全国物理竞赛狭义相对论专题练习.docx
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全国物理竞赛狭义相对论专题练习
S、S间的相对运动关系如图1所
全国中学生物理竞赛狭义相对论专题练习
1.假设电磁作用理论在所有惯性系都成立,惯性系示.开始时S系测得全空间有不随时间变化的电磁作用场为E0,BB0j,j为y轴方向上的单位矢量.在S系中放一块原不带电的长方导体平板,与x轴、y轴平行的两条直边足够长(分别可模型化为无限长),与z轴平行的直边较短.今如图2所示,令导体板以匀速度v相对S系沿x轴方向运动,在其上、下体板上方区域、导体板内区域和导体板下方区域。
(1)在S系中求解以及上述三区域内的电磁作用场强度量E上、E内、E下和B上、B内、B下
(2)此导体板相对S系静止,如果已经认知:
(i)S系测得的导体板沿x轴方向的线度是
S系测得的沿x轴方向线度的
,导体板在S系沿y轴、z轴方向
的线度与在S系沿y轴、z轴方向的线度相同
ii)S系测得导体板上、下表面电荷均匀分布,电荷总量为Q,则S系测得导体板上、下表面电荷也是均匀分布,电荷总量也为Q
(iii)S系中一个静止质点,在S系中必沿x轴反方向以速率v运动;S系中一个运动质点若沿y轴(或z轴)方向分速度为零,则在S系中沿y轴(或z轴)方向分速度也为零
1试求S系三区域内的电场强度E上、E内、E下(答案中不可包含)
2再求S系三区域内的磁感应强度B上、B内、B下(答案中不可包含)
3
解析】
详解】
1)稳定时,S系中导体板上表面电荷运动形成沿x轴方向的面电流,电流线密度大
小为jev
下表面电荷运动形成沿x轴负方向的面电流,电流线密度大小为jev.
据磁场安培环路定理,这两个反向面电流在导体板上、下方区域和板内区域形成的附加磁场分别为
B上附B下附0,B内附0vj.
全空间磁场分布便为B上B下B0j,B内B00vj.
k为z轴方向上的单位矢量.
全空间电场分布为E上E下0,E内k.
0
电场分布则为E上E下0,E内vB0k.
10
(2)S系中导体板上表面面积和总电荷量记为s和Q,S系中对应量分别记为s和Q,
则有
①电荷只能来源于原静电场产生的静电感应,又因导体板无论开始时放在S系中沿
z轴上、下方何处均有电荷积累,故S系中必有分布于全空间的原匀强电场E0,
即有
沿z轴方向)②B上、B下求解
考虑S系中导体板上方(或下方)初始沿z轴方向运动的带电质点,因受洛仑兹力,将做xOz平面上的匀速圆周运动(此处及如下讨论中均不考虑重力场的存在).按照题
文中的说明,该带电质点在S系中不会出现沿y轴方向的分运动及运动趋势.又因为S
系中该带电质点所受电场力沿z轴方向,故磁场力不会出现y轴方向分量,即B上(或下)
不存在x分量.
考虑S系中导体板上方(或下方)带电为q的初始静止质点,因受力为零,故将保持静止状态.该质点在S系中必沿x轴负方向匀速运动,不存在沿y轴方向的分运动及运动趋势,故磁场力不会出现y轴方向分量,即B上(或下)不存在z分量.如上结论可判断:
B上(或下)沿y轴方向.
此外,该质点在S系中受力平衡,即向下的磁场力与向上的电场力之和必定为零,应有
qvB上(或B下)qE上(或E下),
得B上B下02j.
得上下12.
B内的求解.
S系中导体板上、下表面电荷静止,没有相对S系的面电流.据磁场安培环路定理,得
B上、下z
4下面验证相对论电作用场变化公式的“手抄版”.可由S系:
E上、下x0,E上、下y0,E上、下z0,
B上、下x0,B上、下yB0,B上、下z0
得到S:
E上、下xE上、下x0,E上、下y
EzvBy
Ez12
因此,“手抄版”中Ez表达式有误,应纠正为
由S系:
E内x0,E内y0,E内z12,
E内0与前面所得结论一致.
Byc2Ez
它不受磁场力,
版”中By表达式有误,应纠正为B
版”中y表达式有误,应纠正为By12
附注:
S系中若在导体板内区域放一个相对S系静止的带电量为q0的粒子,
仅受电场力为
vB0
在S系该质点沿x轴反方向匀速运动,受力
FqE内qvB内,F
qvB0
与相对论力变换公式Fz
12Fz
1v2ux
c
qvB0k一致
ux0
2.A、B两钟在相对于某惯性系的一条直线上做方向相同、速率不同的匀速运动
B钟收到该信号的
cTB2TA2
相遇时两钟均拨到零点,A钟在时刻TA向B的方向发出一光信号,
时间为TB.证明:
B钟相对于A钟的运动速率为vTA2TB2
详解】
设A钟为S系,B钟为S系.A钟发出光信号为事件1,B钟收到光信号为事件2,则已知:
x10,t1TA,x20,t2TB.
对事件1:
写洛伦兹变换关系.
1
,则x1x1vtvTA,t1t1v2x1
c
按B钟测量,光信号以c的速度在到B期间,从x1传播到x2,有
x2x1ct2t1,即x1cTBt1.
