17学年高中数学第三章统计案例31第1课时回归分析的基本步骤及相关系数学案新人教A版选修23.docx
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17学年高中数学第三章统计案例31第1课时回归分析的基本步骤及相关系数学案新人教A版选修23
3.1第一课时回归分析的基本步骤及相关系数
一、课前准备
1.课时目标
(1)会用散点图判断两个变量是否具备相关性;
(2)能利用公式求两个相关变量的线性回归方程;
(3)了解相关系数r刻画回归效果.
2.基础预探
1.函数关系是一种关系.而相关关系是一种关系.是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
2.线性回归方程
中,
,
,其中
,
,______________称为(
)(
=1,2,…,n)的中心点.
3.利用相关系数r刻画回归效果r==;用它来衡量它们之间的线性相关程度.|r|≤,且|r|越接近于,相关程度越大;|r|越接近于,相关程度越小.
二、学习引领
1.常见的两个变量之间的关系
常见的两个变量之间的关系有两种:
①函数关系是一种确定性的关系,例如正方形的周长C=4a,周长C与边长a之间就是一种确定性关系.对于自变量边长的每一个确定的值,都有唯一确定的周长的值与之相对应;②当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系,如人的身高与年龄之间的关系,显然,相关关系是一种非确定性关系.
2.求线性回归直线方程的步骤
第一步:
列表表示xi,yi,xi2,xiyi;
第二步:
利用公式计算
;
第三步:
代人
公式计算
的值;
第四步:
写出回归直线方程.
3.计算线性回归方程的系数的技巧
计算线性回归方程的有关量时,由于数据运算量比较大,如果不进行系统的处理容易出错.一般推荐利用下表计算
的需要的参数值.
1
2
……
……
……
……
……
n
合计
利用上表值易求,
,
,
=
=
.
4.利用量化的观点研究两个变量的相关性
给定一组值,由散点图判定其是否在一条直线附近主观性太强,统计中还通常用相关系数r,来检验两个变量之间线性相关关系的强弱.r的取值有如下特点:
①当r>0时,lxy>0,从而b=
>0,两个变量的值总体上呈现出同时增加的趋势.此时称两个变量正相关,当|r|越接近于1,相关程度越强.
②当r<0时,b<0.一个变量增加.另一个变量有减少的趋势,称两个变量负相关,当|r|越接近于0,相关程度越弱.
③当r=0时.称两个变量线性不相关.
④若r∈[-1,-0.75]时,两变量负相关很强;
r∈[0.75,1]时,两变量正相关很强;
r∈(-0.75,-0.3]或[0.3,0.75)时,两变量相关性一般;
r∈[-0.25,0.25]时,两变量相关很弱.
三、典例导析
题型一回归系数
与
值的统计意义
例1iphone某配件厂生产的某电子产品的产量(千件)与单位成本x(元)满足回归直线方程
,则以下说法正确的是()
A.产量每增加1000件,单位成本下降
元;
B.产量每减少1000件,单位成本上升
元;
C.产量每增加1000件,单位成本上升
元;
D.产量每减少1000件,单位成本下降
元.
思路导析:
利用给出的回归方程,代入x值便可得到相应的y的估计值.
解析:
回归直线的斜率为
,所以x每增加1,y下降
,即电子产品每增加1000件,单位成本下降
元,故选A.
规律总结:
回归直线方程
中,
的统计学意义是:
x每增加(减少)一个单位,y平均改变b个单位;
的意义是y不受x变化影响的部分.
变式训练:
若施化肥量x与水稻产量y的回归直线方程为
=5x+250,当施化肥量为80kg时,预计的水稻产量为____________.
题型二线性回归方程的求法及应用
例2通过市场调查,得到某产品的资金投入
(万元)与获得的利润
(万元)的数据,如下表所示:
资金投入
2
3
4
5
6
利润
2
3
5
6
9
(Ⅰ)画出数据对应的散点图;
(Ⅱ)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程
;
(Ⅲ)现投入资金
(万元),求估计获得的利润为多少万元.
思维导析:
作出散点图,观察是散点否在一条直线附近,便可判断x、y是否具备线性相关.利用线性回归的公式求得回归方程,再估算投资10万元时获得的利润值.
解析:
(Ⅰ)由
、
的数据可得对应的散点图为:
从图上可知,这些点大致分布在一条直线附近,故资金投入
(万元)与获得的利润
(万元)显著线性相关关系.
(Ⅱ)
,
,
.
所以
,所以
.
(Ⅲ)当
(万元),
(万元),
所以投入资金
(万元),估计获得的利润为
万元.
规律总结:
计算回归直线方程前,通常将有关数据列成表格,然后计算出各个量,这样处理会降低运算的难度,提高运算的准确率.
变式训练:
假定新型水稻基本亩数上(单位:
亩)与成熟期有效穗,(单位:
十万)之间存在相关关系,今测得5组数据如下:
x
15
25
29
36
45
y
39
42
43
45
51
(1)以x为解释变量,y为预报变量,作出散点图;
(2)求y与x之间的回归方程;
(3)估计l00亩此新型水稻的成熟期有效穗数.
