一元二次方程的概念及其解法.docx

一元二次方程的概念及其解法.docx

《一元二次方程的概念及其解法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元二次方程的概念及其解法.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

一元二次方程的概念及其解法

一元二次方程的概念及解法和讲义

知识点一：

一元二次方程的概念

⑴定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。

⑵一般表达式：

ax2bxc二0（a=0）

⑶四个特点：

（1）只含有一个未知数；

（2）且未知数次数最高次数是2；

（3）是整式方程•要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式

方程，若是，再对它进行整理•如果能整理为ax2bx0（a=0）的形式，

则这个方程就为一元二次方程.

（4）将方程化为一般形式：

ax2bx，c=0时，应满足（aM0）

例1:

下列方程①x2+1=0;®2y（3y-5）=6y2+4;③ax2+bx+c=0;④丄「5x「3=0,

x

其中是一元二次方程的有。

变式：

方程：

①2x2-1=1②2x2-5xy，y2=0③7x2T=0④—=0中一元3x2

二次程的是。

例2:

—元二次方程（13x）（^3^2x21化为一般形式为：

，

二次项系数为：

，一次项系数为：

，常数项为：

。

变式1:

一元二次方程3（x—2）2=5x—1的一般形式是，二次项系数是，一次项系数

是，常数项是。

变式2:

有一个一元二次方程，未知数为y,二次项的系数为—1,一次项的系数为3，常数项为一6，请你写出它的一般形式。

例3：

在关于x的方程（m-5）xm-7+（m+3）x-3=0中：

当m=时它是一元二次方

程；当m=时它是一元一次方程。

变式1:

已知关于x的方程（m+1）x2—mx+仁0它是（）

A.—兀二次方程B.—兀一次方程

C•一元一次方程或一元二次方程D.以上答案都不对

变式2:

当m时，关于x的方程（m-3）xmJ-x=5是一元二次方程

知识点二：

一元二次方程的解

（1）概念：

使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

（2）应用：

利用根的概念求代数式的值；

【典型例题】

1.已知x=2是一元二次方程x2mx^0的一个解，贝Um的值是（）

A.-3

B.3

C.0

D.0或3

2.已知2y2-y_3的值为2,则4y22y1的值为。

3.若x=a是方程x2-x-2015=0的根，贝U代数式2a2-2a-2015值

为。

4.关于x的一元二次方程a-2x2，x，a2-4=0的一个根为0,则a的值

为。

5.已知关于x的一元二次方程ax2bx7=08^0的系数满足a-b•c=0，则

此方程必有一根为。

【举一反三】

1.已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，贝U实数k的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

2.

3.

4.

若mi-5m+2=0,贝U2m2-10m+2016=

若关于x的方程（a+3）x2-2x+a2-9=0有一个根为0，贝Ua=

元二次方程ax2+bx+c=0，若4a-2b+c=0，则它的一个根是

5.若x=1是关于x的一元二次方程ax2•bx•c=0a=0—个根,求代数式

2007（a+b+c）的值

知识点三：

解一元二次方程

一元二次方程的解法：

直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法

:

直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平

方法。

直接开平方法适用于解形如（xm）^n的一元二次方程。

根据平方根的定

义可知，x-m是n的平方根，当n_0时，x•m二J，x=-m_J，当n<0时，方程没有实数根。

用直接开平方法解一元二次方程的理论根据是平方根的定义，达到降次转化之目的。

（1）形如x?

=P（P-°）的方程的解是x=p。

当p=0时，x=X2

（2）形如mxn2二pp-°的方程的解为x=—n。

m

形如mx~a5=0的方程可先化成x-a的形式，再用直接开

m

平方法解。

【例题讲解】

1、方程（x-2）2=9的解是（）

A.X1=5，X2=-1B.X1=-5，X2=1C.X1=11，X2=-7D.X1=-11，X2=7

2、若方程x2=mB解是有理数，贝U实数m不能取下列四个数中的（）

11

A.1B.4C.-D.-

42

3、对于形如x2二P的一元二次方程，能直接开平方的条件是

4、方程x2_16=0的根是。

5、用直接开平方法解下列方程：

222

（1）16x=81

（2）2m=24

2.2

（3）9x-25=0（4）42x_1-36=0

【同步训练】

得方程的根为（）

.X1=3+2、2,X2=3-2、2

.X1=3+2/3,X2=3-2、3

.X1=X2=3D.X1=3,X2=-3

1、用直接开平方法解方程（x-3）2=8,

A.x=3+2、、3B

C.x=3-2、2D

2、方程1（x-3）2=0的根是（）

2

A.x=3B.x=0C

2

3、方程（2x+6）=900的根是

.2

4、方程（t-2）=169的根是。

5、用直接开平方法解下列方程：

212

（1）（X—7）=0

（2）t（y+1）=128

（3）4（3x-1）2-9=0（4）4x216x16=9

二：

配方法

配方法：

将形如ax2•bx•c=0（a=0）的一类方程，化为（mx•n）2二p形式求解的方法叫做配方法。

一般步骤：

（1）把常数项移到方程右边；

（2）方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1;

（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方；

（4）原方程变形为（x•m）2二n的形式；

5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解.

