人教版九年级数学反比例函数知识点归纳.docx
- 文档编号:3127932
- 上传时间:2022-11-17
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:326.19KB
人教版九年级数学反比例函数知识点归纳.docx
《人教版九年级数学反比例函数知识点归纳.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教版九年级数学反比例函数知识点归纳.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
人教版九年级数学反比例函数知识点归纳
反比例函数知识点归纳和典型例题
(一)知识结构
(二)学习目标
k
——
1•理解并掌握反比例函数的概念,能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式盂(k为常数,上工°),
能判断一个给定函数是否为反比例函数.
2•能描点画出反比例函数的图象,会用代定系数法求反比例函数的解析式,进一步理解函数的三种表示方法,即列表法、解析式法和图象法的各自特点.
k
y——
3•能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数工(k为常数,)的函数关系和性质,能利用这些
函数性质分析和解决一些简单的实际问题.
4•对于实际问题,能找出常量和变量,建立并表示函数模型,讨论函数模型,解决实际问题”的过程,体会
函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.
5•进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点,进一步认识数形结合的思想方法.
(三)重点难点
1•重点是反比例函数的概念的理解和掌握,反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用.
2•难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握.
二、基础知识
(一)反比例函数的概念
k
y=—
i•尢(疋齐°)可以写成$三总(店。
)的形式,注意自变量x的指数为一1,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数技沁这一限制条件;
k
y——j
2•尢(丘匸°)也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比
例函数的解析式;
严二—
3.反比例函数“的自变量疋二-,故函数图象与x轴、y轴无交点.
(二)反比例函数的图象
k
在用描点法画反比例函数"的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称)
(三)反比例函数及其图象的性质
k
严二—
1•函数解析式:
.亠(11丿)
2.自变量的取值范围:
人*?
y随x的增大而增大.
当;时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,
(3)对称性:
图象关于原点对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(一丄,「在双曲线的另一支上.
图象关于直线丁r对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(二,-;)和(一^,一主)在双曲线的另一支
上.
4.k的几何意义
y-—
如图1,设点P(a,b)是双曲线兀上任意一点,作PA丄x轴于A点,PB丄y轴于B点,则矩形PBOA
1^-1―险|
的面积是丨丨(三角形PAO和三角形PBO的面积都是2).
如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC丄PA的延长线于C,则有三角
2jk
形PQC的面积为.
5•说明:
(1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个
(2)直线」:
与双曲线'的关系:
当'亠.时,两图象没有交点;当'时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.
(3)反比例函数与一次函数的联系.
(4)实际问题与反比例函数
1.求函数解析式的方法:
(1)待定系数法;
(2)根据实际意义列函数解析式.
2.注意学科间知识的综合,但重点放在对数学知识的研究上.
(5)充分利用数形结合的思想解决问题.
三、例题分析
(1)下列函数中,y是x的反比例函数的是().
A.y=3x
C.3xy=1
(2)下列函数中,y是x的反比例函数的是().
答案:
(1)C;
(2)A.
2.图象和性质
(1)已知函数_是反比例函数,
1若它的图象在第二、四象限内,那么k=
②若y随x的增大而减小,那么k=
则直线,'''不经过的象限是().
(5)若P(2,2)和Q(m,卫)是反比例函数'“图象上的两点,
则一次函数y=kx+m的图象经过().
().
化的大小关系是().
55
£_fi-A二一^=~-
(3)下列四个函数中:
①」…;②」-':
③;④“.
y随x的增大而减小的函数有().
A.0个B.1个C.2个D.3个
P二—
(4)已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点,则当x>0时,这个反比例函数的
函数值y随x的增大而(填增大"或减小”.
答案:
(1)A;
(2)D;(3)B.
注意,(3)中只有②是符合题意的,而③是在每一个象限内”y随x的增大而减小.
(1)若°与••成反比例,T与-:
成正比例,则y是z的().
A•正比例函数B•反比例函数C•一次函数D•不能确定
(2)若正比例函数y=2x与反比例函数兀的图象有一个交点为(2,m),则m=,k=,
它们的另一个交点为•
(3)已知反比例函数的图象经过点i:
反比例函数’-的图象在第二、四象限,求巴的值.
朋+1
/二1
(4)已知一次函数y=x+m与反比例函数工(朋芒一1)的图象在第一象限内的交点为P(x0,3)•
1求x0的值;②求一次函数和反比例函数的解析式.
y逢克)
(5)
已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的
^为了预防非典”某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.
