中考数学折叠专项训练试题含答案.docx
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中考数学折叠专项训练试题含答案
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中考数学折叠专项训练试题附参考答案
一.选择题(共 9 小题)
1.(2013•贵港)如图,在矩形ABCD 中,点 E 是 AD 的中点,∠EBC 的平分线交 CD 于点
F
DEF 沿 EF 折叠,点 D 恰好落在 BE 上 M 点处,延长 BC、EF 交于点 N.有下列四
个结论:
①DF=CF;②BF⊥EN;③△ BEN 是等边三角形;④
BEF=3S△ DEF.其中,将
正确结论的序号全部选对的是()
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④
考点:
翻折变换(折叠问题);等边三角形的判定;矩形的性质.
专题:
压轴题.
分析:
由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质,可证得 CF=FM=DF;
易求得∠BFE=∠BFN,则可得 BF⊥EN;
易证得△ BEN 是等腰三角形,但无法判定是等边三角形;
易求得 BM=2EM=2DE,即可得 EB=3EM,根据等高三角形的面积比等于对应底的比,
即可求得答案.
解答:
解:
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠D=∠BCD=90°,DF=MF,
由折叠的性质可得:
∠EMF=∠D=90°,
即 FM⊥BE,CF⊥BC,
∵BF 平分∠EBC,
∴CF=MF,
∴DF=CF;故①正确;
∵∠BFM=90°﹣∠EBF,∠BFC=90°﹣∠CBF,
∴∠BFM=∠BFC,
∵∠MFE=∠DFE=∠CFN,
∴∠BFE=∠BFN,
∵∠BFE+∠BFN=180°,
∴∠BFE=90°,
即 BF⊥EN,故②正确;
DEF
CNF 中,
,
∴△DEF≌△CNF(ASA),
∴EF=FN,
∴BE=BN,
但无法求得△ BEN 各角的度数,
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∴△BEN 不一定是等边三角形;故③错误;
∵∠BFM=∠BFC,BM⊥FM,BC⊥CF,
∴BM=BC=AD=2DE=2EM,
∴BE=3EM,
∴
BEF=3S△ EMF=3S△ DEF;
故④正确.
故选 B.
点评:
此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性
质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
2.如图,将矩形ABCD 的一个角翻折,使得点 D 恰好落在 BC 边上的点 G 处,折痕为 EF,
若 EB 为∠AEG 的平分线,EF 和 BC 的延长线交于点 H.下列结论中:
①∠BEF=90°;②DE=CH;③BE=EF;
④△ BEG
HEG 的面积相等;
⑤若,则.
以上命题,正确的有()
A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个
考点:
翻折变换(折叠问题).
专题:
压轴题.
分析:
①根据平角的定义,折叠的性质和角平分线的性质即可作出判断;
②根据折叠的性质和等腰三角形的性质可知 DE≠CH;
③无法证明 BE=EF;
④根据角平分线的性质,等腰三角形的性质和三角形中线的性质可得△ BEG 和
△ HEG 的面积相等;
⑤过 E 点作 EK⊥BC,垂足为 K.在
EKG 中利用勾股定理可即可作出判断.
解答:
解:
①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF,∵EB 为∠AEG 的平分线,
∴∠AEB=∠GEB,∵∠AED=180°,∴∠BEF=90°,故正确;
②
EDF∽△HCF,DF>CF,故 DE≠CH,故错误;
③只可证△ EDF∽△BAE,无法证明 BE=EF,故错误;
④
GEB,△ GEH 是等腰三角形,则 G 是 BH 边的中线,∴△BEG
HEG
的面积相等,故正确;
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⑤过 E 点作 EK⊥BC,垂足为 K.设 BK=x,AB=y,则有 y2+(2y﹣2x)2=(2y﹣x)
,
故正确的有 3 个.
故选 B.
点评:
本题考查了翻折变换,解答过程中涉及了矩形的性质、勾股定理,属于综合性题目,
解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等,然后分别判断
每个结论,难度较大,注意细心判断.
(E
3. 2012•遵义)如图,矩形 ABCD 中, 是 AD 的中点,将△ ABE 沿 BE 折叠后得到△ GBE,
延长 BG 交 CD 于 F 点,若 CF=1,FD=2,则 BC 的长为()
A.3
B.2
C.2
D.2
考点:
翻折变换(折叠问题).
专题:
压轴题.
分析:
首先过点 E 作 EM⊥BC 于 M,交 BF 于 N,易证得△ ENG≌△BNM(AAS),MN 是
△ BCF 的中位线,根据全等三角形的性质,即可求得GN=MN,由折叠的性质,可得
BG=3,继而求得 BF 的值,又由勾股定理,即可求得 BC 的长.
解答:
解:
过点 E 作 EM⊥BC 于 M,交 BF 于 N,
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠A=∠ABC=90°,AD=BC,
∵∠EMB=90°,
∴四边形 ABME 是矩形,
∴AE=BM,
由折叠的性质得:
AE=GE,∠EGN=∠A=90°,
∴EG=BM,
∵∠ENG=∠BNM,
∴△ENG≌△BNM(AAS),
∴NG=NM,
∴CM=DE,
∵E 是 AD 的中点,
∴AE=ED=BM=CM,
∵EM∥CD,
∴BN:
NF=BM:
CM,
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∴BN=NF,
∴NM= CF= ,
∴NG= ,
∵BG=AB=CD=CF+DF=3,
∴BN=BG﹣NG=3﹣ = ,
∴BF=2BN=5,
∴BC=
故选 B.
