多面体欧拉定理发现教案.docx
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多面体欧拉定理发现教案
多面体欧拉定理的发现
(1)
齐鲁石化五中翟慎佳
2003.3
【目的与要求】
1.理解简单多面体的定义
2.理解并熟记欧拉公式
3.会运用欧拉公式及相关知识进行计算及推理
【教学思路】
正多面体5种→认识欧拉
→拓扑变形→简单多面体概念
→研究正多面体V、F、E的关系
→欧拉定理→证明
→欧拉定理的意义
【教学过程】
1.
(1)什么叫正多面体?
特征?
正多面体是一种特殊的凸多面体,它包括两个特征:
①每个面都是有相同边数的正多边形;②每个顶点都有相同数目的棱数。
(2)正多面体有哪几种?
展示5种正多面体的模型。
为什么只有5种正多面体?
着名数学家欧拉进行了研究,发现了多面体的顶点数、面数、棱数间的关系。
2.介绍数学家欧拉
欧拉(1707~1783)瑞士数学家,大部分时间在俄国和法国度过。
他16岁获硕士学位,早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学,并毕生研究数学,是数学史上最“高产”的数学家,在世发表700多篇论文。
他的研究论着几涉及到所有数学分支,有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。
欧拉还是数学符号发明者,如用f(x)表示函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。
在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式,今天我们沿着他的足迹探索这个公式。
3.通过模型研究正多面体V、F、E的关系
正多面体
顶点数Vertex
面数Face
棱数Edge
V+F-E
正四面体
4
4
6
2
正六面体
8
6
12
2
正八面体
6
8
12
2
正十二面体
20
12
30
2
正二十面体
12
20
30
2
发现关系:
V+F-E=2。
是不是所有多面体都有这样的关系呢?
如何去研究呢?
需要观念和方法上的创新。
4.多面体拓扑变形与简单多面体的概念
考虑一个多面体,例如正六面体,假定它的面是用橡胶薄膜做成的,如果充以气体,那么它会连续(不破裂)变形,最后可变成一个球面。
像这样,表面经过连续变形可变为球面的多面体,叫做简单多面体。
5.欧拉定理
定理简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系
V+F-E=2
公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律
AB
DAD
B
CC
BB
ADAD
CC
BB
ADAD
C
B
A
6.定理的证明
分析:
以四面体ABCD为例。
将它的一个面BCD去掉,再使它变为平面图形,四面体的顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变(这里F1=F-1)。
因此,要研究V、E和F的关系,只要去掉一个面,将它变形为平面图形即可。
只需平面图形证明:
V+F1-E=1
(1)去掉一条棱,就减少一个面,V+F1-E的值不变。
例如去掉BC,就减少一个面ABC。
同理,去掉棱CD、BD,也就各减少一个面ACD、ABD,由于V、F1-E的值都不变,因此V+F1-E的值不变
(2)再从剩下的树枝形中,去掉一条棱,就减少一个顶点,V+F1-E的值不变。
例如去掉CA,就减少一个顶点C。
同理去AD就减少一个顶点D,最后剩下AB。
在以上变化过程中,V+F1-E的值不变,
V+F1-E=2-0-1=1,
所以V+F-E=V+F1-E+1=2。
对任意的简单多面体,运用这样的方法,都是只剩下一条线段。
公式对任意简单多面体都是正确的。
7.定理的意义(几点说明)
(1)数学规律:
公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律;
(2)思想方法创新训练:
在定理的发现及证明过程中,在观念上,假设它的表面是橡皮薄膜制成的,可随意拉伸;在方法上将底面剪掉,然后其余各面拉开铺平,化为平面图形(立体图→平面图)。
(3)引入拓扑新学科:
“拉开图”与以前的展开图是不同的,从立体图到拉开图,各面的形状,以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化,而顶点数,面数,棱数等不变。
事实上,定理在引导大家进入一个新几何学领域:
拓扑学。
我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料(如橡皮波)做成的图形,拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。
(4)给出多面体分类方法:
在欧拉公式中,令
f(p)叫做欧拉示性数。
定理告诉我们,简单多面体的欧拉示性数f(p)=2。
除简单多面体外,还有不是简单多面体的多面体。
例如,将长方体挖去一个洞,连结底面相应顶点得到的多面体。
它的表面不能经过连续变形变为一个球面,而能变为一个环面,它的欧拉示性数为f(p)=16+16-32=0,
所以带一个洞的多面体的欧拉示性数等于零。
(5)利用欧拉定理可解决实际问题
例1.一个简单多面体的棱数可能是6吗?
分析:
设有简单多面体棱数E=6,
由欧拉公式V+F-E=2得V+F=8
又V≥4,F≥4,所以V+F≥8
所以V=4、F=4,即有4个顶点、4个面。
由于四面体有且只有4个顶点,从面有且只有4个面。
所以符合条件的多面体只有一种类型:
四面体即三棱锥。
例2.有一个各面都是三角形的正多面体,设顶点数V、面数F、棱数E,
(1)求证:
,
(2)如果过各顶点的棱数都相等,则此多面体是几面体?
(1)证明:
因为此正多面体有F个面,每个面有3条边,所以F个面总共有3F条边,但由于各棱是两个面的交线且被计算过两次,所以实际棱数为
;
由欧拉公式V+F-E=2得V=E-F+2=
-F+2=
+2。
(2)解:
设各顶点处有m条棱,则mV=2E,
又
,
,代入上式得
故6-m>0,所以m<6,?
从而
所以m=3、4、5,从而F=4、8、20
由此可知,此多面体分别为四面体、八面体和二十面体。
D1D
E1E
C1DE1D1
A1B1CC1C
A1B1
EA
ABB
图
(1)图
(2)
8.欧拉定理又一证法
如图
(1)多面体,设顶点数V,面数F,棱数E。
剪掉一个面,将其余的面拉平,使它变为平面图形,如图
(2)
我们在两个图中求所有面的内角总和Σα
一方面,在图
(1)中利用面求内角总和。
设有F个面,各面的边数分别为n1,n2,…,nF,
各面的内角总和为:
Σα=[(n1-2)·1800+(n2-2)·1800+…+(nF-2)·1800]
=(n1+n2+…+nF-2F)·1800
=(2E-2F)·1800=(E-F)·3600
(1)
另一方面,在图
(2)的拉开图中,利用顶点来求内角总和。
设剪去的一个面为n边形,其内角和为(n-2)·1800,则所有V个顶点中,有n个顶点在边上,V-n个顶点在中间。
中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600,边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。
所以,多面体所有各面的内角和为:
Σα=(V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800=(V-2)·3600.
(2)
由
(1)
(2)得
(E-F)·3600=(V-2)·3600
所以V+F-E=2.
9.教学小结
正多面体(5种)→认识欧拉
→发现正多面体V、F、E的关系(表)
→(拓扑变形)简单多面体概念
→欧拉定理(公式)
→定理的证明
→欧拉定理的意义
10.思考与练习
(1)为什么正多面体只有五种?
(2)足球与C60的关系?
(3)否有棱数为七的正多面体?
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