天津高考理科数学试题.docx
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天津高考理科数学试题.docx
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天津高考理科数学试题
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:
·如果事件A,B互斥,那么·如果事件A,B相互独立,那么
P(A∪B)=P(A)+P(B).P(AB)=P(A)P(B).
·棱柱的体积公式V=Sh.·球的体积公式
.
其中S表示棱柱的底面面积,其中
表示球的半径.
h表示棱柱的高.
一、选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合
,则
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)设变量
满足约束条件
则目标函数
的最大值为
(A)
(B)1(C)
(D)3
(3)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入
的值为24,则输出
的值为
(A)0(B)1(C)2(D)3
(4)设
,则“
”是“
”的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
(5)已知双曲线
的左焦点为
,离心率为
.若经过
和
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为
(A)
(B)
(C)
(D)
(6)已知奇函数
在R上是增函数,
.若
,
,
,则a,b,c的大小关系为
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)设函数
,
,其中
,
.若
,
,且
的最小正周期大于
,则
(A)
,
(B)
,
(C)
,
(D)
,
(8)已知函数
设
,若关于x的不等式
在R上恒成立,则a的取值范围是
(A)
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。
二.填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
(9)已知
,i为虚数单位,若
为实数,则a的值为.
(10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.
(11)在极坐标系中,直线
与圆
的公共点的个数为___________.
(12)若
,
,则
的最小值为___________.
(13)在
中,
,
,
.若
,
,且
,则
的值为___________.
(14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有___________个.(用数字作答)
三.解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在
中,内角
所对的边分别为
.已知
,
,
.
(Ⅰ)求
和
的值;
(Ⅱ)求
的值.
16.(本小题满分13分)
从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为
.
(Ⅰ)设
表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量
的分布列和数学期望;
(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
(17)(本小题满分13分)
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,
.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求证:
MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C-EM-N的正弦值;
(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为
,求线段AH的长.
18.(本小题满分13分)
已知
为等差数列,前n项和为
,
是首项为2的等比数列,且公比大于0,
,
.
(Ⅰ)求
和
的通项公式;
(Ⅱ)求数列
的前n项和
.
(19)(本小题满分14分)
设椭圆
的左焦点为
,右顶点为
,离心率为
.已知
是抛物线
的焦点,
到抛物线的准线
的距离为
.
(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(II)设
上两点
,
关于
轴对称,直线
与椭圆相交于点
(
异于点
),直线
与
轴相交于点
.若
的面积为
,求直线
的方程.
(20)(本小题满分14分)
设
,已知定义在R上的函数
在区间
内有一个零点
,
为
的导函数.
(Ⅰ)求
的单调区间;
(Ⅱ)设
,函数
,求证:
;
(Ⅲ)求证:
存在大于0的常数
,使得对于任意的正整数
,且
满足
.
天津理数答案
1-4BDCA 5-8BCAA
9.−2;
10.
;
11.2;
12.4;
13.
;
14.1080
15.(Ⅰ)解:
在
中,因为
,故由
,可得
.由已知及余弦定理,有
,所以
.
由正弦定理
得
.
所以,
的值为
,
的值为
.
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)及
,得
,所以
,
.故
.
16.(Ⅰ)解:
随机变量
的所有可能取值为0,1,2,3.
,
,
,
.
所以,随机变量
的分布列为
0
1
2
3
随机变量
的数学期望
.
(Ⅱ)解:
设
表示第一辆车遇到红灯的个数,
表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为
.
所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为
.
(17)本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.
如图,以A为原点,分别以
,
,
方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得
A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).
(Ⅰ)证明:
=(0,2,0),
=(2,0,
).设
,为平面BDE的法向量,
则
,即
.不妨设
,可得
.又
=(1,2,
),可得
.
因为
平面BDE,所以MN//平面BDE.
(Ⅱ)解:
易知
为平面CEM的一个法向量.设
为平面EMN的法向量,则
,因为
,
,所以
.不妨设
,可得
.
因此有
,于是
.
所以,二面角C—EM—N的正弦值为
.
(Ⅲ)解:
依题意,设AH=h(
),则H(0,0,h),进而可得
,
.由已知,得
,整理得
,解得
,或
.
所以,线段AH的长为
或
.
18.【解析】(I)设等差数列
的公差为
,等比数列
的公比为
.
由已知
,得
,而
,所以
.
又因为
,解得
.所以,
.
由
,可得
①.
由
,可得
②,
联立①②,解得
,
,由此可得
.
所以,数列
的通项公式为
,数列
的通项公式为
.
(II)解:
设数列
的前
项和为
,
由
,
,有
,
故
,
,
上述两式相减,得
得
.
所以,数列
的前
项和为
.
19.(Ⅰ)解:
设
的坐标为
.依题意,
,
,
,解得
,
,
,于是
.
所以,椭圆的方程为
,抛物线的方程为
.
(Ⅱ)解:
设直线
的方程为
,与直线
的方程
联立,可得点
,故
.将
与
联立,消去
,整理得
,解得
,或
.由点
异于点
,可得点
.由
,可得直线
的方程为
,令
,解得
,故
.所以
.又因为
的面积为
,故
,整理得
,解得
,所以
.
所以,直线
的方程为
,或
.
20.(Ⅰ)解:
由
,可得
,
进而可得
.令
,解得
,或
.
当x变化时,
的变化情况如下表:
x
+
-
+
↗
↘
↗
所以,
的单调递增区间是
,
,单调递减区间是
.
(Ⅱ)证明:
由
,得
,
.
令函数
,则
.由(Ⅰ)知,当
时,
,故当
时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增.因此,当
时,
,可得
.
令函数
,则
.由(Ⅰ)知,
在
上单调递增,故当
时,
,
单调递增;当
时,
,
单调递减.因此,当
时,
,可得
.
所以,
.
(III)证明:
对于任意的正整数
,
,且
,
令
,函数
.
由(II)知,当
时,
在区间
内有零点;
当
时,
在区间
内有零点.
所以
在
内至少有一个零点,不妨设为
,则
.
由(I)知
在
上单调递增,故
,
于是
.
因为当
时,
,故
在
上单调递增,
所以
在区间
上除
外没有其他的零点,而
,故
.
又因为
,
,
均为整数,所以
是正整数,
从而
.
所以
.所以,只要取
,就有
.
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