含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例,药物燃烧完后,y与x成反比例(如图所示),现测得药物8分钟燃
毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克.请根据题中所提供的信息解答下列问题:
1药物燃烧时y关于x的函数关系式为,自变量x的取值范围是;药物燃烧
后y关于x的函数关系式为.
2研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过
分钟后,学生才能回到教室;
3研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的
病菌,那么此次消毒是否有效?
为什么?
答案:
(1)B;
(2)4,8,(一1,一二);
J.
(3)依题意,”、二1J且;,:
,解得;.
Xq十空—3?
屯—
(4[①依题意,〔坯5+1"解得
3
2一次函数解析式为」'',反比例函数解析式为'•-.
3
V=—X
(5)①,-,mw,
483
—-3x-=1325>10
②30:
③消毒时间为--(分钟),所以消毒有效.
5•面积计算
3
y--~
(〔)☆如图,在函数'的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向x轴、y轴作垂线,过每一点所
作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为禺、耳,则()•
A•心*B•図<敢匚屯C.&皿7D沁
I
-—
(2)☆如图,A、B是函数-的图象上关于原点0对称的任意两点,AC//y轴,BC//X轴,△ABC的面积
S,则()•
m
尸二—
(3)如图,Rt△AOB的顶点A在双曲线■-上,且S△AOB=3,求m的值.
y-~
(4)☆已知函数工的图象和两条直线y=x,y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点,过P1分别作x
轴、y轴的垂线P1Q1,P1R1,垂足分别为Q1,R1,过P2分别作x轴、y轴的垂线P2Q2,P2R2,垂足分别
为Q2,R2,求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长,并比较它们的大小.
1
y~—
(5)如图,正比例函数y=kx(k>0)和反比例函数■-的图象相交于A、C两点,过A作x轴垂线交x轴
于B,连接BC,若△ABC面积为S,贝US=
第(5)题图
第(6)题图
-与直线」—)在第四象限的交点,AB丄x轴于B
y
(6)如图在Rt△ABO中,顶点A是双曲线
且S△ABO=2.
①求这两个函数的解析式;
②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积.
(7)
/IX1
C
F
B
n)
0
AF八
如图,已知正方形OABC的面积为9,点0为坐标原点,点A、C分别在x轴、
7
y轴上,点B在函数
k
y~—
■'(k>0,x>0)的图象上,点P(m,n)是函数(k>0,x>0)的图象上任意
一点,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为E、F,设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S.
①求B点坐标和k的值;
S'=一
②当[时,求点P的坐标;
3写出S关于m的函数关系式.
答案:
(1)D;
(2)C;(3)6;
(4)「宀-,矩形OQ1P1R1的周长为8,OQ2P2R2的周长为一,前者大.
(5)1.
3y-~—_0
(6)①双曲线为上,直线为」';
②直线与两轴的交点分别为(0,一》)和(-2,0),且A(1,一?
)和C(一?
,1),
因此一二匚面积为4.
(7[①B(3,3),k=9;
S严(缶-
②2时,E(6,0),戈
S=9-l-3«=9-—
3;二山
仇.综合应用
y=—
(1)若函数y=k1x(k1旳)和函数■■-(k2老)在同一坐标系内的图象没有公共点,则k1和k2().
①求反比例函数和一次函数的解析式;
①求点A、B、D的坐标;
②求一次函数和反比例函数的解析式.
限C、D两点,坐标轴交于A、B两点,连结OC,OD(O是坐标原点).
①利用图中条件,求反比例函数的解析式和m的值;
②双曲线上是否存在一点P,使得△POC和厶POD的面积相等?
若存在,给出证明并求出点P的坐标;若
不存在,说明理由.
(5)不解方程,判断下列方程解的个数.
l+4r=0
--Ax-0
②
答案:
(1)D•
2y=——
(2[①反比例函数为",一次函数为」"-;
②范围是八—或「m-.
(3[①A(0,T),B(0,1),D(1,0);
2
y=—
②一次函数为:
■■1■,反比例函数为•■-.
4
(4[①反比例函数为-;,讥二-;
②存在F(2,2).
I
尹二—
(5[①构造双曲线.■■-和直线」“,它们无交点,说明原方程无实数解;
1
JP=—
②构造双曲线-和直线」4',它们有两个交点,说明原方程有两个实数解.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 人教版 九年级 数学 反比例 函数 知识点 归纳