最值系列之将军饮马一.docx

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最值系列之将军饮马一

最值系列之——将军饮马

一、什么是将军饮马？

【问题引入】

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】

如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：

将军怎么走能使得路程最短？

B军营将军A

【问题简化】

如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？

【问题分析】

这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直

线段．

【问题解决】

作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'P=A，所以

PA+PB=PA'P+B

当A'、P、B三点共线的时候，PA'P+B=A'B，此时为最小值（两点之间线段最短）

A端点

P折点

思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．

二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．

此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB

（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为

P'M+MN+NP'，'当P'、M、N、P'共'线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点

M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为．

【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P'、P'，'化PM+PN+MN为

P'N+MN+P'M'．

当P'、N、M、P'共'线时，得△PMN周长的最小值，即线段P'P'长'，连接OP'、OP'，'可得△OP'P'为'等边三角形，所以P'P''O=P'O=P=8．

P'

N

P

M

P''

两定两动之点点】

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P'M+MN+NQ'，当P'、M、N、Q'共线时，四边形PMNQ的周长最小。

【一定两动之点线】

在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小

此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P'，将折线段PM+MN转化为P'M+MN，即过点P'作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，

得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）

三、几何图形中的将军饮马

【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】1．正方形中的将军饮马

【关于对角线对称】

如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1，N是AC

边上的一动点，则△DMN周长的最小值是．

【分析】考虑DM为定值，故求△DMN周长最小值即求DN+MN最小值．点N为折点，作点D关于AC的对称点，即点B，连接BN交AC于点N，此时△DMN周长最小．

【假装不存在的正方形】

（2019·山东聊城）如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在边AB上，

且AC:

CB=1:

3，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P

在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（

A．（2,2）B．（，）C．（，）D．（3,3）

2233

【分析】此处点P为折点，可以作点D关于折点P所在直线OA的对称：

也可以作点C的对称：

x

隐身的正方形】

2017·辽宁营口）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最

小值为（）

【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C'，当C'、P、D共线时，PC+PD最小，最小值为5，故选B．

2．三角形中的将军饮马

【等边系列】

如图，在等边△ABC中，AB=6，N为AB上一点且BN=2AN，BC

的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN

的最小值是．

【分析】M点为折点，作B点关于AD的对称点，即C点，连接CN，即为所求的最小值．

过点C作AB垂线，利用勾股定理求得CN的长为2倍根号7．

【隐身的等边三角形】

如图，在Rt△ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N为AB上一

点且BN=2AN，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是．

分析】对称点并不一定总是在已知图形上．

【角分线系列之点点】

（2018·山东潍坊）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，

AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为（）

【分析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称，对称点C'在AB上且在AB中点，化折线段CE+EF为C'E+EF，当C'、E、F共线时得最小值，C'F为CB的一半，故选C．

角分线系列之点线】

2018·辽宁营口）如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，

BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则

CM+MN的最小值是（）

【分析】此处M点为折点，作点N关于BD的对称点，恰好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN'．

因为M、N皆为动点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值，选C．

3．矩形、菱形中的将军饮马

菱形高】

2018广西贵港）如图，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是（）

上，化折线EP+PM为EP+PM'．

当E、P、M'共线时，EP+PM最小，最小值即为菱形的高，可用面积法：

AC·BD/2=BC·EM'

折点在边上】

2017山东菏泽）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）

【分析】点E为折点，E是y轴上一点，作点D关于y轴的对称点D'，连接AD，与y轴交点即为所求E点．

折点与面积】

（2019西藏）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足

SPAB1S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（3

）

A．213B．210C．35D．41

【分析】由SPAB1S矩形ABCD可作出P点轨迹为直线MN（AM=BN=2），3

作点B关于MN的对称点B'，化折线PA+PB为PA+PB'．

当A、P、B'共线时，取到最小值，选A．

全等与对称】

2017江苏南通）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F、

G、H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为（）

A．55B．105C．103D．153

【分析】考虑到四边形EFGH是平行四边形，即求EH+EF最小值，此处E为折点，作F关于AB对称点F'，则BF'B=F=DH=CM，∴

MF'B=C=5，MH=DC=10，∴HF'为5倍根号5，周长最小值为10倍根号5，故选B．

四、特殊角的对称

【60°角的对称】

2018滨州）如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=3，

若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周

长的最小值是（）

A．36

D．3

B．

【分析】此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA的对称点P'、

P'，'化△PMN周长为P'N+NM+MP'．'

A

当P'、N、M、P'共'线时，得最小值，利用60°角翻倍得∠P'OP''=12，0°OP'O=P''O=P，可得最小值．

30°角的对称】

2017湖北随州）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3,0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为．

【分析】此处点P为折点，作点M关于OA的对称对称点M'如图所示，连接PM'，化PM+PN为PM'P+N．

x

当M'、P、N共线时，得最小值，又∠M'ON=60°且ON=2OM'，可得∠OM'N=90°，故P点坐标可求．

x

20°角的对称】

如图，已知正比例函数y=kx（k>0）的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k>0）的图像上的两个动点，则AM+MP+PN的最小值为

分析】先考虑M为折点，作点P关于OM对称点P'，化AM+MP+PN为AM+MP'P+'N

x

此处P'为折点，作点

N关于OP'对称点N'，化AM+MP'P+'N为

AM+MP'P+'N'

当A、M、P、'N'共线且AN'⊥ON'时，值最小．

x