数值计算石瑞民.docx
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数值计算石瑞民
习题一
1、取3.14,3.15,22,355作为的近似值,求各自的绝对误差,相
7113
对误差和有效数字的位数。
解:
x13.14
|对丄10211013
22
所以,X1有三位有效数字绝对误差:
e3.14,相对误差:
er—空
绝对误差限:
1102,相对误差限:
r二1031£102
x23.15
3.150.008401740.840741020.51010.51012
所以,x2有两位有效数字
绝对误差:
e3.15,相对误差:
er—注
绝对误差限:
RO1,相对误差限:
r「°1
X2
22
7
所以,X3有三位有效数字
绝对误差:
e
绝对误差限:
22,相对误差:
er
1102,相对误差限:
22
7
10
X1
355
113
355
113
6
所以,X4有七位有效数字
绝对误差:
e芸,相对误差:
*
0.51017
355
113
绝对误差限:
1106,相对误差限:
r1106
6
3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数,试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限,有效数字的位数。
X10.0315,X20.3015,X331.50,X45000
m=-1
411013
2
X1有三位有效数字
1104,相对误差:
2
解:
x10.0315
1-10
2
所以,n=3,
绝对误差限:
xx1
1
2a
10
>2
X2
0.3015
xx2
m=0
110
2
n=4.
所以,绝对误差限:
11004
2
X1有四位有效数字
1104,相对误差:
2
1
2a
10
丄103
6
X3
31.50
xX3
m=2
1102
2
n=4.
所以,绝对误差限:
11024
2
X1有四位有效数字
1102,相对误差:
2
1
2a
10
丄103
6
X4
5000
m=4
1
-10
2
n=4.
Xx4
所以,
绝对误差限:
144
1044
2
X1有四位有效数字
11000.5,
2
r丄10
2a
n11103102
25
计算J0的近似值,使其相对误差不超过解:
设取n位有效数字,由定理1.1知,
由.10100.3162…,所以,a13
由题意,应使110n10.1%,即1010n
6
所以,n=4,
即10的近似值取4位有效数字
相对误差:
4、
0.1%。
丄10n1
2a
近似值x3.162
6、在机器数系下F(10,8,L,U)中取三个数x0.23371258104,y0.33678429102,z0.33677811102,试按(xy)z禾口x(yz)两种算法计算xyz的值,并将结果与精确结果比较。
(xy)z
422
(0.23371258100.3367842910)0.3367781110
解:
(0.000000233712581020.33678429102)0.33677811102
0.336784523712581020.33677811102
22
0.33678452100.3367781110
0.00000641
1020.64100000
103
(yz)
0.23371258
104
2
(0.3367842910
0.33677811
102)
0.23371258
104
0.61800000000103
0.023371258
103
0.61800000000
103
0.641371258
103
0.64137126
103
yz
0.23371258
104
0.33678429102
0.33677811
102
0.00000023371258
1020.33678429
1020.33677811
0.00000641371258
102
0.64137126
103
x
x
102
所以,x(yz)比(xy)z精确,且x(yz)与xyz相同;
因此,在做三个以上的数相加时,需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近。
&对于有效数
X1
3.1
05,
X2
0.001,x3
0.100,估计下列算式的相
对误差限。
y1
X1
X2
X3,
y1
X1X2X3,y3
X2
X3
解:
x13
.105
,m
1=1;
*
xx1
10
31
101
4
2
2
所以
(X1
)
1
2
10
3
同理
(X2)
丄
2
103
(X3)
1103
2
e(xj
1
2
103
