北邮版概率论答案2.docx
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北邮版概率论答案2
2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出的3只X的分布律.
⑶
【解】
习题二
X
3,4,5
P(X
1
3)-r0.1
c;
P(X
3
4)-r0.3
c;
2
P(X
5)C30.6
c;
故所求分布律为
1•一袋中有5只乒乓球,编号为1,球中的最大号码,写出随机变量
【解】
X
3
4
5
P
0.1
0.3
0.6
2•设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出的次品个数,求:
(1)X的分布律;
2)X的分布函数并作图;
133
P{X-},P{1X-},P{1X},P{1X2}.
222
X0,1,2.
P(X
P(X
P(X
0)
1)
2)
C3
22
C;5
35.
de:
12
C35
35
C3
丄
C?
535
22
35
故X的分布律为
X
0
1
2
P
22
12
1
35
35
35
(2)当x<0时,F(x)=P(Xwx)=0
当0wx<1时,F(x)=P(X 当1wx<2时, F(x)=P(Xwx)=P(X=0)+P(X=1)=34 35 当x>2时,F故X的分布函数 (x)=P(Xwx)=1 0, 22 F(x)35 34 35 1, P(X 2) P(1 P(1 F(〔)竺, 235 33 f)p(x F (1) 34 35 1)P(1X P(1 2)F (2) F (1)P(X 34° 0 35 3、12 ) 235 341 2)10. 3535 0.8,求3次射击中击中目标的次数的 P(X2) P(X2)P(X3)0.896 设X表示击中目标的次数 •则X=0,1,2,3. 故X的分布律为 P(X P(X P(X P(X 0) 1) 2) 3) (0.2)30.008 C;0.8(0.2)20.096 C3(0.8)20.20.384 3 (0.8)0.512 X 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 3次射击,每次击中率为 3次射击中至少击中2次的概率. 3•射手向目标独立地进行了 分布律及分布函数,并求 【解】 P 分布函数 0, 0.008, F(x)0.104, 0.488, 1, 4. (1)设随机变量X的分布律为 P{X=k}=a-, k! 其中k=0,1,2,…,入〉0为常数,试确定常数a. (2)设随机变量X的分布律为 P{X=k}=a/N, k=1,2,…,N, 试确定常数a. 【解】 (1)由分布律的性质知 1 P(Xk)a k age k0 k0k! 故 a e (2)由分布律的性质知 N Na 1P(Xk) a k1 k1N 即 a1. 5•甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求: (1)两人投中次数相等的概率; (2)甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,贝UX~b(3,0.6)Y~b(3,0.7) ⑴P(XY)P(X0,Y0)P(X1,Y1)P(X2,Y2) P(X3,Y3) 331212 (0.4)(0.3)C30.6(0.4)C30.7(0.3)+ C3(0.6)20.4C3(0.7)20.3(0.6)3(0.7)3 0.32076 (2)P(XY)P(X1,Y0)P(X2,Y0)P(X3,Y0) P(X2,Y1)P(X3,Y1)P(X3,Y2) C;0.6(0.4)2(0.3)3Cf(0.6)20.4(0.3)3 332212 (0.6)(0.3)C3(0.6)0.4C30.7(0.3) (0.6)3C;0.7(0.3)2(0.6)3c3(0.7)20.3 =0.243 6•设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各 飞机降落是相互独立的•试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降 落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)? 【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则X~b(200,0.02),设机场需配备N条跑道, 则有 P(XN)0.01 200 即Ck00(0.02)k(0.98)200k0.01 kN1 利用泊松近似 np2000.024. e44k P(XN)B0.01 kn1k! 查表得N>9•故机场至少应配备9条跑道. 7•有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为 0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利 用泊松定理)? 【解】设X表示出事故的次数,则X~b(1000,0.0001) P(X2)1P(X0)P(X1) 0.1 e 0.1 0.1 e 8•已知在五重伯努利试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p,则 14223 C5P(1P)C5P(1P) 故 所以 P(X4)C: (1)42 10 243 9•设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号 (1)进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率; (2)进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率. 【解】 (1)设X表示5次独立试验中A发生的次数,则X~6(5,0.3) 5 P(X3)c: (0.3)k(0.7)5k0.16308 k3 (2)令Y表示7次独立试验中 A发生的次数,则Y~b(7,0.3) 7kk7k P(Y3)C7(0.3)(0.7)0.35293 3 10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松分 布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计) (1) 求某 天中午 12时至下午 3时没收到呼救的概率; (2) 求某 天中午 12时至下午 5时至少收到1次呼救的概率. 【解】 (1) P(X 3 0)e2 5 (2)P(X1)1P(X0)1e^ 11•设P{X=k}=C: pk(1p)2k,k=0,1,2 P{Y=m}=C: pm(1p)4m,m=0,1,2,3,4 5 分别为随机变量X,Y的概率分布,如果已知P{X>1}=,试求P{Y>1}. 9 54 【解】因为P(X1),故P(X1)-. 而P(X1)P(X0)(1p) 99 故得 (1p)2 4 9, 即 p 1 3 从而 P(Y1)1P(Y0)1(1 p)4 65 0.80247 81 12.某教科书出版了 2000册,因装订等原因造成错误的概率为 0.001,试求在这2000册书中 2 恰有5册错误的概率• 【解】令X为2000册书中错误的册数,则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算 np20000.0012 P(X 5)e225 5! 0.0018 31 13.进行某种试验,成功的概率为一,失败的概率为一.以X表示试验首次成功所需试验的次 44 数,试写出X的分布律,并计算X取偶数的概率. 【解】X1,2,L,k,L P(X k)G)k 4 13 4 P(X2)P(X4)L P(X2k)L (1) (1) 2k 14•有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险•在一年中每个人死亡 的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金•求: (1)保险公司亏本的概率; (2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑. (1)在1月1日,保险公司总收入为2500X12=30000元.设1年中死亡人数为X,则X~b(2500,0.002),则所求概率为 P(2000X30000)P(X15)1P(X14) 由于n很大,p很小,入=np=5,故用泊松近似,有 14e55k P(X15)10.000069 k0k! ⑵P(保险公司获利不少于10000) P(300002000X10000)P(X10) 105k 0.986305 e5 k0k! 即保险公司获利不少于 10000元的概率在98%以上 P(保险公司获利不少于20000) P(300002000X20000)P(X5) 5^5k e5 0.615961 k0k! 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62% 15.已知随机变量X的密度函数为 f(x)=Ae|x|,g 求: (1)A值; (2)P{0 【解】 (1) f(x)dx1得 Ae|^dx 0Ae& 2A 1 p(0X1)- xdx e1) 当x<0时,F(x) 当x>0时,F(x) 1X,1 edxe 22 x 1|x| edx 2 1x e 2 0」exdx 2 x1x edx 02 1x 2e, ‘1x x0 F(x) x0 1e 2 16. X的密度函数为 设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命 f(x)= 100 0,x x100, 100. 求: (1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率; (2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率; (3) 【解】 F(x) (1)P(X150) 150哆dx1. 100x23 P1[P(X150)]3(|)327 (2)p2C3-(-)2 33 ⑶当x<100时F(x)=0 x 当x>100时F(x)f(t)dt 100x f(t)dt加艸 x100-. 100 dt1 100t2 x 100 1 x100 F(x) x 0, x0 17.在区间]0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这质点的坐标,设这质点落在]0,a] 中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求
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