高中数学必修一《函数模型及其应用》习题.docx
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高中数学必修一《函数模型及其应用》习题
§3.2 习题课
课时目标 1.进一步体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解它们的增长差异性.2.掌握几种初等函数的应用.3.理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法.
1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为( )
2.能使不等式log2x A.(0,+∞)B.(2,+∞) C.(-∞,2)D.(0,2)∪(4,+∞) 3.四人赛跑,假设其跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是( ) A.f1(x)=x2B.f2(x)=4x C.f3(x)=log2xD.f4(x)=2x 4.某城市客运公司确定客票价格的方法是: 如果行程不超过100km,票价是0.5元/km,如果超过100km,超过100km的部分按0.4元/km定价,则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是______________________. 5.如图所示,要在一个边长为150m的正方形草坪上,修建两条宽相等且相互垂直的十字形道路,如果要使绿化面积达到70%,则道路的宽为____________________m(精确到0.01m). 一、选择题 1.下面对函数f(x)= 与g(x)=( )x在区间(0,+∞)上的衰减情况说法正确的是( ) A.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越快 B.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越慢 C.f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越慢 D.f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越快 2.下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( ) A.y= exB.y=100lnx C.y=x100D.y=100·2x 3.一等腰三角形的周长是20,底边y是关于腰长x的函数,它的解析式为( ) A.y=20-2x(x≤10)B.y=20-2x(x<10) C.y=20-2x(5≤x≤10)D.y=20-2x(5 4.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元.某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如下表所示: 型号 小包装 大包装 重量 100克 300克 包装费 0.5元 0.7元 销售价格 3.00元 8.4元 则下列说法中正确的是( ) ①买小包装实惠 ②买大包装实惠 ③卖3小包比卖1大包盈利多 ④卖1大包比卖3小包盈利多 A.①③B.①④C.②③D.②④ 5.某商店出售A、B两种价格不同的商品,由于商品A连续两次提价20%,同时商品B连续两次降价20%,结果都以每件23元售出,若商店同时售出这两种商品各一件,则与价格不升不降时的情况比较,商店盈利情况是( ) A.多赚约6元B.少赚约6元 C.多赚约2元D.盈利相同 6.某地区植被破坏、土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则下列函数中与沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为相似的是( ) A.y=0.2xB.y= (x2+2x) C.y= D.y=0.2+log16x 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7.某种电热水器的水箱盛满水是200升,加热到一定温度可浴用.浴用时,已知每分钟放水34升,在放水的同时注水,t分钟注水2t2升,当水箱内水量达到最小值时,放水自动停止.现假定每人洗浴用水65升,则该热水器一次至多可供________人洗澡. 8.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则x,y的函数关系是__________________. 9.已知甲、乙两地相距150km,某人开汽车以60km/h的速度从甲地到达乙地,在乙地停留一小时后再以50km/h的速度返回甲地,把汽车离开甲地的距离s表示为时间t的函数,则此函数表达式为________. 三、解答题 10.某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt,其中N0,λ是正常数. (1)说明该函数是增函数还是减函数; (2)把t表示成原子数N的函数; (3)求当N= 时,t的值. 11.我县某企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注: 利润与投资单位是万元) (1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系; (2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问: 怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到1万元). 能力提升 12.