er(xj
e(xj
X1
eg)
1
103
er(xj
eg)
2
X2
eg
1
103
erg)
e(X3)
2
X3
1103
1
2
「或
r(Xj
103
3.1025|
23
13
-10
1
2
或
100
0.001
21
丄103
1
2
或
r(X3)
103
0.100
21
er(X1X2X3)
X1
X2
X3
eX1
eX2
eX3
X2
X3
X1
X2
X3
3
©(yj
er(X1
X2X3)0.4997510
eg)
er(X1X2X3)er(X1X2)er(X3)
所以,
eg)
0.50516
er(y3)
x2
er(丄)
X3
er(X2)er(X3)
所以,
eg)
0.505
e「(Xi)er(X2)er(X3)
综合得:
r(y1)0.49975103,r(y2)0.50516,r(y3)0.505
9、试改变下列表达式,使其结果比较精确接近0,x
1表示x充分大)。
(1)
Inx1
Inx2,
X-Ix2
(2)
1
1
X
|x
1X
1
X
(3)
Jx
1-\
:
X
1
_,x
V
X11
X
(4)
1cc
)SX
X
0且x
X
(5)
1
—c
otx,
X
0且x
X
答案:
(1)
.X1
In1;
(3)
X
2
(4)
法一
:
用
1
cosx
2
X3XX3X'
-X2得出结果为:
2
cosxsinx
1
xsinxcosxsinx
sinx
1cosx
(其中
1
X
2
1cosxX
sinxsinx
1表示X充分
1
1
1
法二:
1cosx
12、试给出一种计算积分Ine10xnexdx近似值的稳定性递推算法解:
显然,In>0,n=1,2,…
当n=1时,得,I11xex1dx1
0e
当n》2时,由分部积分可得:
1
In0xnex1dx1nln1,n=2,3,…
①In1nIn1n=2,3…
②In1」n2,3,...,
n
下面比较两种算法的稳定性
①若已知|n1的一个近似值In1,则实际算得的In的近似值为
In1nIn1
所以,InIn(n)(ln1In1)
~
~
In
In
n
In1
In1
由此可以看出In1的误差放大n倍传到了In,误差传播速度逐步放大
②由In计算In1In11hnN,N1,1
n
若已知In的一个近似值是In,则实际计算的人1的近似值为
~1In
In1
n
~1~
所以,In1In1(InIn)
n
■
■
1
~
In1
In1
In
In
n
由此可以看出In的误差将缩小n倍传到了In,误差传播速度逐步衰减。
1
综上可看出,计算积分Ine10xnexdx的一种稳定性算法为
习题二
解:
令f(x)x32x24x7
f(3)100,f(4090,说明在[3,4]内有根,
利用二分法计算步骤
得出x103.632324219,x113.6321835938
1
bnan&心0.4882181103103满足精度要求
2
所以,x*X113.6321,共用二分法迭代11次。
2、证明1xsinx0在[0,1]内有一个根,使用二分法求误差不大于
1104的根。
2
证明:
令f(x)1xsinx
f(0)10;f
(1)sin10,
所以,f(0)f
(1)0
由零点定理知,f(x)在[0,1]内有一根
根据计算得出:
x*X150.98283,此时共迭代15次。
4、将一元非线性方程2cosxex0写成收敛的迭代公式,并求其在
X。
0.5附近的根,精确到102。
解:
令f(x)2cosxex
令f(x)=0,得到两种迭代格式
xe
1arccos一
2
In(2cosx)
1(x)\2,不满足收敛定理。
21e
\2
2(x)上沁tanx
2cosx
2(x0)I2(0.5)0.0087271,满足收敛定理
由方程写出收敛的迭代公式为xk1ln(2cosxk)
取初值为X。
0.5,得出近似根为:
x*X20.69307417
5、为方程x3x210在X。
1.5附近的一个根,设方程改写为下列等
收敛
(2)局部收敛
(3)不满足局部收敛条件
但由于丨1(x)|.I2(x),所以1(X)比2(X)收敛的慢
取第二种迭代格式Xk1(Xk21)1/3
取初值X01.5,迭代9次得x*X91.466
由牛顿迭代法知:
迭代结果为:
Xk1
Xk3
f(Xk)
3Xk31
2
3(Xk1)
k
0
1
2
3
Xk
2
1.88
1.87945
1.87
889
939
满足了精度要求,
x*x31.87939
&用牛顿法解方程1
x
C0
,导出计算
C的倒数而不用除法的一种
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- 数值 计算 石瑞民