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最新2762动态经济学02汇总
2762-动态经济学02
〖数理经济学〗
董志勇
经济学院
第11讲动态经济学
(2)
第七节可变系数和可变项
在更一般的一阶线性微分方程中«SkipRecordIf...»(10.17)
«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»分别表示可变系数和可变项。
在这种情况下,如何求出时间路径«SkipRecordIf...»?
齐次方程的情况
对于齐次方程的情况,其中«SkipRecordIf...»,方程的解很容易求出。
因为微分方程的形式为
«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»(10.18)
两边依次对«SkipRecordIf...»积分,得到
左边=«SkipRecordIf...»(假定«SkipRecordIf...»)
右边=«SkipRecordIf...»
后一个方程难以进行进一步的积分,因为«SkipRecordIf...»未给出具体形式。
因此,我们不得不满足于一个一般积分表达式。
当方程两边相等时,结果成为:
«SkipRecordIf...»
则所求的«SkipRecordIf...»的路径可以通过求«SkipRecordIf...»的反对数得到:
«SkipRecordIf...»在此«SkipRecordIf...»(10.19)
这是微分方程(10.18)的通解。
为突出系数«SkipRecordIf...»的可变性质,我们已明确地写出了变量«SkipRecordIf...»。
但为了简化书写符号,我们从现在起省略自变量,并将«SkipRecordIf...»简化为«SkipRecordIf...»。
将不变系数模型的通解(10.18)与(10.19)相比较,(10.19)中唯一的修正是以更复杂的表达式«SkipRecordIf...»代替了«SkipRecordIf...»。
如果我们将«SkipRecordIf...»中的«SkipRecordIf...»解释成«SkipRecordIf...»(加上一个可纳入A项中的常数,因为«SkipRecordIf...»自乘常数幂仍为常数),我们可以更好地理解这种变化的合理性。
由此看来,这种差别就变成相似性了。
因为在两种情况下,我都取微分方程中«SkipRecordIf...»项的系数(在一种情况中为常数项«SkipRecordIf...»,在另一种情况中为可变项«SkipRecordIf...»)并将«SkipRecordIf...»对«SkipRecordIf...»积分,然后再取所得积分的负值作为«SkipRecordIf...»的指数。
一旦得到通解,根据适当的初始条件求得定解,便是一个相对简单的事了。
例6.求方程«SkipRecordIf...»。
这里«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...»。
因此,由(10.19),我们可以把解写成«SkipRecordIf...»在此«SkipRecordIf...»
注意,如果省去积分常数«SkipRecordIf...»,我们不会失去任何信息,因为那样我们会得到«SkipRecordIf...»,它与上式的解相同,因为A和B均表示任意常数。
换言之,指数式«SkipRecordIf...»总可以归入另一个常数A中。
非齐次方程的情况
对于非齐次方程的情况,其中«SkipRecordIf...»,解方程就有些难度了。
我们将通过后面将要讨论的恰当微分方程概念试求其解。
但在这里先给出结果:
给定微分方程(10.17),通解为
«SkipRecordIf...»(10.20)
其中A为如果均有恰当的初始条件,便可以确定的任意常数。
例7.求方程«SkipRecordIf...»的通解。
我们有«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»(«SkipRecordIf...»为任意常数),所以由(10.20),有
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»(在此«SkipRecordIf...»是任意常数)
此解的正确性也可通过微分来检验。
第八节恰当微分方程
我们现在引入恰当微分方程的概念,并运用这种解法解微分方程(10.16)以得到解的公式(10.19)。
尽管我们现在的目的是解线性微分方程,但恰当微分方程本身可以是线性的,也可以是非线性的。
恰当微分方程
给定二元函数«SkipRecordIf...»,其全微分为«SkipRecordIf...»令此微分等于零,所得到的方程«SkipRecordIf...»被称作是恰当微分方程,因为其左边恰好是«SkipRecordIf...»的微分。
一般而言,微分方程
«SkipRecordIf...»(10.20)
当且仅当存在一个函数«SkipRecordIf...»使得«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»时,便是恰当的。
然而,根据杨氏定理«SkipRecordIf...»,我们还可以表明,当且仅当«SkipRecordIf...»(10.21)
时,(10.20)是恰当的。
注意,我们对M和N项关于«SkipRecordIf...»出现的方式并未施加任何限制。
因此,恰当微分方程完全可以是非线性的。
然而,它总是一阶和一次的方程。
作为恰当方程,微分方程只是表明
«SkipRecordIf...»
