・•・ZFMB二ZACB二ZBAC二ZBMC二60°
乂IZEBM二ZBFMANffiEsANIFB
•••BE/BM二BF/MFAF,E,D三点共线。
3.如图,0,H别离是锐角AABC的外心和垂心,D是BC边的中点,山H向ZA及其外角平分线作线,垂足别离是E,F.求证:
三点D,E,F共线。
连接0D并延长交。
0于M,连接FE,AH相交于G,连接DE,0A
TD为BC中点,AE为ZBAC平分线,・・.AE延长必过M,即A,E,M共线•・•四边形AEHF为矩形,・•・AOEG
乂V0A=0M,H为ZkABC垂心AAH/ZOM
・•・ZEAG=ZOMA・•・ZAEG二OAMZ.EG//AO
乂•・•垂心到三角形一极点距离等于此三角形外心到此极点对边距离的2倍。
・・・AH=20D・・・0D=AG
又・・•已证AG〃OD,・•・四边形AGDO为平行四边形,ADG^OA
・••点D,E,F共线
证点共线问题
1.自圆上一点引三弦,并以它们各为直径画圆。
求证:
所画三圆的其他三交点共线。
(SalmonP定理)证:
设三交点为x、y、z,连Px、Pz、xy、yz,则Z1二Z二Z3=Z4,
乂不难证得:
X、A、B共线;
(TZPxA二90°、ZPxB二90°。
)
A、y、C共线;B、z、C共线。
.\Z5=Z6O
又Z2+Z5二90°、Z4+Z6二90°,
AZ2=Z4,即Zl=Z3o
•:
x、y、z共线。
2•—直线截三边BC、CA、AB或其延长线于X、Y、Z。
试证:
这三点的等截点X'、厂、Z,共线。
(在三角形任一边所在直线上设有两点与此边中点等
距离,则称这两点互为等截点)
证:
VX>Y、Z共线
••罟•挣薯1(梅涅劳定理)
XB7AYC
注:
•••XB二X'C、X'B二XC、Z'B二ZA、Z'A二ZB、厂A二YC、厂C二YA。
•••据梅涅劳定理得JT、厂、Z,共线。
3.三角形的外角平分线各与对边(所在直线)的交点共线。
已知:
AABC的ZA.ZB、ZC的外角平分线别离交对边(所在直线)于X、Y、Zo求证:
X、Y、Z共线。
证:
据三角形的外角平分线定理得:
兰=竺①
XBAB
空=竺②
ZAAC
空③
XC
ZB
YA
AC
BC
AB
Z4
YC
AB
AC
BC
YCBC
①X②X③得:
乂据梅涅劳定理可知:
X、Y、Z共线。
4•三角形两角的平分线及第三角的外角平分线各与对边(所在直线)的交点共线。
已知:
AABC的ZA、ZB的平分线交对边于X.Y,ZC的外角平分线交对边
所在直线于Z。
求证:
X、Y.Z共线。
证:
据三角形的内角平分线和外角平分线定理得:
XBAB
XCACYCBC
YAAB
ZAAC
ZBBC
①X②X③得:
XBYCZAAB
A
XCYAZBAC
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- 证明 共线 问题