全等三角形中重要几何模型专题讲解手拉手模型截长补短中线倍长.docx

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全等三角形中重要几何模型专题讲解手拉手模型截长补短中线倍长

全等三角形中重要几何模型专题讲解

要点一：

手拉手模型特点：

由两个等顶角的等腰三角形或正方形组成，并且顶角的顶点为公共顶点的模型。

模型如下:

例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形AABD与ABCE,连结AE与CD,证明:

（1）ABE三DBC

（2）AE=DC"

（3）AE与DC之间的夹角为60ne

（4）AGB三.DFB

（5）；：

EGB三:

CFB/K、隹\

（6）BH平分/AHC

（7）GF//AC―\/X\

4

*

变式精练1：

如图两个等边三角形MBD与ABCE,连结AE与CD,证明

（1）MBE三ADBC

⑵AE=DC

（3）AE与DC之间的夹角为60°

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分NAHC

变式精练2：

如图两个等边三角形AABD与ABCE,连结AE与

CD,

证明

（1）AABE三ADBC

（2）AE=DC

（3）

AE与DC之间的夹角为60°

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分/AHC

例2：

如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结

AG,CE,二者相交于点H

问：

（1）AADG三ACDE是否成立？

（2）AG是否与CE相等？

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？

（4）HD是否平分NAHE?

例3：

如图两个等腰直角三角形ADC与EDG,连结AG,CE,二者相交于点H

问：

（1）AADG三ACDE是否成立？

（2）AG是否与CE相等？

。

（3）AG与CE之间的夹角为多少度？

（4）HD是否平分NAHE?

HG

AD

\\

例4：

两个等腰三角形MBD与ABCE，其中AB=BD,CB=EB,NABD=NCBE=a，连结AE与CD,

问：

（1）AABE三ADBC是否成立？

（2）AE是否与CD相等？

（3）AE与CD之间的夹角为多少度?

（4）HB是否平分2AHC?

若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。

1、截长法：

在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

2、补短法：

将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段，或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。

3.已知，如图3-1,/1=/2,P为BN上一点，且PDLBC于点D,AB+BC=2BD.求证：

/BAP+/BC住180°.

4

.如图，AB=2AC,AD=BD,AD平分/BAC,求证：

AC±CD.

5

.已知：

在^ABC中，AB=AC,/BAC=90°,/ABD=/CBD,CELBD的延长线于E.求证：

BD=2CE.

6.如图，AD为MBC的中线，DE平分/BDA交AB于E,DF平分/ADC交AC于F.求证：

BE+CF>EF

7.已知CD=AB,/BDA=/BAD,AE是△ABD的中线，求证：

/C=/BAE

8.在四边形ABCD中，AB//DCE为BC边的中点，/BAE=/EAF,AF与DC的延长线相交于点F。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

要点二：

中线倍长法

【例1】已知：

MBC中，AM是中线.求证：

AM<1（AB+AC）.

【练1】在^ABC中，AB=5,AC=9,则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么?

【练2】如图所示，在MBC的AB边上取两点E、F,使AE=BF,连接CE、CF,求证：

AC+BC>EC+FC.

【例2】如图，已知在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F,AF=EF,求证：

AC=BE.

A

【练1】如图，已知在■MBC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于F,求证：

AF=EF

C

【练2】如图，在从BC中，AD交BC于点D,点E是BC中点，EFIIAD交CA的延长线于点F,交AB于点G,若BG=CF,求证：

AD为MBC的角平分线.

【练3】如图所示，已知AABC中，AD平分/BAC,E、F分别在BD、AD上.DE=CD,EF=AC.求证：

EF//AB

A

【例3】已知AM为小BC的中线，/AMB,ZAMC的平分线分别交AB于E、交AC于F.求证:

BE+CF>EF.

【练1】在RtMBC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足/DFE=90°.若AD=3,BE=4,则线段DE的长度为.

【练2］在MBC中，点D为BC的中点，点M、N分别为AB、AC上的点，且MD_LND.

（1）若/A=90°,以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形？

若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

（2）如果BM2+CN2=DM2+DN2,求证AD2=1（AB2+AC2J.

【例4】

如图所示，在MBC中，AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,£为AB的中点，连接CE、CD,求证CD=2EC.

【练1

已知MBC中，AB=AC,BD为AB的延长线，且BD=AB,CE为AABC的AB边上的中线.求证：

CD=2CE

E

B