南开一模 天津市南开区届高三一模数学文试题WORD版含答案.docx

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南开一模天津市南开区届高三一模数学文试题WORD版含答案

天津市南开区2015届高三一模数学（文）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分．

参考公式：

·如果事件A，B互斥，那么·球的体积公式V球=

πR3，

P（A∪B）=P（A）+P（B）．其中R表示球的半径．

·棱柱的体积公式V柱体=Sh，

其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高．

一、选择题：

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）i是虚数单位，复数

=（）．

（A）–i（B）i　

（C）–

–

i（D）–

+

i

（2）已知实数x，y满足约束条件

，则目标函数z=x–2y的最小值是（）．

（A）0（B）–6

（C）–8（D）–12

（3）设A，B为两个不相等的集合，条件p：

x（A∩B），条件q：

x（A∪B），则p是q的（）．

（A）充分不必要条件（B）充要条件

（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件

（4）如图，是一个几何体的三视图，其中主视图、左视图是直角边长

为2的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则此几何体的

表面积为（）．

（A）8+4

（B）8+4

（C）

（D）8+2

+2

（5）已知双曲线ax2–by2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x–

y=0，它的一个焦点在抛物线y2=–4x的准线上，则双曲线的方程为（）．

（A）4x2–12y2=1（B）4x2–

y2=1

（C）12x2–4y2=1（D）

x2–4y2=1

（6）函数y=log0.4（–x2+3x+4）的值域是（）．

（A）（0，–2]（B）[–2，+∞）

（C）（–∞，–2]（D）[2，+∞）

（7）已知函数f（x）=sinωx–

cosωx（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于

，若将函数y=f（x）的图象向左平移

个单位得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）是减函数的区间为（）．

（A）（–

，0）（B）（–

，

）

（C）（0，

）（D）（

，

）

（8）已知函数f（x）=|mx|–|x–1|（m＞0），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）．

（A）0＜m≤1（B）

≤m＜

（C）1＜m＜

（D）

≤m＜2

南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测

（一）

答题纸（文史类）

题号

二

三

总分

（15）

（16）

（17）

（18）

（19）

（20）

得分

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；

2．本卷共12小题，共110分．

得分

评卷人

二、填空题：

本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。

（9）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为．

（10）已知公差不为0的等差数列{an}中，a1，a2，a5依次成等比数列，则

=．

（11）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S=．

（12）过点（–2，6）作圆x2+（y–2）2=4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为．

（13）如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2

，PO=8．则BD的长为．

（14）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且

=λ

，

=λ

．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则

•

=．三、解答题：

（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

得分

评卷人

（15）（本小题满分13分）

组号

分组

频数

频率

第1组

[50，55）

5

0.050

第2组

[55，60）

①

0.350

第3组

[60，65）

30

②

第4组

[65，70）

20

0.200

第5组

[70，75]

10

0.100

合计

100

1.000

某高中从学生体能测试结果中随机抽取100名学生的测试结果，按体重（单位：

kg）分组，得到的频率分布表如右图所示．

（Ⅰ）请求出频率分布表中①、②位置相应的数据；

（Ⅱ）从第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进行第二次测试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二次测试？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，在6名学生中随机抽取2名学生由李老师进行测试，求第4组至少有一名学生被李老师测试的概率？

频率分布表

得分

评卷人

（16）（本小题满分13分）

在非等腰△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且a=3，c=4，C=2A．

（Ⅰ）求cosA及b的值；

（Ⅱ）求cos（

–2A）的值．

得分

评卷人

（17）（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，PC=AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．

（Ⅰ）求证：

平面EAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）求二面角P-AC-E的余弦值；

（Ⅲ）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

得分

评卷人

（18）（本小题满分13分）

设数列{an}满足：

a1=1，an+1=3an，n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn–b1=S1•Sn，n∈N*．

