数学课本线性规划.docx
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数学课本线性规划
线性规划
数学老师计算学期成绩的方法是平时成绩(x)占30%,段考成绩(y)占70%。
已知小亦平时成绩加上段考成绩不超过150分,那么学期成绩最多可能有几分?
类似这样的问题(在某些条件下求某个量的最大值或最小值)是日常生活中常常碰到的。
在这个例子中,我们要在0≤x≤100,0≤y≤100,x+y≤150的条件下求0.3x+0.7y的最大值,正是本节要介绍的“线性规划”的例子。
1 二元一次不等式
对上段中的0≤x≤100,0≤y≤100,x+y≤150都是“不等式”。
一般来说,若a,b,c为实数,且a,b不全为0,则形如
ax+by+c>0,ax+by+c<0,ax+by+c≥0,ax+by+c≤0的式子,称为二元一次不等式。
满足不等式的实数对(x,y)称为该不等式的解。
下面我们来讨论二元一次不等式的解在坐标平面上的图形。
我们用x+y>2当例子,如图22所示。
图22
已知x+y=2的图形是平面上的一条直线,意思是说,这条在线的每一个点(x,y)都满足x+y=2。
直觉上,x+y=2把平面分成两半,有一半应该是使得x+y>2那些点,另一半是x+y<2那些点,这个直觉是对的。
说明如下:
设直线L:
x+y=2,则坐标平面可分为直线L及E1,E2两个半平面,如图23所示:
图23
设P(x0,y0)为半平面E1内的任一点,过P点作x轴的垂线交直线L于一点Q,则Q点的坐标为(x0,2-x0)。
因为P点在Q点的上方,所以y0>2-x0,即x0+y0>2,因此,半平面E1内的每一个点(x,y)都满足x+y>2;亦可反推得,若P(x0,y0)为坐标平面上一点,且满足x0+y0>2,则P点在半平面E1内。
由上面的讨论可知:
x+y>2的图形就是半平面E1,同理,x+y<2的图形就是半平面E2,如图24。
图24
如果将半平面E1与直线L合起来,就是x+y≥2的图形;将半平面E2与L合起来,就是x+y≤2的图形。
当不等式含等号时,图形就包含界线L,此时直线L以实线表示;当不等式不含等号时,图形不包含界线L,此时直线L以虚线表示。
如图25所示:
图25
实际画图时,怎么决定是取哪一个半平面呢?
以x+y<2为例,先画出x+y=2的直线,然后任取一点(通常取原点(0,0)),发现0+0<2,意思是(0,0)在x+y<2的半平面上。
也就是说,包含(0,0)的那个半平面就是x+y<2的图形。
若直线通过原点,则可取点(1,0)或(0,1)来验算。
例题 1
试在坐标平面上,画出二元一次不等式2x-y+2≥0的图形。
解 先画出直线L:
2x-y+2=0,如图26所示,
则直线L将坐标平面分成含原点与不含原点
的两个半平面。
将(0,0)代入2x-y+2
得0-0+2=2>0,
故不等式2x-y+2≥0的图形为含原点的
半平面与直线L。
图26
随堂练习
(1)试在下方的坐标平面上,画出二元一次不等式的图形:
①3x+y≤-2。
②x≥3。
③y<-1。
(2)考虑坐标平面上的直线L:
2x-y+2=0与三个点A(0,0),B(2,1),
C(0,4)。
请问这三个点之中,有哪两个位于L的同侧?
由上可知二元一次不等式的图形是一半平面或一半平面与一直线。
若同时要满足两个(以上)二元一次不等式,图形就取共同的部分。
如下例所示:
例题 2
试在坐标平面上,画出二元一次联立不等式
的图形。
解
(1)先画L1:
x+2y-2≥0的图形:
画出直线L1:
x+2y-2=0,
因为0+2‧0-2=-2<0,
所以x+2y-2≥0的图形
为不含原点的半平面与L1,
如图27(a)所示。
(2)再画L2:
x-y<-1的图形:
画出直线L2:
x-y=-1,
因为0-0=0>-1,
所以x-y<-1的图形
为不含原点的半平面,
如图27(b)所示。
(3)上述
(1)、
(2)两图形的共同部分,
即联立不等式
的图形,
如图27(c)所示。
随堂练习
试在下方的坐标平面上,画出二元一次联立不等式
的图形。
例题 3
坐标平面上,设直线L的斜率为m,y截距为3。
若两点A(1,2),B(-2,1)在L的异侧,则m之最大可能范围为何?
解 由已知条件可知直线L的方程式为y=mx+3,
即mx-y+3=0,如图28所示。
直线L将坐标平面分成两个半平面E1,E2,
因为A,B两点在L的异侧,
则A,B两点有一个在mx-y+3>0的图形内,
一个在mx-y+3<0的图形内。
因此,得
(m‧1-2+3)(m‧(-2)-1+3)<0,
即(m+1)(-2m+2)<0,
两边同除以-2,得(m+1)(m-1)>0,
故得m<-1或m>1。
随堂练习
已知两点A(1,2),B(-2,1)及直线L:
2x+y=k,若点A,B在L的同侧,则k之最大可能范围为何?
2 线性规划
许多日常生活中所产生的现实问题都和二元一次联立不等式有关。
例如商人如何在有限资源限制下,寻找资源最佳分配的生产方法,以获得最大利润的问题;这样的问题,是可以利用数学方法处理的。
如何找出一组符合限制条件的最佳解是本单元所要讨论的重点。
我们先来看一个例子:
已知实数对(x,y)满足
那么,要如何求x+y的最大值或最小值呢?
