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初等数论论文

初等数论数学思想对高中数学竞赛的指导

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摘要：

初等数论是研究数的规律，及整数性质的数学分支，它是数论的一个最古老的分支。

在高中数学中引入初等数论，有利于拓展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值，应用价值，文化价值的认识。

初等数论中的数学思想对高中数学竞赛也具有很强的指导作用。

关键词：

初等数论数学竞赛数学思想应用

数论，这门古老而又常新的学科既是典型的纯粹数学，又是日益得到广泛应用的新“应用数学”.

在数论中，初等数论是以整除理论为基础，研究整数性质和方程（组）整数解的一门数学学科，是一门古老的数学分支.它展示着近代数学中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧.目前，初等数论在计算机科学、代数编码、密码学、组合数学、计算方法等领域内得到了广泛的应用，成为计算机科学等相关专业不可缺少的数学基础.

数论的魅力在于它可以适合小孩到老人，只要有算术基础的人均可以研究数论.初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，其中蕴含了丰富的数学思想方法

1转化思想方法

转化是一种常用的数学思想方法.转化是指问题之间的相互转化，或者将问题的一种形式转化为另一种形式，或者把复杂问题转化成较简单问题、将陌生问题转化为已解决或熟悉的问题[1].通过恰当的化归转化不仅能够顺利地解决原问题，而且有助于培养学生科学的思维习惯.

整除是数论中的基本概念，此问题是数论中比较简单的一种类型.有时我们需要判断几个分式的和是一个整数，这样直接求其是整数比较困难，因而常常化为整除问题解决.

例2（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程

的正整数

的组数是（）

0

1

2

3

4

解（质因数分解法）由方程

得

.

为整数，

且

.将

和

代入方程

得

，即

，

，

.从而得

，

.故满足联立方程是正整数组

有两个，即

和

，应选

.

这说明数学问题上的许多问题，都可以转化为整除问题.另外，整除问题也可以转化为其它问题.我们知道同余理论是初等数论的核心，有时整除问题转化为同余问题解决，思路更清晰、自然、计算更简洁.

例3试判断

能被3整除吗？

解

，

，

，

，

不能被3整除.

2整体化思想方法

Euler定理[2]

则

.

这是初等数论的一个基本定理，有着广泛的应用.其证明如下：

若

是模

的一个简化剩余系，则

也是模

的一个简化剩余系，于是

，即证.

Euler定理的证明虽然十分简单，但其中包含了初等数论中常用的一个解题方法，即“整体思想”.整体化思想方法，就是把单个对象始终放在整体对象构成的系统中加以考虑，通过系统对象之间的整体联系或整体特征，寻求原问题的解决途径[3].

在解题过程中，常常运用这一种思路：

以完全剩余系为例，即

及

，

，

，

为模

的两个完全剩余系，则

恰与

，

，

，

中的某一数同余，于是

与

同余，由此找到证明的途径.

3配对思想方法

配对思想方法，就是将整体对象中的满足某种特性的对象进行组合配对，再利用配对后的特性解决原问题[1].

定义[2]欧拉函数

是定义在正整数集上的函数，

等于序列

中与

互素的正整数的个数.

定义[2]在模

的每个互素剩余类

中任取一数

，则

所有的数

所组成的集，叫做模

的一个简化

剩余系.

定义[2]在

个与模

互素的剩余类中各取一个数，称这

个数为模

的简化剩余系.

4矩阵的思想方法

初等数论课本上，利用整数初等变换，仅研究了两个整数的最大公约数和最小公倍数的问题，略显不够深入.再此基础上，我们可以通过构造整数矩阵，一矩阵的整数的初等变换为工具，得到了求

个整数的最大公约数与最小公倍数的方法[5].

利用初等变换求整数的最大公约数

命题设

则存在可逆矩阵

使得

.

证明

当

时,可设

由辗转相除法知：

……

于是，令

则

命题成立;

假定

时，命题成立.则当

时，由假定知，存在

阶可逆方阵

，使得：

，其中

，从而有

又由

知，存在二阶可逆方阵

，使得

.

其中

于是令

，则

即当

时，命题成立；由归纳法原理知，当

时，命题成立.（证毕）

推论设

，为不全为0的整数，则存在

上的

阶可逆矩阵B，使

.

且

是

的最大公因数，B是一些初等矩阵的乘积.

B的求法如下：

将

下面写一个

阶单位矩阵，构成一个

矩阵，再对

施行初等变换，当

的第一行变成

时，则下面的单位阵变化成了

.

即：

初等数论中蕴含了丰富的数学思想方法，其知识结构和数学思想方法形成一个经纬交织，融会贯通的知识网络，需要我们去挖掘、揭示.因此在初等数论的教学过程中，应充分利用教材和习题的教育功能，注重展示解决问题的思路、思维过程，体现解决问题策略与方法的多样性，引导沟通知识间的内在联系，突出问题的背景和思想方法的阐述，注重思想方法的总结、提炼，把数学知识和相关数学思想方法有机联系起来，使学生从整体上把握初等数论的理论体系，理解数学思想方法的内涵，开阔思维视野，健全认知结构.