某乡镇现在人均一年占有粮食360kg,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x年后若人均一年占有ykg粮食,求出函数y关于x的解析式. 13.如图,有一块矩形空地,要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地,使其四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知AB=a(a>2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,设AE=x,绿地面积为y. (1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域. (2)当AE为何值时,绿地面积y最大? 解决实际问题的解题过程: (1)对实际问题进行抽象概括: 研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的主、被动关系,并用x、y分别表示问题中的变量; (2)建立函数模型: 将变量y表示为x的函数,在中学数学中,我们建立的函数模型一般都是基本初等函数; (3)求解函数模型: 根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点,正确选择函数知识求得函数模 型的解,并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示: §3.2 习题课 双基演练 1.D [设某地区的原有荒漠化土地面积为a,则x年后的面积为a(1+10.4%)x,由题意y= =1.104x,故选D.] 2.D [由题意知x的范围为x>0,由y=log2x,y=x2,y=2x的图象可知,当x>0时,log2x 3.D [由于指数函数的增长特点是越来越大,故选D.] 4.y= 5.24.50 解析 设道路宽为x,则 ×100%=30%, 解得x1≈24.50,x2≈275.50(舍去). 作业设计 1.C 2.A [对于指数函数,当底数大于1时,函数值随x的增大而增大的速度快,又∵e>2,故选A.] 3.D [∵20=y+2x,∴y=20-2x, 又y=20-2x>0且2x>y=20-2x, ∴5 4.D [买小包装时每克费用为 元,买大包装每克费用为 = 元,而 > ,所以买大包装实惠,卖3小包的利润为3×(3-1.8-0.5)=2.1(元),卖1大包的利润是8.4-1.8×3-0.7=2.3(元).而2.3>2.1,卖1大包盈利多,故选D.] 5.B [设A、B两种商品的原价为a、b, 则a(1+20%)2=b(1-20%)2=23⇒a= ,b= ,a+b-46≈6(元).] 6.C [将(1,0.2),(2,0.4),(3,0.76)与x=1,2,3时,选项A、B、C、D中得到的y值做比较,y= 的y值比较接近, 故选C.] 7.4 解析 设最多用t分钟,则水箱内水量y=200+2t2-34t,当t= 时y有最小值,此时共放水34× =289(升),可供4人洗澡. 8.y= 解析 设每经过1年,剩留量为原来的a倍,则y=ax, 且0.9576=a100,从而a=0.9576 ,因此y=0.9576 . 9.s= 解析 当0≤t≤2.5时s=60t, 当2.5 当3.5≤t≤6.5时s=150-50(t-3.5)=325-50t, 综上所述,s= 10.解 (1)由于N0>0,λ>0,函数N=N0e-λt是属于指数函数y=e-x类型的,所以它是减函数,即原子数N的值随时间t的增大而减少. (2)将N=N0e-λt写成e-λt= ,根据对数的定义有-λt=ln ,所以t=- (lnN-lnN0)= (lnN0-lnN). (3)把N= 代入t= (lnN0-lnN), 得t= (lnN0-ln )= ln2. 11.解 (1)投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元,由题设f(x)=k1x,g(x)=k2 , 由图知f (1)= ,∴k1= ,又g(4)= ,∴k2= . 从而f(x)= x(x≥0),g(x)= (x≥0). (2)设A产品投入x万元,则B产品投入10-x万元,设企业的利润为y万元, y=f(x)+g(10-x)= + (0≤x≤10), 令 =t, 则y= + t=- (t- )2+ (0≤t≤ ), 当t= ,ymax≈4,此时x=10- =3.75,10-x=6.25. 所以投入A产品3.75万元,投入B产品6.25万元时,能使企业获得最大利润,且最大利润约为4万元. 12.解 设该乡镇现在人口量为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M, 经过1年后,该乡镇粮食总产量为360M(1+4%),人口量为M(1+1.2%),则人均占有粮食为 ;经过2年后,人均占有粮食为 ;…;经过x年后,人均占有粮食为y= ,即所求函数解析式为y=360( )x. 13.解 (1)S△AEH=S△CFG= x2, S△BEF=S△DGH= (a-x)(2-x). ∴y=S矩形ABCD-2S△AEH-2S△BEF=2a-x2-(a-x)(2-x) =-2x2+(a+2)x. 由 ,得0 ∴y=-2x2+(a+2)x,定义域为(0,2]. (2)当 <2,即a<6时, 则x= 时,y取最大值 ; 当 ≥2,即a≥6时,y=-2x2+(a+2)x在(0,2]上是增函数, 则x=2时,ymax=2a-4. 综上所述: 当a<6,AE= 时,绿地面积取最大值 ; 当a≥6,AE=2时,绿地面积取最大值2a-4.
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- 函数模型及其应用 高中数学 必修 函数 模型 及其 应用 习题