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=bn•log3an，求数列{cn}的前n项和Tn．

得分

评卷人

（19）（本小题满分14分）

已知椭圆C：

（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为

b．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：

直线BM与直线AN的交点G在定直线上．

得分

评卷人

（20）（本小题满分14分）

设函数f（x）=（x–1）2+alnx，a∈R．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f

（1））处的切线与直线x+2y–1=0垂直，求a的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2且x1＜x2，求证：

f（x2）＞

–

ln2．

南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测

（一）

数学试卷（文史类）参考答案2015.04

一、选择题：

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

A

C

C

A

D

B

D

B

二、填空题：

（9）60；（10）9；（11）2500；

（12）x–2y+6=0；（13）2

；（14）0

（16）解：

（Ⅰ）解：

在△ABC中，由正弦定理

=

=

，

得

=

，…………2分

因为C=2A，所以

=

，即

=

，

解得cosA=

．…………4分

在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2–2bccosA，

得b2–

b+7=0，解得b=3，或b=

．

因为a，b，c互不相等，所以b=

．…………7分

（Ⅱ）∵cosA=

，∴sinA=

，

∴sin2A=2sinAcosA=

，cos2A=2cosA2–1=–

，…………11分

∴cos（

–2A）=

cos2A+

sin2A=

．…………13分

（17）解：

（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．

∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=

．

∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．

又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．

∵AC⊂平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC．…………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC，

∴AC⊥CP，AC⊥CE，

∴∠PCE即为二面角P-AC-E的平面角．…………6分

∵PC=AB=2AD=2CD=2，

∴在△PCB中，可得PE=CE=

，

∴cos∠PCE=

=

．…………9分

（Ⅲ）作PF⊥CE，F为垂足．

由（Ⅰ）知平面EAC⊥平面PBC，

∵平面平面EAC∩平面PBC=CE，

∴PF⊥平面EAC，连接AF，

则∠PAF就是直线PA与平面EAC所成角．…………11分

由（Ⅱ）知CE=

，∴PF=

，

∴sin∠PAF=

=

，

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为

．…………13分

（18）解：

（Ⅰ）∵an+1=3an，∴{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列，

∴通项公式为an=3n–1．…………2分

∵2bn–b1=S1•Sn，∴当n=1时，2b1–b1=S1•S1，

∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．…………4分

∴当n＞1时，bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1，∴bn=2bn–1，

∴{bn}是公比为2，首项a1=1的等比数列，

∴通项公式为bn=2n–1．…………7分

（Ⅱ）cn=bn•log3an=2n–1log33n–1=（n–1）2n–1，…………8分

Tn=0•20+1•21+2•22+…+（n–2）2n–2+（n–1）2n–1……①

2Tn=0•21+1•22+2•23+……+（n–2）2n–1+（n–1）2n……②

①–②得：

–Tn=0•20+21+22+23+……+2n–1–（n–1）2n

=2n–2–（n–1）2n=–2–（n–2）2n

∴Tn=（n–2）2n+2．…………13分

（19）解：

（Ⅰ）设F的坐标为（–c，0），依题意有bc=

ab，

∴椭圆C的离心率e=

=

．…………3分

（Ⅱ）若b=2，由（Ⅰ）得a=2

，∴椭圆方程为

．…………5分

联立方程组

化简得：

（2k2+1）x2+16kx+24=0，

由△=32（2k2–3）＞0，解得：

k2＞

由韦达定理得：

xM+xN=

…①，xMxN=

…②…………7分

设M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），

MB方程为：

y=

x–2，……③

NA方程为：

y=

x+2，……④…………9分

由③④解得：

y=

…………11分

=

=

=1

即yG=1，

∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上．…………14分

（20）解：

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…………1分

f（x）=2x–2+

=

，…………2分

∵曲线y=f（x）在点（1，f

（1））处的切线与直线x+2y–1=0垂直，

∴f

（1）=a=2．…………4分

令g（x）=