为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下:

我们用

表示整数

…,

的最大公约数.用[

…,

]表示

…,

的

最小公倍数.对于实数

用[

]表示不超过

的最大整数,用{

}=

-[

]表示

的小数部分.对于整数

若

则称

关于模

同余,记为

.对于正整数

用

表示{1,2,…,

}中与

互质的整数的个数,并称

为欧拉函数.对于正整数

若整数

中任何两个数对模

均不同余,则称{

}为模

的一个完全剩余系；若整数

中每一个数都与

互质,且其中任何两个数关于模

不同余,则称{

}为模

的简化剩余系.

定理1设

的最大公约数为

则存在整数

使得

.

定理2

（1）若

2,…,

则

；

（2）若

则

；

（3）若

且

则

；

（4）若

（

）,

M=[

],则

（

）.

定理3

（1）

；

（2）

；

（3）设

为素数,则在

质因数分解中,

的指数为

.

定理4

（1）若{

}是模

的完全剩余系,

则{

}也是模

的完全剩余系；

（2）若{

}是模

的简化剩余系,

则{

}是模

的简化剩余系.

定理5

（1）若

则

.

（2）若

的标准分解式为

其中

为正整数,

为互不相同的素数,则

.

对于以上结论的证明,有兴趣的读者可查阅初等数论教材.

例1设正整数

的最大公约数为1,并且

（1）,证明:

是一个完全平方数.

证:

设

其中

.由于

故有

.由

（1）得

（2）

由

（2）知,

又

∴

.同理可证

从而有

设

为正整数,代入

（2）得

（3）

由（3）知

又

.∴

.∴

.故成立.

例2设

为大于1的奇数,

…,

为给定的整数.对于{

}的排列

记

试证存在{

}的两个不同的排列B、C,使得

.

证:

假设对于任意两个不同的排列B、C,均有

不整除

.令X为{

}的所有排列构

成的集合,则{

}为模

的一个完全剩余系,从而有

（1）

又

=

（2）

而

为大于1的奇数,所以由

（1）,

（2）得

.

又

所以

矛盾.故,存在B、C

B

C,使得

.

例3求三个素数,使得它们的积为和的5倍.

解:

易知

中必有一个为5,不妨设

则有

从而有

.

因为

与

均为正整数,不妨设

则有

或

从而知

.故所求的三个素数为2,5,7.

例4设

为正奇数,证明:

整除

.

分析因为

.故需证

注意到当

为奇数时,

可因式分解,因此可将

中的

个数两两配对.

证

=

而当

为奇数时,

从而知

（1）

又

=

∴

（2）

由

（1）

（2）知,

故结论成立.

例5（1990年高中联赛试题）设

且

具有下列性质:

（1）对任何

；

（2）

.

试证:

中的奇数的个数是4的倍数,且

中所有数的平方和是一定数.

证:

对于

令

.

则

中恰含

中的一个元素.设

中有

个奇数

…,

有

个偶数

这里

=

.由题设知,10080=

=

+

=

2

+

=

.

∴

（1）

由于

为偶数,所以

又

所以

即

是4的倍数.

=

=

+

=

+

=

+

（2）

将

（1）代入

（2）得

=1349380.

例6令

表示前

个质数之和,即

…,证明:

对任意的正整数

区间[

]中包含有一个完全平方数.

分析:

设质数从小到大依次为

…,要结论成立,只要存在正整数

使得

只要

只要

只要

只要

只要

（1）

证:

直接验证易知[

],[

],[

],[

]中都含有1个完全平方数.当

时,我们证明:

（1）式成立.为此,令

则

=

.

当

时,

为奇数,故

=

故当

时,数列

为递增数列.由于

=

=32>

所以当

时,

.故当

时

（1）式成立.

例7求出不定方程

（1）的全部正整数解.

解当

时,易得

；当

时,

（1）式左边为偶数,故右边也是偶数,所以

为奇数.当

时,由

得

.当

时,由

得

.

当

且为奇数时,

故

即

因此

所以

.

另一方面,由二项式定理知

=A（

+

.

其中A为整数,所以

故

因此

故有

.

这说明当

时,方程

（1）无解,故方程

（1）的解为

例8证明

能被1984整除.

证

993

=

=

∴

.∴

.

例9用1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字的7位数,证明:

这些7位数中没有一个是另一个的倍数.

证:

若有两个7位数

使得

（1）

由于

均是由1,2,...,7所排成,故

由

（1）得

∴

即

这与

矛盾,故结论成立.

例10若一个正整数的标准分解中,每个素约数的幂次都大于1,则称它为幂数,证明:

存在无穷多个互不相同的正整数,它们及它们中任意多个不同数的和都不是幂数.

证:

将全体素数从小到大依次记为

….

令

当

时,

下证:

…,

…合题意.

事实上,

但

所以

不是幂数.又对于

=

=

其中A为正整数.因为

所以

在

的标准分解中的幂次为1,因而不是幂数.

在中学数学中，整数是特殊常用的一类数.而初等数论是研究整数的性质的、与算术有密切关系的一门学科，可以说初等数论是算术的延续.初等数论问题更是数学竞赛试题多发区.而对于整除性质和抽屉原理的考察一直是中学数学竞赛中应用范围最广的核心内容,作为高中教