首先,我们把满足联立不等式的数对(x,y)称为可行解,所有可行解在平面上所成的区域称为可行解区域,如图29中的△ABC内部及边界区域。
图29
在这个问题中,我们要求x+y的最大值或最小值,x+y称为本问题的目标函数,产生最大值或最小值的点(x,y)叫做最佳解。
当目标函数的值为某一常数k时,即x+y=k,这是一条斜率为-1的直线,且其x截距为k。
因此,当这一条直线平行移动时,越往右上方,k值越大;越往左下方,k值越小。
如图30所示,当直线x+y=k通过可行解区域时,此直线上的所有可行解均使x+y的值为k,例如:
直线x+y=7上的可行解,均使x+y的值为7。
通过可行解区域最右上方C(6,4)的直线为x+y=10,故目标函数
x+y的最大值为10;通过可行解区域最左上方A(-2,4)的直线为
x+y=2,故目标函数x+y的最小值为2。
图30
例题 4
在
的可行解区域中,试求目标函数x+3y的最大值及最小值。
解 先依题意画出可行解区域的图形,如图31所示。
图31
将直线x+3y=0平行移动通过上述可行解区域,如图32。
图32
可知目标函数x+3y的最大值发生在点C(0,3)处,最小值发生在点O(0,0)处,故最大值为9,最小值为0。
随堂练习
在
的可行解区域中,试求目标函数2x+y的最大值及最小值。
本节的目标函数均为一次函数(线性函数),且可行解区域的边界均为直线,解决这类问题的方法称为线性规划。
例题 5
大禹锻冶工厂使用矿砂为主要原料,生产两种成分不同的合金,其中A合金每公斤使用红色矿砂50公克、黄色矿砂40公克;B合金每公斤使用红色矿砂20公克、黄色矿砂40公克。
已知每售出一公斤的A合金,工厂可赚50元;每售出一公斤的B合金,工厂可赚30元。
现在工厂进了900公克的红色矿砂及1200公克的黄色矿砂。
若将这些矿砂用来生产这两种合金,试问售出成品后工厂最多可赚多少元?
解 设工厂共生产了x公斤的A合金、y公斤的B合金,
依题意列式得
依此绘出可行解区域,如图33所示,
图33
目标函数
P=50x+30y。
本题即求可行解区域内的点(x,y),使P的值为最大。
(1)当P为任一常数k时,
k=50x+30y均为斜率-
的直线,且x截距为
。
(2)将斜率为-
的直线逐渐向右上方移动,
最后通过可行解区域中的点为(10,20)。
此时的直线为50x+30y=1100,得P的最大值为1100。
故工厂需生产10公斤的A合金、20公斤的B合金,最多可赚1100元。
随堂练习
一农夫有2甲田,若种植水稻,每甲每期产量为8000斤;若种植花生,每甲每期产量为2000斤。
但种植水稻每甲每期需成本24000元,而种植花生只要8000元;且稻米每斤可卖6元,花生每斤可卖10元。
现在农夫有40000元,若只种水稻或花生,试问水稻与花生应各种几甲,才能得到最大利润?
(提示:
利润=总收入-总成本)
由例题5的求解过程可知,线性规划问题所求之极值,必发生在可行解区域的顶点(或边界)。
所以只要将所有顶点代入目标函数,即可求出极值。
例题 6
有甲、乙两工厂生产A,B两种不同产品,甲厂每天可生产A、B各4、2公吨,乙厂每天可生产A、B各2、7公吨,今有一订单需求A、B各16、20公吨,假设甲厂运转一天成本10000元,乙厂运转一天成本20000元,试问甲、乙厂各开厂几天会使得开销最低并达成需求?
解 设甲厂开厂x天、乙厂开厂y天,
依题意列式得
即
画出可行解区域,如图34所示,
图34
目标函数
P=10000x+20000y。
本题可行解区域的顶点 有(0,8),(3,2),(10,0),其对应的目标函数值如下:
(x,y)
(0,8)
(3,2)
(10,0)
10000x+20000y
160000
70000
100000
故当(x,y)=(3,2)时,P有最小值70000,
即甲厂开厂3天、乙厂开厂2天可使开销最低并达成需求。
随堂练习
设有甲、乙两种食物,甲每份售价20元,乙每份售价15元。
甲每份含A营养素15单位,B营养素10单位;乙每份含A营养素10单位,B营养素20单位。
若每人一天至少需要A营养素70单位,B营养素60单位,在费用最少的原则下,应如何安排甲、乙两种食物的份量,以获得足够的营养?
例题 7
某木材工厂要将甲、乙两种大小不同的木材截成A,B两种规格,每张木板可同时截得A,B两种规格的小木板的块数,如下表所示:
A
B
甲
2
1
乙
1
3
已知厂房中现有甲、乙两种木板的数量分别为5张与10张,市场需要A,B两种规格的木板成品数分别为15块和27块,试问工厂需截甲、乙两种木板各多少张才能满足市场需求,且所截的木板总数为最少?
解 设需截甲、乙两种木板的张数分别为x、y张,
依题意列式得
x,y为整数,
画出可行解区域,如图35所示,
目标函数
P=x+y。
当x=3时,
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