福建省永春县第一中学届高三下学期第2次校质检数.docx
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福建省永春县第一中学届高三下学期第2次校质检数
永春一中2017届高三年第2次校质检数学(理)科试卷
考试时间:
120分钟试卷满分:
150分命题教师:
刘文哲
第I卷
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合
,
,则
等于( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)设复数z满足
(i是虚数单位),则复数z的虚部是()
(A)
(B)
(C)
(D)
(3)已知变量X服从正态分布N(1,1),下列概率与
相等的是()
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)等比数列
的公比
,前n项和为
,若
,则( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(5)执行如图所示的程序框图,如果输入的变量
,则输出的S的取值范围是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
第(5)题图第(6)题图
(6)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:
寸),若其体积为11.7(立方寸),
的值取3,则图中的x的值为( )
(A)1.4(B)1.6(C)1.8(D)2
(7)
展开式中的常数项是( )
(A)20(B)22(C)36(D)34
(8)已知向量
,
,
满足
,
,且
,则
的最大值为( )
(A)2(B)
(C)3(D)4
(9)已知实数
,
满足
,若
的最大值为9,则实数
的值是()
(A)2(B)
(C)1(D)
(10)过双曲线
的一个焦点F作一条渐近线的垂线,与两条渐近线分别交于点A、B。
若
,则此双曲线的离心率为( )
(A)
(B)
(C)
(D)2
(11)已知四面体
中,
,
,
,
,则四面体
的外接球的表面积为()
(A)
(B)
(C)
(D)
(12)若
是定义在
上的函数,当
时,
,且当
时,
,则方程
的实数根的个数为()
(A)4(B)3(C)2(D)1
第II卷
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分。
(13)若
,且
是第三象限角,则
.
(14)在
中,AB=AC=3,点D、E是边BC的三等分点,若
,则
的大小为________.
(15)6位同学站成一排合影留念,其中甲、乙、丙恰有两人相邻的概率为________.
(16)设
,
,且
,则a2017=________.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
设△ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知
.
(I)求角A的大小;(II)若
,△ABC面积
,求
值.
(18)(本小题满分12分)
分组
频数
频率
[50,70)
[70,90)
12
[90,110)
32
0.4
[110,130)
0.3
[130,150]
合计
1
随机抽调某校高三年级80位学生的一次模拟考数学
成绩,按成绩由低到高分为五组并制成频率分布表,如右
表所示。
已知第一组、第五组、第二组的频率成等差数列。
(I)请补全频率分布表,并由样本数据估计该次
模拟考数学成绩的中位数m与平均数
;
(II)规定成绩在
和
分别为良好
和优秀,将频率视为概率,从高三年级学生中随机抽取3
人,成绩为良好或优秀的人数学记为X,求X的分布列和
数学期望。
(19)(本小题满分12分)
如图,四棱柱
的底面是边长为2的
菱形,
平面
。
(I)求证:
平面
平面
;
(Ⅱ)若
,二面角
为
,求直线
与平面
所成角的正弦值。
(20)(本小题满分12分)
已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
,
,点
在椭圆上。
(I)求椭圆的方程;
(II)设椭圆的右顶点为A,过左焦点
且与x轴不重合的直线l与椭圆相交于Q、R两点,直线AQ、AR分别与直线
交于点M、N。
问:
是否为定值?
若是,求出此定值;若不是,请说明理由。
(21)(本小题满分12分)
已知函数
,
(
,e为自然对数的底数).
(I)当
时,求
的单调区间;
(Ⅱ)若对任意给定的
,在
上总存在两个不同的
(
),使得
成立,求a的取值范围.
请考生在第(22)(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
(22)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为
(t为参数),以O为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知
,设直线l与曲线C交于A、B两点,求
的值.
(23)(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
设函数
.
(Ⅰ)当
时,求不等式
的解集;
(Ⅱ)当
时,若
使
成立,求m的取值范围.
永春一中2017届高三年第2次校质检数学(理)科答案
一、选择题:
(每小题5分,共60分)
(1)D
(2)B(3)A(4)C(5)B(6)D
(7)D(8)C(9)C(10)A(11)A(12)B
二、填空题(每小题5分,共20分)
(13)
(14)
(15)
(16)
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
解:
(I)∵
由正弦定理得
……………………………………2分
∴即
∴
…………………………………………4分
∵
∴
………………………………………6分
(II)由余弦定理得
∴
………………8分
分组
频数
频率
[50,70)
4
0.05
[70,90)
12
0.15
[90,110)
32
0.4
[110,130)
24
0.3
[130,150]
8
0.1
合计
80
1
∵
∴
………………………………10分
∴
∴
………………………12分
(18)(本小题满分12分)
解:
(I)频率分布表如右表所示……………………2分
由样本数据估计该次模拟考数学成绩:
中位数
平均数
………………6分
(II)依题意可知
……………………………………………………………7分
X
0
1
2
3
P
的分布列为:
……………………………11分
……………………………………………………………12分
(19)(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)证明:
∵
平面
,
平面
∴
………1分
∵四边形
为菱形∴
………………………………………2分
∵
∴
平面
………………………………3分
又∵
平面
∴平面
平面
……………………4分
(II)取AB中点E,则
,分别以DE,DC,DA1
为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系D—xyz,
设
,则
,
,
……………………5分
∴
,
设平面
的法向量为
则
即
取
……………………7分
∵平面
的一个法向量为
∴
即
,解得
……………………9分
∴
,
………………………………………………10分
∴
………………………………11分
∴直线
与平面
所成角的正弦值为
。
……………………………12分
(20)(本小题满分12分)
解:
(I)由已知得,
,
,因为点
在椭圆上
∴
……………………………………2分
∴
,
∴椭圆的方程为
…………………………4分
(II)
为定值
,理由如下:
由(I)知
,设
,代入椭圆方程得
设
,则
……………6分
∵
,
∴
,
…………………………………8分
∴
,
∴
∵
∴
∴
为定值
……………………………………12分
(21)(本小题满分12分)
解:
(I)当
时,
,
……………………1分
由
得
;由
得
故
的单调递增区间为
,单调递减区间为
.………………………3分
(II)∵
∴
∴当
时,
,函数
单调递增;
当
时,
,函数
单调递减.
∵
,
,
∴函数
在
上的值域为
.………………………………………………5分
当
时,
为减函数,不合题意;
当
时,
,令
得
依题意得
,即
……………………………………………6分
此时,当
变化时,
,
的变化情况如下:
x
-
0
+
单调递减
最小值
单调递增
,
对任意给定的
,要在区间
上总存在两个不同的
(
),使得
成立,则a满足下列条件:
…………………8分
令
则
由
得
当
时,
,函数
单调递增;
当
时,
,函数
单调递减.
所以,对任意
,有
,即
恒成立。
……10分
由
解得
……………………………………………11分
综上所述,a的取值范围是
.……………………………………………12分
(22)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
解:
(I)直线l的普通方程为
……………………………………………2分
曲线
的极坐标方程为
即
…………3分
∴所以曲线
的直角坐标方程为
即
…5分
(II)直线l的参数方程为
代入
得
设A,B对应的参数分别为
,则
………………8分
∴
………………10分
(23)(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
解:
(I)当
时,
∴f(x)的解集为
…………………………………………………………5分
(II)当
时,
(当且仅当
时,等号成立)……………………………………7分
∴若
使
成立,则
………………8
解得m的取值范围为
…………………………………………………………10分
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- 福建省 永春县 第一 中学 届高三 下学 质检