【例题讲解】

1、用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-3=o，配方后的方程可以是（）

A.（x-1）2=4B.（x+1）2=4C.（x-1）2=16D.（x+1）2=16

2、若一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b,且a>b,则2a-b之值为何？

（）

A.-57B

.63

C.179

D

.181

3、用适当的数填空：

①、x2+6x+

=（x+

）2②、x2-

-5x+

=（x-

）2；

③、x2+x+

=（x+

）2④、x2-

-9x+

=（x-

）

2

将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为___已知4x-ax+1可变为（2x-b）的形式，贝Uab=_将x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为

为.

7、若x2+6x+nm是一个完全平方式，则m的值是

8、用配方法解下列方程：

A.2±JOB.-2±肓C.-2+10D.2-10

3.用配方法解下列一元二次方程

（1）x2-4x=96

（2）x2「4x-5=0

（3）2x23x-1=0（4）3x22x-7=0

三：

公式法

（1）公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

由配方法得x，化简：

x±2记卓

4a24a2

b24ac

4a2

2a2a

-bb2-4ac

2a

元二次方程ax25x7=03=0）的求根公式:

公式法的步骤：

就把一元二次方程的各系数分别代入，这里a为一次项系数，b

为二次项系数，c为常数项。

【典型例题】

例1:

一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a^0）,当b2-4ac>0时，它的根是，当b-4ac<0时，方程.

例2:

用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=，xi=，X2=.

例3:

—元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=（）.

A.0B.1C.-1D.±1

例4:

不解方程，判断所给方程：

①x2+3x+7=0;②x2+4=0;③x2+x-仁0中，有实数根的方程有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

例5:

方程（x+1）（x-3）=5的解是（）

A.X1=1，X2=-3B.X1=4，X2=-2C.X1=-1，X2=3D.X1=-4，X2=2

例6:

一元二次方程x222x-6=0的根是（）

A.x<|=x2=2B.x>|=0,x2=2、2

C.x1-2,x2--32D.X"i--2,x2=32

例7:

一元二次方程x2-3x-仁0的解是。

例&用公式法解下列方

222

（1）-3x-5x2=0;

（2）2x3x3=0;（3）x-2x1=0;

22X

例9:

若x-xy-3y=0（y>0），求一的值.

y

【举一反三】

1.用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=，X1=，X2=.

2.用公式法解方程4y2=12y+3,得到（）

-3士亦口3±76Q3±2亦厂_3±2方

A.y=B.y=C.y=D.y=

2222

3.不解方程，判断所给方程：

①x2+3x+7=0;②x2+4=0;③x2+x-1=0中，有实数

根的方程有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

4.用公式法解方程

⑴x2+15x=-3x;

（2）x2+x-6=0;（3）3x2-6x-2=0;（4）4x2-6x=0

四：

因式分解法

因式分解法的步骤是：

（1）将方程右边化为0;

（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积：

（3）令每个因式等于0,得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.

例题讲解：

（1）x2+12x=0;

（2）4

x2—1=0;（3）

（x2）22x4=0;

练习巩固：

⑵x2—4x—21=0;

（3）（

x—1）（x+3）=12;

（3）3x2+2x—1=0;

2

（4）10x—x—3=0;

（5）（x—1）

2

—4（x—1）—21=0.

练习巩固

用适当方法解下列方程

（1）x2—4x+3=0;

（2）（

x—2）2=256;（3）

2

x—3x+1=0;

（4）x2—2x—3=0;

（5）

（2t+3）2=3（2t+3）;

（6）（3—y）2+y2=9;

（7）7—2x2=—15

（8）2x2-2x-30=0（9）2

x2—8x=7

（10）5x2—（52+1）x+,10=0；（11）（x+5）2-2（x+5）—8=0.

知识点四：

判定根的情况（韦达定理）

根的判别式及应用（△=b2-4ac）0

判定一元二次方程根的情况：

△>