新教材人教B版数学必修第三册教师用书第8章 82 824 第2课时 三角函数的积化和差与和差化积.docx
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新教材人教B版数学必修第三册教师用书第8章82824第2课时三角函数的积化和差与和差化积
第2课时 三角函数的积化和差与和差化积
学习目标
核心素养
1.能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换,推导出积化和差与和差化积公式.(难点)
2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用,进一步体会三角变换的特点,提高推理、运算能力.(重点)
1.通过三角函数的积化和差与和差化积公式的推导,培养学生逻辑推理核心素养.
2.借助积化和差与和差化积公式的应用,提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
1.积化和差公式
cosαcosβ=
[cos(α+β)+cos(α-β)];
sinαsinβ=-
[cos(α+β)-cos(α-β)];
sinαcosβ=
[sin(α+β)+sin(α-β)];
cosαsinβ=
[sin(α+β)-sin(α-β)].
2.和差化积公式
设α+β=x,α-β=y,则α=
,β=
.这样,上面的四个式子可以写成,
sinx+siny=2sin
cos
;
sinx-siny=2cos
sin
;
cosx+cosy=2cos
cos
;
cosx-cosy=-2sin
sin
.
思考:
和差化积公式的适用条件是什么?
[提示] 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差,才能直接运用公式化成积的形式,如果是一个正弦与一个余弦的和或差,则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式.
1.计算sin105°cos75°的值是( )
A.
B.
C.-
D.-
B [sin105°cos75°=
(sin180°+sin30°)=
.]
2.sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值为( )
A.-
B.
C.
D.-
B [sin20°·cos70°+sin10°·sin50°
=
+
[cos(10°-50°)-cos
]=
+
=
-
sin50°+
cos40°
=
-
sin50°+
sin50°=
.故选B.]
3.下列等式正确的是( )
A.sinx+siny=2sin
sin
B.sinx-siny=2cos
cos
C.cosx+cosy=2cos
cos
D.cosx-cosy=2sin
sin
C [由和差化积公式知C正确.]
积化和差问题
【例1】
(1)求值:
sin20°cos70°+sin10°sin50°.
(2)求值:
sin20°sin40°sin60°sin80°.
[思路探究] 利用积化和差公式化简求值,注意角的变换,尽量出现特殊角.
[解]
(1)sin20°cos70°+sin10°sin50°
=
(sin90°-sin50°)-
(cos60°-cos40°)
=
-
sin50°+
cos40°
=
-
sin50°+
sin50°=
.
(2)原式=cos10°cos30°cos50°cos70°
=
cos10°cos50°cos70°
=
=
cos70°+
cos40°cos70°
=
cos70°+
(cos110°+cos30°)
=
cos70°+
cos110°+
=
.
积化和差公式的功能与关键
(1)功能:
①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式).
②将角度化为特殊角求值或化简,将函数式变形以研究其性质.
(2)关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数.
1.求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.
[解] 原式=
+
+
(sin70°-sin30°)
=1+
(cos100°-cos40°)+
sin70°-
=
+
(-2sin70°sin30°)+
sin70°
=
-
sin70°+
sin70°=
.
和差化积问题
【例2】 已知cosα-cosβ=
,sinα-sinβ=-
,求sin(α+β)的值.
[思路探究] 利用和差化积公式,对所求式子进行变形,利用所给条件求解.
[解] ∵cosα-cosβ=
,
∴-2sin
sin
=
.①
又∵sinα-sinβ=-
,
∴2cos
sin
=-
.②
∵sin
≠0,
∴由①②,得-tan
=-
,即tan
=
.
∴sin(α+β)=
=
=
=
.
1.(变结论)本例中条件不变,试求cos(α+β)的值.
[解] 因为cosα-cosβ=
,
所以-2sin
sin
=
.①
又因为sinα-sinβ=-
,
所以2cos
sin
=-
.②
因为sin
≠0,
所以由①②,得-tan
=-
,即tan
=
.
所以cos(α+β)=
=
=
=-
.
2.(变条件)将本例中的条件“cosα-cosβ=
,sinα-sinβ=-
”变为“cosα+cosβ=
,sinα+sinβ=-
”,结果如何?
[解] 因为cosα+cosβ=
,
所以2cos
cos
=
.①
又因为sinα+sinβ=-
,
所以2sin
cos
=-
.②
所以cos
≠0,所以由①②,得tan
=-
,
所以sin(α+β)=
=
=
=-
.
和差化积公式应用时的注意事项
(1)在应用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,必须用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次.
(2)根据实际问题选用公式时,应从以下几个方面考虑:
①运用公式之后,能否出现特殊角;
②运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否合并或消项.
(3)为了能够把三角函数式化为积的形式,有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式,如
-cosα=cos
-cosα.
公式的综合应用
[探究问题]
1.解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用?
[提示] 注意三角形中的隐含条件的应用,如A+B+C=π,a+b>c等.
2.在△ABC中有哪些重要的三角关系?
[提示] 在△ABC中的三角关系:
sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,
sin
=cos
,cos
=sin
,
sin(2A+2B)=-sin2C,cos(2A+2B)=cos2C.
【例3】 在△ABC中,求证:
sinA+sinB-sinC
=4sin
sin
cos
.
[思路探究] 利用和差化积进行转化,转化时要注意A+B+C=π.
[解] 左边=sin(B+C)+2sin
·cos
=2sin
cos
+2sin
cos
=2cos
=4sin
sin
cos
=右边,
∴原等式成立.
证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法,使等式两端的“异”化为“同”,分式不好证时,可变形为整式来证.
2.在△ABC中,求证:
sinA+sinB+sinC=4cos
cos
·cos
.
[证明] 由A+B+C=180°,得C=180°-(A+B),
即
=90°-
,∴cos
=sin
.
∴sinA+sinB+sinC
=2sin
·cos
+sin(A+B)
=2sin
·cos
+2sin
·cos
=2sin
=2cos
·2cos
·cos
=4cos
cos
cos
,
∴原等式成立.
1.公式的记忆
和差化积公式记忆口诀:
“正和正在前,正差正后迁;余和一色余,余差翻了天.”
(正代表sinα,余代表cosα)
2.公式的应用
注意公式的应用条件、各种三角恒等变换公式以及公式之间的相互推导.
1.sin75°-sin15°的值为( )
A.
B.
C.
D.-
B [sin75°-sin15°=2cos
sin
=2×
×
=
.故选B.]
2.函数y=sin
cosx的最大值为( )
A.
B.
C.1D.
B [∵y=sin
cosx
=
=
=
sin
-
.
∴函数y的取最大值为
.]
3.已知sin(α+β)=
,sin(α-β)=
,则sinαcosβ=________.
[sinαcosβ=
sin(α+β)+
sin(α-β)=
×
+
×
=
.]
4.化简下列各式:
(1)
;
(2)
.
[解]
(1)原式=
=
=
=tan
.
(2)原式=
=
=
=
.
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