概率论与数理统计练习题.docx

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概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题

一、填空题

1设AB为随机事件，且P（A）=0.5,P（B）=0.6,P（BA）=0.8，贝UP（A+B）=__0.7_

2、丄眺常数日的两个无偏估计量，若D（g）

比&有效。

3、设A、B为随机事件，且P（A）=0.4,P（B）=0.3,P（AUB）=0.6，贝UP（AB）=_0.3_

4.设随机变量X服从［0,2］上的均匀分布，Y=2X+1，则D（Y）=4/3

5.

设随机变量X的概率密度是：

7.若随机变量X〜N（1，4），丫〜N（2，9），且X与丫相互独立。

设Z=X-丫+3,则Z〜N

（2,13）。

8.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7，P（A—B）=0.3，则P（AB）=0.6。

9.设随机变量X~N（1,4），已知①（0.5）=0.6915，①（1.5）=0.9332，则P=0.6247。

10.

随机变量X的概率密度函数f（x）〜1e"2'2xJ，则E（X）=1。

12.

则P（B）=0.4

x2/x4

_6，贝UJ=2

设A，B为随机事件，且P（A）=0.6,P（AB）=P（AB）,

1

13.设随机变量X~N（j；「2），其密度函数f（x）-——e

丁6兀

14.设随机变量X的数学期望EX和方差DX>0都存在，令丫=（X-EX）/、DX，则DY=1。

15.随机变量X与丫相互独立，且D（X）=4，D（Y）=2，贝UD（3X—2Y）=里4。

16.三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为-,-,-，则目标能被击

543中的概率是3/5—。

17.设随机变量X〜N（2，二2），且P{2

18.设随机变量X的概率分布为P（X=1）=0.2,P（X=2）=0.3,P（X=3）=0.5，则X的期望EX’

2.3。

19.设（X,Y）的联合概率分布列为

\

—1

0

4

—2

1/9

1/3

2/9

1

1/18

a

b

若X、丫相互独立，则a=1/6,b=1/9。

20.设随机变量X服从［1,5］上的均匀分布，则P空乞X乞4〉1/2。

21.设随机变量X〜N（1,4），则p{x>2}=0.3753。

（已知①（0.5）=0.6915，①（1.5）=0.9332）

22.若随机变量X〜N（0，4），丫〜N（—1，5），且X与丫相互独立。

设Z=X+Y-3,则Z〜上（—4,9）。

23.

设随机变量X服从参数为■的泊松分布，且3P〈X=2”.；=P〈X=4:

，则•=_6。

26.某人投篮，每次命中率为0.7，现独立投篮5次，恰好命中4次的概率是C；0.740.31

2

1（X七）

27.设随机变量X的密度函数f（x）=—1，且P：

X一/二P：

X乞/，则c=。

（2兀

28.随机变量X〜N（J4），则丫一x」〜N（0,1）。

2

29.设随机变量X〜N（2，9），且P{X_a}=P{X岂a}，则a=_2_。

30.称统计量现参数，的无偏估计量，如果E（"）=_J—

、选择题

1•设随机事件A与B互不相容，且P（A）P（B）0，则（D）

A.P（A）=1-P（B）B.P（AB）二P（A）P（B）C.P（A_B）=1D.P（AB）=1

A）。

2•将两封信随机地投入四个邮筒中，贝U未向前面两个邮筒投信的概率为（

A.P（AB）=P（A）P（B）B.P（AB）=1C.

P（AB）二P（A）P（B）

D.P（AB）=0

F（_a）=2F（a）-1

注：

答案应该为A,因B不严谨，A和B可以相等。

5•设X!

X2是来自总体X的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是（A）

23

_X13X2

55

和Y相互独立

方差为s2，则下列各式中不是统计量的是（

10.若A与B对立事件，则下列错误的为（A

11.设随机事件AB互不相容，P（A）二p,P（B）=q，则P（AB）=（C）

A.（1-p）qB.pqC.qD.p

12.设xx,2,…，Xn是一组样本观测值，则其标准差是（B）o

1n

C.（片_x）2

ni4

1

一、（Xi-x）

nij

13.设随机变量X〜叫卩，9），丫〜N「25），记s=P{X「I-3},p2二{Y_5}，则（B）

A.P1VP2B.p1=P2C.p〉p2D.P1与p2的关系无法确定

14.

若事件A,A2,A3两两独立，则下列结论成立的是（B）。

C.