将前两式代入上式,得
vTAcTBTA,即cvTATBc2v2,
本题是洛伦兹变换的基础应用,权作练习,巩固知识3.
(1)在经典的氢原子模型中,电子围绕原子核做圆周运动,电子的向心力来自于核电场的作用.可是,经典的电磁理论表明,电子做加速运动会发射电磁波,其发射功率
可表示为(拉莫尔公式)
e2a2
:
P3,其中a为电子的加速度,c为真空光速,6πc30
04πk8.8541012Fm1,电子电荷量绝对值e1.6021019C.若不考虑相对
论效应,试估计在经典模型中氢原子的寿命.(实验测得氢原子的结合能是
EH13.6eV,电子的静止质量m09.10910kg)
(2)带电粒子加速后发射的电磁波也有重要的应用价值.当代科学研究中应用广泛的同
步辐射即是由以接近光速运动的电子在磁场中做曲线运动改变运动方向时所产生的电磁辐射.电子存储环是同步辐射光源装置的核心,存储环中的电子束团通过偏转磁铁等装置产生高性能的同步辐射光.上海光源是近年来建成的第三代同步辐射光源,它的部分工作参数如下:
环内电子能量E3.50GeV,电子束电流强度I300mA,周长L432m,单元数(装有偏转磁铁的弯道数量)N20,偏转磁铁磁场的磁感应强
度B1.27T.试计算该设备平均每个光口的辐射总功率P0.(在电子接近光速时,若动量不变,牛顿第二定律仍然成立,但拉莫尔公式不再适用,相应的公式变化为
e2a24E2
P34,其中2,E为电子总能量,m0c2为电子的静止能量)
6πc30m0c
(3)由于存储环内电子的速度接近光速,所以同步辐射是一个沿电子轨道的切线方向
1
的光锥,光锥的半顶角为,由此可见电子的能量越高,方向性越好.试计算:
上述设
备在辐射方向上某点接收到的单个电子产生的辐射持续时间T(.本题结果均请以三位
有效数字表示)
【答案】
(1)1.561011s
(2)P02.17104W(3)T9.511020s。
【解析】
【详解】
(1)经典的氢原子模型中,电子围绕原子核做圆周运动,有下列关系式存在:
Fma,
2
va
r
,F1e2.
,2
4π0r
11
由条件EH13.6eV推导出氢原子的轨道半径和运动速度分别为r05.291011m,
6
v02.19106m/s.
由拉莫尔公式得初始发射功率为
22
ea
P.3333226πc096πc0mr0
在微小的时间间隔t中,辐射使电子的总能量U减少UPt,
其中r为电子轨道半径的减少量.由此可导出时间t和半径r的变化方程:
构造一个半径为r0的球体,则4πr2r即为距离球心为r的薄球壳的体积,在r0到0的43
求和过程中可以算出球的体积为πr03.对应本题情况解出电子轨道从r0减少到0所需
3
的时间为t4πc0mr0
代入数据,得:
1.561011s.
2)对于高能电子,可认为电子运动的速度接近光速,即有如下各式:
vc,Emc2,
2
av,FeBc,Fma.
R
每个光口的功率为P0PtNotal2.17104W.
3)在电子轨道上某点的切线方向上的某一点
P处观察,观察者只能在一个很短时间
即2)的角度
间隔内看到电子发出的辐射,这段时间是电子的速度方向改变圆锥顶角所对应的光到达接收位置的时间间隔
如图所示,在这段时间内电子移动的距离为
2R
x
则电子在这两点发出的辐射时间间隔为
t2t1x
v
2R
c.
但在轨道的切线方向上观察,
上述时间还要扣除
A点发射出
的光到达B点位置所花费的时间t2R
代入数据得:
T9.511020s.
本题是第26届全国中学学生物理竞赛决赛试题.本题涉及的知识点很多,信息量比较大,结合程度也很高.
问题
(1)再现了人类认识原子结构在某个特定的历史时期的局限,氢原子的寿命如此之短,让大众认识到理论与模型上的缺陷,进而也催生了玻尔的原子理论.问题
(2)与
问题(3)一方面考查了答题者对信息的处理与应用的能力,另一方面也考查了答题者综合运用相对论知识的情况,设计相对论的时空效应、相对论能量等知识内容.另外,
211
解答过程中关于2的运算也是应引起大家注意的,阅读时不要一晃而过,
先试一试,便知这一运算并不容易,更不要产生这是“凑”答案的思维,从而忽视了科学
的严谨性.
4.
(1)当一个电子及一个正电子相互碰撞时,会湮灭产生高能光子,假设该过程进
行在同一直线上,电子动量为pe,正电子动量为pe,它们相向行进,释放出2个光子(频率可能不同)1,试求2个光子的频率(电子及正电子的运动速度不一定远小于光速c).
(2)承问题
(1),若释放出的光子速率并非在此直线上,而是与正、负电子行进的方向有夹角、,如图所示,试求2个光子的频率v1、v2与底面(或)的关系.若给出pe0.500MeV/c,pe0.600MeV/c,再给出含有或的数值解.(普
朗克常量h6.6261034Js
1)碰撞过程中能量守恒,有
EeEehv1hv2.①碰撞过程中能量守恒,有pepehv1hv2,
cc
22224
Ee2Pe2c2m
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