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角谷猜想的证明
角谷猜想
一简介
考拉兹猜想,又称为3n+1猜想、角谷猜想、哈塞猜想、乌拉姆猜想或叙拉古猜想,是由日本数学家角谷静夫发现,是指对於每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1,如果它是偶数,则对它除以2,如此循环,最终都能够得到1。
取一个数字
如n=6,根据上述公式,得出6→3→10→5→16→8→4→2→1。
(步骤中最大的数是16,共有7个步骤)
如n=11,根据上述公式,得出11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。
(步骤中最大的数是52,共有13个步骤)
如n=27,根据上述公式,得出:
27→82→41→124→62→31→94→47→142→71→214→107→322→161→484→242→121→364→182→91→274→137→412→206→103→310→155→466→233
→700→350→175→526→263→790→395→1186→593→1780→890→445→1336→668→334→167→502→251→754→377→1132→566→283→850→425→1276
→638→319→958→479→1438→719→2158→1079→3238→1619→4858→2429→7288→3644→1822→911→2734→1367→4102→2051→6154→3077→9232
→4616→2308→1154→577→1732→866→433→1300→650→325→976→488→244→122→61→184→92→46→23→70→35→106→53→160→80→40→20→10
→5→16→8→4→2→1。
(步骤中最大的数是9232,共有111个步骤)
考拉兹猜想称,任何正整数,经过上述计算步骤後,最终都会得到1。
注意:
与角谷猜想相反的是蝴蝶效应,初始值极小误差,会造成巨大的不同;而3x+1恰恰相反,无论多么大的误差,都是会自行的恢复。
二,逆行思考
(一)角谷猜想是说,任何一个自然数,如果是偶数,就除以2,如果是奇数,就乘以3再加1。
最后,经过若干次迭代得到1。
也就是说,不管怎样迭代,最后都会转移到2^n;不断除以2以后,最后是1。
迭代过程只要出现2的幂,问题就解决了。
也就是说,第一个层次是2^n。
(二)第二个层次是:
所有奇数m乘以3再加上1以后回到的有:
m1=(2^n-1)/3。
也就是只要进入m1,只要一步就可以回到2^n。
例如:
n=4时,m1=5;3×5+1=16。
或者:
1+2^2=5。
n=6时;m1=21;21×3+1=64。
或者:
5+2^4=21。
n=8时;m1=85;85×3+1=256。
或者:
21+2^6=85。
n=10时;m1=341;341×3+1=1024。
或者:
85+2^8=341。
n=12时;m1=1365;1365×3+1=4096。
或者341+2^10=1365。
n=12时;m5461;5461×3+1=16384。
即:
m(x+1)=m(x)+2^n
……;直到无穷,因为已经知道定理:
n是偶数时,3|(2^n-1);m(x+1)=m(x)+2^n。
任何奇数进入了以后m1=2^n-1)/3(有无穷多个m1=(2^n-1)/3)问题就解决了,只要一步,就可以回到2^n。
我们可以轻而易举地找到任意大的m1。
(三),第三个层次是:
从一得知,有无穷多个自然数的奇数m1=(2^n-1)/3任何一个奇数,只有进入5;21;85;341;….。
问题就解决了。
我们仅以第一个5来说,能够回到5的奇数有(5×2^n-1)/3的有:
例如:
(5×2^1-1)/3=3;3×3+1=10;10÷2=5。
5×2^3-1)/3=13;13×3+1=40;40÷8=5。
5×2^5-1)/3=53;53×3+1=160,160÷32=5。
5×2^7-1)/3=213;213×3+1=640,640÷128=5。
n=奇数时都有解,有无穷多个m1=(2^n-1)/3..即2^n|(3m1+1)。
也就是说,只要进入m1=(2^n-1)/3题就彻底解决了。
我们可以轻而易举找到任意大的m1=(2^n-1)/3。
(三),从而得知,能够回到5的奇数有有无穷多个,我们仅以13来说,能够回到13的:
有17;69;173;277;…;m(x+1)=m(x)+2^n×13。
例如17=m2,17×3+1=52;52÷4=13。
17+2^2×13=69;69×3+1=208;208÷16=13。
69+2^4×13=277;277×3+1=832;832÷64=13。
277+2^6×13=1109;1109×3+1=3328;3328÷256=13。
1109+2^8×13=4437.;4437×3+1=13312;13312÷1024=13。
……..。
有无穷多个m(x+1)=m(x)+2^n×13。
它们可以回到13。
只要回到问题就解决了。
我们可以轻而易举找到任意大的m(x+1)=m(x)+2^n×13。
参见下面的归纳图:
(每一纵列都有无穷多个数值,横向可以无穷扩展而不重复)。
例如:
右上角第一个数33,
33×3+1=100,100÷4=25;
25×3+1=76,76÷4=19;
19×3+1=58,58÷2=29;
29×3+1=88,88÷8=11;
11×3+1=34,34÷2=17;
17×3+1=52,52÷4=13;
13×3+1=40,40÷8=5;
5×3+1=16,16÷16=1。
图中每一个数都可以回到终点2^n。
例如:
177。
177×3+1=532,532÷4=133,133→25→19→29→11→17→13→5→2^n.