D.A,A2,A3相互独立

P（AAA3）=P（A）P（A2）P（A3）

15•设随机变量XN（4,9），则（）

三、计算题

1•已知连续型随机变量X的概率密度为

解:

（1）「（x）dx=

a

.J1V

求

（1）a；

（2）X的分布函数F（x）；（3）P（X>0.25）

x

.J（t）dt=1

x：

：

0

0乞x：

：

1

x_1

a=3/2

x

（2）当x：

：

0时，F（x）=_f（t）dt=0

当0兰X£1时，F（x）=ff（t）dt=［冷屈t=X3/2

0

当x_1时，F（x）

0,

I，故F（x）=

1,

（3）P（X>1/4）=1—F（1/4）=7/8

2•已知连续型随机变量X的分布函数为

X2

（1）limF（x）二A=1

解:

limF（x）二AB=0

x；0-

B一1

⑵

x0

x_0

xe「2

f（x）二F（x）=xe

I0,

⑶P（1

（2）—F

（1）=e」/2-e，

3•设随机向量（X,Y）联合密度为

（1）求系数A;

（2）判断X,丫是否独立，并说明理由;

（3）求P{0

解：

（2x,3y）r：

2x3y

（1）由1=f（x,y）dxdy二Ae"y）dxdy二Aedxeydy=

000-0

可得A=6o

4.某车间生产滚珠，其直径X〜N（」,0.05）,从某天的产品里随机抽出9个量得直径如下（单

位：

毫米）:

14.615.114.914.815.215.114.815.014.7

解:

討=十

lnLf“

若已知该天产品直径的方差不变，试找出平均直径」的置信度为0.95的置信区间。

（已知:

t0.05（9）=2.262,t°.°5（8）=2.306,Z0.025=1.960）

J的置信度为0.95的置信区间为

5.工厂生产一种零件，其口径X（单位：

毫米）服从正态分布N0f2）,现从某日生产的零件中随机

抽出9个，分别测得其口径如下：

14.614.715.114.914.815.015.115.214.7

已知零件口径X的标准差二=0.15，求」的置信度为0.95的置信区间

（已知：

t0.05（9）=2.262,t0.05（8）=2.306,山略=1.960）

dlnLn1n

x0

日日2i=Xi0

7.已知P（A）=1/4,P（B|A）=1/3,P（A|B）=1/2，求P（AUB）。

已知P（A）=1/4,P（B|A）=1/3,P（A|B）=1/2，求P（AUB）

412

解:

P（B|A）=1/3二P（AB）P（AB）=】P（A）J

P（A）333

P（AB）i11

P（A|B）=1/2P（B）=2P（AB）=2

P（B）2126

P（AUB）二P（A）P（B）_P（AB）

1111

二---

46123

8.设总体X的概率分布为

X

0

1

2

3

P

日2

2日（1—日）

日2

1—29

其中二（0十:

：

:

1/2）是未知参数，利用总体X的如下样本值：

3,1,3,0,2,3，求二的矩估计值和极大似然估计值.

（1）EX=0，12巩1-巧2，3（1-2巧=3-4二，

_1一

令EX二X,可得二的矩估计量为？

=—（3-X）,

4

根据给定的样本观察值计算（31302：

）=2，因此二的矩估计值

6

1

；4分

4；4刀

（2）对于给定的样本值似然函数为L（R=2护（1-2旳3（1-旳6分

InL（R=1n25l3ln（1-2巧In（1"）

令dinL（^）_5_6_1=18宀22^5_0

令d1—2丁1_丁丁（1_2巧（1_丁）

可得日的极大似然估计值3131A丄不合题意

18182丿——10分

\e^x>0

9.（10分）设总体X的概率密度为f（x）=」’e0a>0为未知的参数），

QX"

而X1，…,Xn为总体X的一个样本。

试求未知参数'的矩估计量和极大似然估计量。

-bo

解：

（1）E（X）二x，e-'xdx二1

0

令^1.

n

（2）似然函数为:

n

L（'Wi-e-'i

i4

n

InL（■）=nIn.；■，/..Vxi

dlnL（-）

d・

n

/八Xi=0扎i=1

10分

i=1

说明：

1•以书为本，认真复习，要熟悉公式及应用

2•练习题的目的只是让大家熟悉题型，与本习题集中完全相同的题在期末试卷中不会出现。

3•数学贵在理解后运用，不可取巧！