工程流体水力学第四章习题答案.docx

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工程流体水力学第四章习题答案

第四章理想流体动力学和平面势流答案

11

4-1设有一理想流体的恒定有压管流，如图所示。

已知管径di—d2,d2-D,

22

过流断面1-1处压强pi＞大气压强pa。

试按大致比例定性绘出过流断面1-1、2-2间的总水头

线和测压管水头线。

解：

总水头线、测压管水头线，分别如图中实线、虚线所示。

罚21世

解：

因u

u1

c2gh，所以

c2gh,

129.80.05m/s

0.99m/s

U2

c.2g0

129.80.08m/s

1.25m/s

U3

c.2gh3

129.80.10m/s

1.40m/s

过流断面上的流速分布如图所示。

4-4设有一附有空气-水倒U形压差计装置的皮托管，来测定管流过流断面上若干点

的流速，如图所示，已知管径d=0.2m，各测点距管壁的距离y及其相应的压差计读数h分

别为：

y=0.025m,h=0.05m;y=0.05m,h=0.08m;y=0.10m,h=0.10m。

皮托管校正系数c=1.0，试求各测点流速，并绘出过流断面上流速分布图。

yx

4-5已知Ux—2,uy—2,uz0,试求该流动的速度势函数，并检查速度

xyxy

势函数是否满足拉普拉斯方程。

解：

（1）在习题3-19中，已判别该流动为有势流，所以存在速度势函数。

duxdxUydy2y2dx―dy

xyxy

ydxxdy

22

xy

1C）2

d（$）

x

积分上式可得

yarctan二

x

2

⑵「

x

2

—（」）

xxy

2

y

2xy

2\2

（xy）

满足拉普拉斯方程。

-^）

22t

xy

2xy

2xy

（xy）_2xy2

4—6已知Ux

迹线方程。

解：

⑴在习题线方程即为流线方程。

（x2

2、2

y）

3-8中,

dUxdy

Uydx

Uy

uz0，试求该流动的流函数

已判别该流动满足连续性方程，所以存在流函数

y~2x

和流线方程、

。

等流函数

^^dy

xy

积分上式可得

ln（x2

（2）迹线方程

dx

y2）

Ux

dy

U：

，

dx

—dyyd（x2

2

x

2

x

2

y

dx

（x2ydy

22

xy

积分上式可得

In（x2

4—7已知

）xdx

xdx

y

2

y

（x2

x2

dy

x

~22

xy

y2）ydy

22、

d（xy）

2

x

y2）

ux=—ky,uy=kx,形状（k是不为零的常数）。

Uz=0，

试求该流动的流函数和流线方程、

迹线方程及其

解：

流函数和流线方程：

d

k

uxdyuydxkydykxdx[d（x

y2）]