709×3+1=2128,2128÷16=133→25→19→29→11→17→13→5→2^n
。
有无穷多个数值回到任何一列,有无穷多个数值回到任何一行。
显然,这样的程序可以无限制进行下去。
于任何一个自然数A,
(1)a.如果A为偶数,就除以2
b.如果A为奇数,就乘以3加上1
得数记为B
(2)将B代入A重新进行
(1)的运算
若干步后,得数为1.
这个猜想就叫做角谷猜想,
在2006年这个问题被证明是recursivelyundecidable的了。
Kurtz,StuartA.;Simon,Janos,"TheUndecidabilityofthe.GeneralizedCollatzProblem",DepartmentofComputerScience.TheUniversityofChicago,December26,2006.
编辑本段错误证明
最简单的证明角谷(3n+1)猜想的方法
因为任何偶数都能变成2^a或一个奇数乘2^b。
前者在不停的除以2之后必定为1,因为它们只有质因数2。
而后者则只能剩下一个奇数,我们可以把偶数放在一边不谈。
现在只剩下奇数了。
我们假设一个奇数m,当他进行运算时,变成3m+1。
如果这个猜想是错误的话,那么就有(3m+1)/2^c=m,且m不等于1。
我们尝试一下:
当c=1时,3m+1=2m,,,m=-1,不符合,舍去;?
当c=2时,3m+1=4m,,,m=1,不符合,舍去;?
当c=3时,3m+1=8m,,,m=,不符合,舍去;?
当c=4时,3m+1=16m,,,m=1/13,不符合,舍去;?
……………………?
可见,能推翻角谷猜想的数只在1或以下的范围,所以没有数能推翻这个猜想,所以这个猜想是正确的。
编辑本段一个推广
角谷猜想又叫叙古拉猜想。
它的一个推广是克拉茨问题,下面简要说说这个问题:
50年代开始,在国际数学界广泛流行着这样一个奇怪有趣的数学问题:
任意给定一个自然数x,如果是偶数,则变换成x/2,如果是奇数,则变换成3x+1.此后,再对得数继续进行上述变换.例如x=52,可以陆续得出26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1.如果再做下去就得到循环:
(4,2,1).再试其他的自然数也会得出相同的结果.这个叫做叙古拉猜想.
上述变换,实际上是进行下列函数的迭代
{x/2(x是偶数)?
C(x)=?
3x+1(x是奇数)?
问题是,从任意一个自然数开始,经过有限次函数C迭代,能否最终得到循环(4,2,1),或者等价地说,最终得到1据说克拉茨()在1950年召开的一次国际数学家大会上谈起过,因而许多人称之为克拉茨问题.但是后来也有许多人独立地发现过同一个问题,所以,从此以后也许为了避免引起问题的归属争议,许多文献称之为3x+1问题.
克拉茨问题吸引人之处在于C迭代过程中一旦出现2的幂,问题就解决了,而2的幂有无穷多个,人们认为只要迭代过程持续足够长,必定会碰到一个2的幂使问题以肯定形式得到解决.正是这种信念使得问题每到一处,便在那里掀起一股"3x+1问题"狂热,不论是大学还是研究机构都不同程度地卷入这一问题.许多数学家开始悬赏征解,有的500美元,有的1000英镑.
日本东京大学的米田信夫已经对240大约是11000亿以下的自然数做了检验.1992年李文斯()和弗穆兰)已经对*1013的自然数进行了验证,均未发现反例.题意如此清晰,明了,简单,连小学生都能看懂的问题,却难到了20世纪许多大数学家.着名学者盖伊)在介绍这一世界难题的时候,竟然冠以"不要试图去解决这些问题"为标题.经过几十年的探索与研究,人们似乎接受了大数学家厄特希()的说法:
"数学还没有成熟到足以解决这样的问题!
"有人提议将3x+1问题作为下一个费尔马问题.
下面是我对克拉茨问题的初步研究结果,只是发现了一点点规律,距离解决还很遥远.
克拉茨命题:
设n∈N,并且?
f(n)=n/2(如果n是偶数)或者3n+1(如果n是奇数)?
现用f1(n)表示f(n),f2(n)=f(f(n)),...fk(n)=f(f(...f(n)...)).
则存在有限正整数m∈N,使得fm(n)=1.(以下称n/2为偶变换,3n+1为奇变换,并且称先奇变换再偶变换为全变换)
克拉茨命题的证明
引理一:
若n=2m,则fm(n)=1(m∈N)
证明:
当m=1时,f(n)=f
(2)=2/2=1,命题成立,设当m=k时成立,则当m=k+1时,fk+1(n)=f(fk(2k+1))=
=f
(2)=2/2=1.证毕.
引理二:
若n=1+4+42+43+...+4k=(4k+1-1)/(4-1)(k∈N),则有f(n)=3n+1=4k+1=22k+2,从而f2k+3(n)=1.
证明:
证明是显然的,省略.
引理三:
若n=2m(4k+1-1)/(4-1)(m∈N),则有fm+2k+3(n)=1.
证明:
省略.
定理一:
集合O={X|X=2k-1,k∈N}对于变换f(X)是封闭的.
证明:
对于任意自然数n,若n=2m,则fm(n)=1,对于n=2k,经过若干次偶变换,必然要变成奇数,所以我们以下之考虑奇数的情形,即集合O的情形.对于奇数,首先要进行奇变换,伴随而来的必然是偶变换,所以对于奇数,肯定要进行一次全变换.为了直观起见,我们将奇数列及其全变换排列如下:
k123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051?
02k-1
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