= =2 .
点评:
此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的
判定与性质.此题难度适中,注意辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
4.如图,两个正方形 ABCD 和 AEFG 共顶点 A,连 BE,DG,CF,AE,BG,K,M 分别
为 DG 和 CF 的中点,KA 的延长线交 BE 于 H,MN⊥BE 于 N.则下列结论:
①BG=DE
且 BG⊥DE;
ADG 和△ ABE 的面积相等;③BN=EN,④四边形 AKMN 为平行四边
形.其中正确的是()
A.③④
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
考点:
正方形的性质;全等三角形的判定;平行四边形的判定.
专题:
证明题.
分析:
充分利用三角形的全等,正方形的性质,平行四边形的性质依次判断所给选项的正误
即可.
解答:
解:
由两个正方形的性质易证△ AED≌△AGB,
∴BG=DE,∠ADE=∠ABG,
∴可得 BG 与 DE 相交的角为 90°,
∴BG⊥DE.①正确;
如图,延长 AK,使 AK=KQ,连接 DQ、QG,
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∴四边形 ADQG 是平行四边形;
作 CW⊥BE 于点 W,FJ⊥BE 于点 J,
∴四边形 CWJF 是直角梯形;
∵AB=DA,AE=DQ,∠BAE=∠ADQ,
∴△ABE≌△DAQ,
∴∠ABE=∠DAQ,
∴∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°.
∴△ABH 是直角三角形.
易证:
△ CWB≌△BHA
EJF≌△AHE;
∴WB=AH,AH=EJ,
∴WB=EJ,
又 WN=NJ,
∴WN﹣WB=NJ﹣EJ,
∴BN=NE,③正确;
∵MN 是梯形 WGFC 的中位线,WB=BE=BH+HE,
∴MN= (CW+FJ)= WC= (BH+HE)= BE;
易证:
△ ABE≌△DAQ(SAS),∴AK= AQ= BE,
∴MN∥AK 且 MN=AK;
四边形 AKMN 为平行四边形,④正确.
ABE
ADQ
ADG= S ADQG,②正确.
所以,①②③④都正确;
故选 D.
点评:
当出现两个正方形时,一般应出现全等三角形.图形较复杂,选项较多时,应用排除
法求解.
,,
5.(2012•资阳)如图,在△ ABC 中,∠C=90°
ABC 沿直线 MN 翻折后,顶点 C 恰好
落在 AB 边上的点 D 处,已知 MN∥AB MC=6 NC=,则四边形 MABN 的面积是()
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A.B.C.D.
考点:
翻折变换(折叠问题).
专题:
压轴题.
分析:
首先连接 CD,交 MN 于 E,由将△ ABC 沿直线 MN 翻折后,顶点 C 恰好落在 AB 边
上的点 D 处,即可得 MN⊥CD,且 CE=DE,又由 MN∥AB,易得△ CMN∽△CAB,
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,相似三角形对应高的比等于相似比,即
可得,又由 MC=6,NC=,即可求得四边形 MABN 的面积.
解答:
解:
连接 CD,交 MN 于 E,
ABC 沿直线 MN 翻折后,顶点 C 恰好落在 AB 边上的点 D 处,
∴MN⊥CD,且 CE=DE,
∴CD=2CE,
∵MN∥AB,
∴CD⊥AB,
∴△CMN∽△CAB,
∴,
CMN 中,∠C=90°,MC=6,NC=
∴
CMN= CM•CN= ×6×2=6,
∴
CAB=4S△ CMN=4×6=24,
∴S 四边形ABN
CAB﹣
CMN=24﹣6
故选 C.
,
=18 .
点评:
此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质.此题难度
适中,解此题的关键是注意折叠中的对应关系,注意数形结合思想的应用.
6.如图,D
ABC 的 AC 边上一点,AB=AC,BD=BC
BCD 沿 BD 折叠,顶点 C
恰好落在 AB 边的 C′处,则∠A′的大小是()
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A.40°
B.36°
C.32°
D.30°
考点:
翻折变换(折叠问题).
分析:
连接 C'D,根据 AB=AC,BD=BC,可得∠ABC=∠ACB=∠BDC,然后根据折叠的性
质可得∠BCD=∠BC'D,继而得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D,根据四
边形的内角和求出各角的度数,最后可求得∠A 的大小.
解答:
解:
连接 C'D,
∵AB=AC,BD=BC,
∴∠ABC=∠ACB=∠BDC,
∵△BCD 沿 BD 折叠,顶点 C 恰好落在 AB 边的 C′处,
∴∠BCD=∠BC'D,
∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D,
∵四边形 BCDC'的内角和为 360°,
∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D=
∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=36°.
故选 B.
=72°,
点评:
本题考查了折叠的性质,解答本题的关键是掌握翻折前后的对应角相等,注意本题的
突破口在于得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D,根据四边形的内角和为
360°求出每个角的度数.
7.(2012•舟山)如图,已知△ ABC 中,∠CAB=∠B=30°,AB=2,点 D 在 BC 边上,把
△ ABC 沿 AD 翻折使 AB 与 AC 重合,得△ AB′D
ABC
AB′D 重叠部分的面积为
()
A.B.C.3﹣D.
考点:
翻折变换(折叠问题).
专题:
压轴题.
分析:
首先过点 D 作 DE⊥AB′于点 E,过点 C 作 CF⊥AB
ABC 中,∠CAB=∠B=30°,
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AB=2
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