积分上式可得

2x

2

y

迹线方程：

dx

业

dz

22

-ky

2

kx

0

xy

r,

z

C

由上式可知，流线为平行于Oxy平面的同心圆族，由于恒定流的流线与流线上液体质点的

迹线相重合，所以迹线亦是同心圆族，液体质点作圆周运动。

4—8已知Ux=4x,Uy=—4y,试求该流动的速度势函数和流函数，并绘出流动图形。

解：

由习题3—8和3—19,可知该流动存在流函数和速度势函数。

）齐sinf（）

ux4x,-

uy

4y

x

y

d

uxdxuydy

4xdx

4ydy

2d（x2

y2）

积分上式可得：

2（x2

y2）

ux4x,一

uy

4y

y

x

d

uxdyuydx

4xdy

4ydx

4d（xy）

积分上式可得

4xy

流动图形如题

4—16图所示。

4—9已知

Q=a（x2—y2

）,式中

a为实数且大于零。

试求该流动的流函数

式中M是不为零的常数。

试求该流动的流函

M

COS

2

——df（）cosdf（

2n

上式对p取偏导数，则

M

2sinf（）u

2n

又u2sin

2n

由上两式可得f'（）0,艮卩f（）=常数。

因此可得

M

sin

2n

上述流动即为偶极流。

流动图形可参照题4—10图。

4—11已知流函数=3x2y—y3,试判别是有势流还是有涡流。

证明任一点的流速大小

仅取决于它与坐标原点的距离p。

解：

ux

3x3y,uy6xy

yx

uxy

uy

6y,6y，所以是有势流。

x

22222、22222、24

uuxuy9（xy）36xy9（xy）9

2

u3，所以任一点的流速大小仅取决于它与坐标原点的距离。

0,k是不为零的常数，如图所

k

4-12设水平面流场中的速度分布为UU,U

示。

试求流场中压强p的分布。

设p=g,Uj=0处的压强为p书水的密度为p。

式可知，压强p随半径p的减小而降低。

4-13水桶中的水从桶底中心小孔流出时，常在孔口上面形成旋转流动，水面成一漏斗

k

形，如图a所示。

流速场在平面内，如图b所示，可表示为uu,Up=0,k是不为零

的常数。

试求自由水面曲线的方程式。

解：

该流体流动除原点（p=0）外，是有势流。

因是有势流，理想流体恒定流伯努利方程式适用于整个有势流，流动剖面如图所示。

当p时，水面高程为h;另取自由表面上任意点M，对上述两点写伯努利方程，可得

k

式中k是不为零的

4-14直角（90°）弯头中的流动，设为平面势流，如图所示。

已知弯头内、外侧壁的曲率半径「1、「2分别为0.4m和1.4m，直段中均匀来流的流速为10m/s,流体密度为1.2kg/m3。

试求弯头内外侧壁处的流速和内外侧壁的压强差。

解：

由例4—6（如题4-14图所示）知弯段内的流速分布为u

（注：

外侧压强大）

4-17兰金（Rankine）椭圆。

均匀直线流沿x轴方向的速度为u；源流强度与汇流强度均为q,汇点置于x轴上，位于源点的右边，他们与坐标原点0的距离均为a。

如果将上述

组合成的复合势流的流函数=0时的流线方程，用固体边界来代替，这个轮廓线称兰金椭

圆，如图所示。

试求该椭圆长半轴I、短半轴b的方程。

uy

q

（arctan—

2nx

y

a

yarctan）

xa

速度分布为

ux

u

q

（xa）

q（xa）

2n

（xa）2

2

y

2n（xa）y

uy

q

y

q

y

2n

（x

\22

a）y

2n

22

（xa）y

因为驻点速度为零，

即

ux0,

Uy

0解上两式可得驻点位置

（Xs,ys或s,

ys0。

s）为

qaun'

sa』l

Vaun

（即为椭圆长半轴）

s0,

n。

通过驻点的流线的流函数

s，对于

12

n,sin

sinn

0,则由上述复合势流

的流函数表示式可得s

usinn

q

n

qn0。

所以

0的流线方程即为

2n

2n

Xs

uy2（arctan-^arctan-^）0。

如果用固体边界来代替上式所表达的流线，这

2nxaxa

个物体的轮廓线即为兰金椭圆，它的短半轴b，可将x0，yb代入上式，由试算求得。

实际流体绕经上述物体时，在其后尾部将形成涡流（在第八章中要介绍），与上述流动的

情况不同，所以不能按上述方法求解。

但是，在物体的前端部，由于边界层（在第八章中要介绍）很薄，且流动处于加速区，按上述理论推算与实测结果很相符合。

4—18源流和汇流的强度q均为60m2/s，分别位于x轴上的（一a,0）、（a,0）点，a为3m。

计算通过（0,4）点的流线的流函数值，并求该点的流速。

—（arctan—2nxa

通过（0,4）点的流线的流函数值为

3044

（arctanarctan）

n33

（0,4）点的流速为

xa

22y

y

解:

通过

Ux

Uy

_q

2n（xa）

qr

yarctan）xa

60y

（arctan

2/x3

yarctan）

x3

2/（xa）2

30—[2

n

4arctan一

3

n]12.29

J

22」（xa）y

y

60

222]y（xa）y

3_

2n324232

60（4

~~（72"

3

2）m/s2.29m/s

4

4

）m/s0m/s

3242

4—19向右的水平均匀直线流和顺时针的环流及源流（均在原点）相叠加，如图所示。

试求用直角坐标形式来表示的流速分量和驻点位置。

解:

uy——In（x2

4n

y2）—arctan‘

2nx

驻点的

Ux

uy

2y

22、

2n（xy）

亦yqx）

2x

4nx2y2）

q（y）]qyx

2n（x2y2）2n*2y2）

uxuy0，所以

Ux

yqx

2n（y2）

（qxy）

2nX2y2）

Uy

qyx

22~

2nxy）

2

[qxx]

q

2n[（—x）2]2n

q

q（q）

4-20设一均匀直线流绕经一圆柱体，如图所示。

已知圆柱体中心位于坐标原点半径为ro=im；均匀直线流速度u=3m/s。

试求x=—2m,y=1.5m点处的速度分量和（Ux,Uy）。

解：

（0,0）,（up,u）

22\xy

arctan—

x

..

（2）21.52m2.5m

15

arctan—143.13°（第二象限）

2

1

3cos143.13°（12）m/s2.02m/s

2.52

usin（1

由图中可知,

180°

uxucosusin

1

3sin143.13°（12）m/s2.09m/s

2.52

180°143.13°36.87°，所以

'（u、u均取正值）

ux=（2.02?

cos36.87°2.09?

sin36.87°）m/s=2.87m/s

uyucosusin（2.09cos36.87°2.02sin36.87°）m/s0.46m/s

4-21设一均匀直线流绕经一圆柱体，如图所示。

已知圆柱表面上的流速分布为u=—

2usin,up=0,u是均匀直线流速度。

试证明作用于圆柱表面上的压强在x轴及y轴方向的