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应变花计算公式
应变花计算公式
1.概述
(1)平面应变状态:
即受力构件表面一点处的应变情况。
(2)测试原理:
一般最大应变往往发生在受力构件的表面。
通常用应变仪测出受力构件表面一点处三个方向的线应变值,然后确定该点处的最大线应变和最小应变及其方程。
2.公式推导:
(1)选定坐标系为xoy,如图示
(2)设0点处,
为已知。
规定伸长为正,切应变
以xoy直角增大为正。
(3)求任意方向,
方向(
规定逆时针方向为正)的线应变
和切应变
(即
直角的改变量)。
(4)叠加法:
求
方向的线应变
和切应变
①由于
而引起ds的长度改变
②
方向(即
方向)的线应变
③求
的切应变
即
方向的直角改
坐标轴偏转的角度
以
代替式(c)中的
,求得
坐标轴偏转角度:
3.结论
为了简化计算,三个应变选定三个特殊方向
测得:
,代入
一般公式
求得:
故
讨论:
若
与二、四相限的
角度相对应。
见P257、7.21题
6.等角应变花测量
一般公式:
测定值:
代入式(a)得:
主应变方向:
故:
于是由主应变公式:
穿过二,四相限.见P258,7.22题
Example1.用直角应变花测得一点的三个方向的线应变
Find:
主应变及其方向
Solution:
故
过二、四相限。
Example2.若已测得等角应变花三个方向的线
试求主应变及其方向
Solution:
即:
应力测量 (measurementofstress)
测量物体由于外因或内在缺陷而变形时,在它内部任一单位截面积上内外两方的相互作用力。
应力是不能直接测量的,只能是先测出应变,然后按应力与应变的关系式计算出应力。
若主应力方向已知,只要沿着主应力方向测出主应变,就可算出主应力。
各种受力情况下的应变值的测量方法见表1。
轴向拉伸(或压缩)时,沿轴向力方向粘贴应变片(表l之1~4),测出应变ε,按单向虎克定律算出测点的拉(压)应力σ=εE。
式中ε为应变,E为弹性模量。
弯曲时在受弯件的上下表面上粘贴应变片(见表1之5~6),测出应变e,可计算弯曲应力。
扭转时沿与圆轴母线成±45。
角的方向贴片(表1之7~9),测出主应变em,再代入虎克定律公式算出主应力σ45o ,即得最大剪应力rmax :
式中μ为泊松比。
拉(压)、弯曲、扭转,其中两种或三种力的联合作用下,不同测量要求的应变值测量方法分别见表1的10~14。
主应力方向未知时的应力测量如图1所示。
在该测点沿与某坐标轴X夹角分别为α1 、α2 和α3 的3个方向,各粘贴一枚应变片,分别测出3个方向的应变εα1
εα2 和εα3 根据下式
可解出εx ,εy 和εz 再代入下式求出主应变ε1 、ε2 和主方向与x轴夹角a:
最后,再根据广义虎克定律公式
求出主应力σ1 、σ2 和Tmax 。
实际上为了简化计算,3枚应变片与z轴的夹角a1 、a2 和a3 总是选取特殊角,如0o 、45o 、60o 、90o 和120o 并将3枚应变片的敏感栅制在同一基底上,形成应变花。
常用的应变花有直角应变花(00’一45。
一90。
)和等角应变花(O。
一60。
一120o )。
不同形式的应变花的计算公式见表2。
用应变片测量的应变值一般是很小的,因而电阻值的变化同样是很小的。
为此,有必要把应变计连接到一定的测量系统中,以精确测定应变片电阻值的变化。
用应变片测量应变的测量系统框图见图2。
电阻应变测量法是实验应力分析中应用最广的一种方法。
电阻应变测量方法测出的是构件上某一点处的应变,还需通过换算才能得到应力。
根据不同的应力状态确定应变片贴片方位,有不同的换算公式。
8.7.1 单向应力状态