题型三利用相关性检验确定相关关系
例3在庆祝泰华世纪城开业一周年之际,家电部门经理向全体员工汇报了每个月的销售情况,下表是某个员工记录的部分月份的销售额(单位:
万元)的有关数据,
月份
2
4
5
6
8
销售额
30
40
60
50
70
(1)画出散点图,判断月份
和销售额
两变量之间是否有线性相关关系;
(2)对变量x与y进行相关性检验,求出线性回归方程;
(3)试估计12月份的销售额.
思路导析:
通过散点图和相关系数对x、y是否具备相关关系进行判断,然后利用公式求得x、y之间的回归方程,代入数据即可估算12月份的销售额.
解析:
(1)把月份x作为横坐标,相应的月销售额y作为纵坐标,在直角坐标系中描点(xi,yi)(i=1,2,3,4)作出散点图如图所示.
由图可以看出,各点都在一条直线附近,所以月份与销售额之间有线性相关关系,求回归直线方程有意义.
(2)因为
,
所以
|r|的值接近于1,因此,月份x与销售额y之间存在着显著的线性关系.
所以
,
于是所求的回归直线方程是
(3)当
时,销售额
的值
,所以12月份的销售额约为95.5万元.
方法规律:
如果两个变量之间不具有相关关系,或者说,它们之间相关关系不显著,即使求出了回归直线方程也是毫无意义的,而且估计和预测的量也是不可信的.因此,在解答回归方程问题时要先进行相关性检验,通过检验确认两个变量是否具有线性相关关系,再求其回归直线方程.检验的方法可以利用散点图,也可以利用样本相关关系数r.
变式训练:
有5名学生的数学和化学成绩如下表所示:
学科 学生
A
B
C
D
E
数学成绩(x)
88
76
73
66
63
化学成绩(y)
78
65
71
64
61
(1)判断y与x是否具有相关关系;
(2)如果y与x具有相关关系,求回归直线方程;
(3)预测如果某学生成绩为79分时,他的化学成绩为多少?
四、随堂练习
1.关于回归方程下列说法正确的是()
A.回归方程适用于一切总体
B.我们建立的回归方程都能很好地估计预报变量可能的取值
C.样本取值的范围会影响回归方程的适用范围
D.回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值
2.在一次试验中,测得(x,y)的四组值分别是A(1,2),B(2,3),C(3,4),D(4,5),则y与x之间的线性回归方程为()
A.
=x+lB.
=x+2C.
=2x+lD.
=x-l
3.工人的月工资(元)与劳动生产率(千元)变化的回归方程为
=50+80x,以下判断正确的是()
A.劳动生产率是1000元,工资为130元
B.劳动生产率提高l000元,工资提高80元
C.劳动生产率提高l000元,工资提高130元
D.当月工资为210元,劳动生产率为2000元
4.某五星级大饭店的住屋率x(%)与每天每间客房的价格y(元)关系如下:
x
100
75
65
55
50
y
2000
2500
2800
3200
4000
则y关于x回归直线方程是 .
5.针对某工厂某产品产量与单位成本的资料进行线性回归分析如下:
月份
产量x(千件)
单位成本y(元/件)
1
2
73
4
146
2
3
72
9
216
3
4
71
16
284
4
3
73
9
219
5
4
69
16
276
6
5
68
25
340
合计
21
426
79
1481
则产量每增加1000件,单位成本下降 元.
6.下表是某地年降雨量与年平均气温,两者具有相关关系吗?
求回归直线方程有意义吗?
年平均气温(℃)
12.51
12.84
12.84
13.69
13.33
12.74
13.05
1年降雨量(mm)
748
542
507
813
574
701
432
五、课后作业
1.对于回归分析,下列说法错误的是( )
A.在回归分析中,变量间的关系若是非确定性关系,那么因变量不能由自变量唯一确定
B.线性相关系数可以是正的或负的
C.回归分析中,如果
,说明x与y之间完全线性相关
D.样本相关系数
2.已知x、y的取值如下表所示
x
0
1
3
4
y
5.2
4.3
4.8
5.7
从散点图分析,y与x线性相关,且
,则
()
A.2.30B.2.40C.3.10D.
3.设某种产品产量为1000件时,其生产成本为30000元,其中固定成本为6000元,则总生产成本对产量的线性回归方程是.
4.下列命题错误的个数是.
(1)康乃馨、蝴蝶兰、洋兰是母亲节期间常见的花卉,一花农为了在节前能培育出三种花卉,便利用蝴蝶兰的温度(x)与发芽率(y)之间的回归方程来预测洋兰的发芽率.
(2)一饲料商人,根据多年的经销经验,得到广告费用(x/万元)与销售量(y/万吨)之间的关系大体上为
,于是投入广告费用100万元,并信心十足地说,今年销售量一定达到47万吨以上.
(3)已知女大学生的身高和体重之间的回归方程为
,若小明今年
岁,已知他的身高是
,则他的体重为
左右
5.已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下表
血球体积x(mm)
45
42
46
48
42
35
58
40
39
50
红血球数y(百万)
6.53
6.30
9.52
7.50
6.99
5.90
9.49
6.20
6.55
8.72
若已知二者相关,求出回归直线方程.
6.一台机器由于使用时间较长,但还可以使用,它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点,每小时生产有缺点零件的多少,随机器运
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- 17 学年 高中数学 第三 统计 案例 31 课时 回归 分析 基本 步骤 相关系数 新人 选修 23