因此,其通解的形式显然为
«SkipRecordIf...»
所以,解恰当微分方程基本上是求原函数«SkipRecordIf...»,并令其等于任意常数。
下面我们对方程«SkipRecordIf...»,介绍求«SkipRecordIf...»的方法。
解法
首先,因为«SkipRecordIf...»,所以函数F必定包含M对变量«SkipRecordIf...»的积分;这样,我们可以将初步结果以未确定的形式,写出如下:
«SkipRecordIf...»(10.22)
这里,偏导数M将仅对«SkipRecordIf...»积分;即«SkipRecordIf...»在积分过程中将被视为常数,正如它在«SkipRecordIf...»的偏微分从而产生«SkipRecordIf...»的过程中被视为常数一样。
因为在«SkipRecordIf...»对«SkipRecordIf...»偏微分过程中,任何仅含有变量«SkipRecordIf...»和某些常数的相加的项会消失,因此,我们在(10.22)中引入了一个一般项«SkipRecordIf...»。
尽管它并非恰好与积分常数相同,但它确实与积分常数发挥同样的作用。
得到«SkipRecordIf...»是相对容易的,但我们如何确定«SkipRecordIf...»项的确切形式呢?
诀窍在于利用«SkipRecordIf...»。
例8.解恰当微分方程«SkipRecordIf...»
在此方程中,有«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»
第一步:
由(10.22),我们可以首先写出初步结果
«SkipRecordIf...»
第二步:
对«SkipRecordIf...»偏微分,可得
«SkipRecordIf...»
但因«SkipRecordIf...»,和«SkipRecordIf...»,可得«SkipRecordIf...»
第三步:
上述结果的积分为
«SkipRecordIf...»
则我们有了«SkipRecordIf...»的具体形式。
在本例中,«SkipRecordIf...»恰好是一个常数。
在更一般的情况下,它可以是«SkipRecordIf...»的非常数函数。
第四步:
将第一步和第三步的结果结合起来可以得到
«SkipRecordIf...»
则恰当微分方程的解应为«SkipRecordIf...»。
但因常数«SkipRecordIf...»可以纳入«SkipRecordIf...»中,我们可以简单地将解写成«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»(«SkipRecordIf...»为常数)
例9.解方程«SkipRecordIf...»。
我们首先检验它是否是恰当微分方程。
令«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,可求得«SkipRecordIf...»。
因此,方程通过了恰当性检验。
为了求其解,我们仍遵循上例的步骤。
第一步:
应用(10.22)并写成
«SkipRecordIf...»
第二步:
将此结果对«SkipRecordIf...»微分,可得
«SkipRecordIf...»
则令其等于«SkipRecordIf...»,可得
«SkipRecordIf...»
第三步:
将最后结果积分得到
«SkipRecordIf...»(常数可以省略)
第四步:
将第一步和第三步的结果合并,以得到«SkipRecordIf...»的完备形式:
«SkipRecordIf...»
这意味着给定微分方程的解为«SkipRecordIf...»
这四个步骤可以用于解任何恰当微分方程。
有意思的是,甚至当给定方程不是恰当的时候,也可以应用这四个步骤。
但要看到这一点,我们必须首先引入积分因子这个概念。
积分因子
有时,将微分方程的每一项都乘以一个特定的公因子,非恰当的微分方程也可以成为恰当微分方程。
这样的因子称作积分因子。
例10.微分方程«SkipRecordIf...»不是恰当的,因为它不满足(10.21):
«SkipRecordIf...»
但是,如果将给定方程的每项均乘以«SkipRecordIf...»,它便成为(10.19),从而成为恰当微分方程。
因此,«SkipRecordIf...»是本例给出的微分方程的积分因子。
一阶线性微分方程的解
一般的一阶线性微分方程«SkipRecordIf...»按(10.20)的形式,可以表示为
«SkipRecordIf...»(10.23)
具有积分因子«SkipRecordIf...»
这个形式非常不直观的积分因子可以通过如下办法“发现”:
令I为尚属未知的积分因子。
以I通乘(10.23)可以将其变为恰当微分方程:
«SkipRecordIf...»(10.23’)
正合性检验表明«SkipRecordIf...»。
观察M和N的表达式可知,因为M仅由I构成,且因«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»仅是«SkipRecordIf...»的函数,所以,如果I也只是«SkipRecordIf...»的函数,正合性检验将简化为非常简单的条件。
那时,检验变成«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»
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