在杆件受到拉伸(或压缩)情况下,如图8-31所示。
此时只有一个主应力s1,它的方向是平行于外加载荷F的方向,所以这个主应力s1的方向是已知的,该方向的应变为el。
而垂直于主应力s1方向上的应力虽然为零,但该方向的应变e2≠0,而是e2=-μel。
由此可知:
在单向应力状态下,只要知道应力s1的方向,虽然s1的大小是未知的,可在沿主应力s1的方向上贴一个应变片,通过测得el,就可利用s1=Ee1公式求得s1。
8.7.2 主应力方向巳知平面应力状态
平面应力是指构件内的一个点在两个互相垂直的方向上受到拉伸(或压缩)作用而产生的应力状态,如图8-31所示。
图中单元体受已知方向的平面应力s1和s2作用,在X和Y方向的应变分别为
s1作用:
X方向的应变el为s1/E
Y方向的应变e2为-μs1/E
s2作用:
Y方向的应变e2为e2/E
X方向的应变el为-μe2/E
由此可得X方向的应变和Y方向的应变分别为
(8-72)
上式变换形式后可得
(8-73)
由此可知:
在平面应力状态下,若已知主应力s1或s2的方向(s1与s2相互垂直),则只要沿s1和s2方向各贴一片应变片,测得εl和ε2后代入式(8-73),即可求得s1和s2值。
8.7.3 主应力方向未知平面应力状态
当平面应力的主应力s1和σ2的大小及方向都未知时,需对一个测点贴三个不同方向的应变片,测出三个方向的应变,才能确定主应力s1和s2及主方向角q三个未知量。
图8-33表示边长为x和y、对角线长为l的矩形单元体。
设在平面应力状态下,与主应力方向成q角的任一方向的应变为
,即图中对角线长度l的相对变化量。
由于主应力sx、sy的作用,该单元体在X、Y方向的伸长量为Δx、Δy,如图8-33(a)、(b)所示,该方向的应变为ex=Δx/x、ey=Δy/y;在切应力τxy作用下,使原直角∠XOY减小gxy,如图8-33(c)所示,即切应变gxy=Δx/y。
这三个变形引起单元体对角线长度l的变化分别为Δxcosq、Δysinq、ygxycosq,其应变分别为excos2q、eysin2q、gxysinqcosq。
当ex、ey、gxy同时发生时,则对角线的总应变为上述三者之和,可表示为
(8-74)
利用半角公式变换后,上式可写成
(8-75)
由式(8-75)可知eθ与ex、ey、gxy之间的关系。
因ex、ey、gxy未知,实际测量时可任选与X轴成q1、q2、q3三个角的方向各贴一个应变片,测得e1、e2、e3连同三个角度代入式(8-75)中可得
(8-76)
由式(8-76)联立方程就可解出ex、ey、gxy。
再由ex、ey、gxy可求出主应变e1、e2和主方向与X轴的夹角q,即
(8-77)
将上式中主应变e1和e2代入式(8-73)中,即可求得主应力。
在实际测量中,为简化计算,三个应变片与X轴的夹角q1、q2、q3总是选取特殊角,如
0°、45°和90°或0°、60°和120°角,并将三个应变片的丝栅制在同一基底上,形成所谓应变花。
图8-34所示是丝式应变花。
设应变花与X轴夹角为q1=0°,q2=45°、q3=90°,将此q1、q2、q3值分别代人式(8-76)得
(8-78)
由式(8-78)可得
(8-79)
将式(8-79)代入式(8-77)可得主应变e1、e2和主应变方向角q的计算式为
(8-80)
(8-81)
将式(8-80)代入式(8-81)得应力计算公式为
(8-82)
对q1=0°、q2=60°、q3=120°的应变花,主应变e1、e2和主应变方向角θ及主应力s1和s2计算公式为
(8-83)
(8-84)
(8-85)
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